Математика як мовна гра

А.В. Смирнов

Одна з найважливіших робіт Вітгенштейна з математичної проблематики носить назву «Зауваження на підставах математики», що спочатку задає певний контекст її прочитання, пов'язаний з очікуванням вирішення низки спірних питань з фундаментальних математичних проблем. Основним нашим завданням у даному параграфі будемо вважати уточнення проблематики досліджень Вітгенштейна в даній області.

Філософські проблеми математики стали розглядатися в математичній та логічній літературі з початку ХХ століття як спроби подолання ряду парадоксів, що виникли в математиці, і були здебільшого предметом інтересу самих математиків. Вітгенштейн, на наш погляд, був одним з перших, хто спробував підійти до проблемному полю філософії математики з боку філософії, а не з боку математики чи логіки. До початку останньої третини ХХ століття намітилася тенденція до стирання граней між філософією, історією та соціологією науки. Наука перестала розглядатися як автономна сфера, керована особливими, логічними закономірностями. Вона сприймається як рівноправна частина соціальних організмів і людської діяльності. Дані тенденції пов'язані з діяльністю таких вчених, як К. Поппер, І. Лакатоса, Т. Кун, П. Фейерабенд. У Загалом і в цілому їх можна охарактеризувати як антропологічний поворот в науці, коли історія науки починає розглядатися як історія людей і їх практик, а не як історія автономних теоретичних сутностей

Резюме намітимо коло тих проблем, які були порушені в «Зауваження на підставах математики »:

роль аксіом в математичному знанні;

роль докази в математичному знанні;

проблема слідування правилу в математичних обчисленнях;

процеси обчислення і логічного висновку;

проблеми суперечливості математичного знання;

проблеми математичних понять;

ставлення математики та логіки і пр.

Навіть з цього короткого розгляду стає зрозумілим, що міркування Вітгенштейна не вписуються ні в одну з існуючих програм обгрунтування математики, тобто фактично тематика досліджень Вітгенштейна лежить поза того, що прийнято називати дослідженнями на підставах математики. Як відзначає А.Ф. Грязнов [1, С.151], незгоду Вітгенштейна з програмами обгрунтування математики викликане його переконанням у хибності використаної в них «традиційної» референтної концепції значення виразів і нерозумінням складної функціональної ролі значення. У сфері математичної науки це нерозуміння породило концепції існування особливої «математичної реальності» (математичний платонізм), що не дозволяють розглядати математичну діяльність як творчий конструктивний процес, вплетена в інші форми людської діяльності, що не володіють науковим статусом. Однак, на наш погляд, основне завдання дослідження Вітгенштейнів математики не зводилася ні до критиці референтної концепції значення, ні до захисту функціональної його концепції.

Ми висунемо таке припущення: однією з найважливіших завдань Вітгенштейна при розгляді математичного знання була спроба показати зв'язок наукової мови, використовуваного в математиці, з природною мовою шляхом аналізу математичного тексту та порівняння правил його побудови з правилами природної мови. Для розгляду правил природної мови Вітгенштейн використав, як відомо, метод «мовних ігор». Цей же метод використаний Вітгенштейнів і при аналізі математичного знання. Однак, ряд дослідників, які зачіпають дану проблематику, розглядають застосування в даному випадку методу мовних ігор як само собою зрозуміле і не потребує докладного розгляду.

Необхідно розглянути питання про особливості застосування методу «мовних ігор» при аналізі математики. Судячи з усього, ми можемо відзначити наявність деяких особливостей при розгляді прагматичних аспектів. При аналізі прикладів найпростіших мовних ігор можливо умовне розділення мовної гри на мовну (вербальну) і прагматичну складові, на мову і дії з нею пов'язані. У математичної діяльності здійснюються операції з числами і математичними об'єктами, не маючи на увазі при цьому ніякого іншого аспекту діяльності. тому може скластися враження, що розглядати математику як якусь мовну гру не цілком правомірно, внаслідок відсутності дій (прагматичного аспекту), з нею пов'язаних. Однак Вітгенштейн в «Філософських дослідженнях »згадує про мовних іграх, що не несуть аспекти прагматики: переклад з однієї мови на іншу, задавання питань і пошук відповідей на них і т.д., виключаючи тим самим спрощене розуміння прагматики як нема кого невербального акта. У «Зауваження на підставах математики» Вітгенштейн часто аналізує ті мовні ігри, в яких мають місце дії з математичними об'єктами, як то: рахунок, вимірювання довжини, застосування образів для ілюстрації окремих положень математики. Тому виникає цілком правомірне питання: чи є те, що аналізує Вітгенштейн власне математикою як наукою.

Математичну діяльність слід було б розділити строго на математічесую теорію і математичну прагматику, проте, на наш погляд, підстав для такого поділу Вітгенштейн не знаходить, і саме факт відомості математики до прагматиці рахунку і є причиною звинувачень на його адресу в антітеоретічності і в ненауковості.

Вітгенштейн дотримується тієї думки, що незалежно від характеру математичних об'єктів, дослідник-математик змушений включитися по їх приводу в якусь мовну гру з цілком певними правилами, пов'язаних, перш за все, з правилами природної мови, а точніше, з правилами того, що можна назвати мовою наукового математичного побудови.

Вітгенштейн і не ставив перед собою завдання давати рекомендації професійним математикам і намічати перспективи розвитку математичної науки, оскільки він, на думку А.Ф. Грязнова, «підходить до математики як до 'формі життя'» [2, с.67] (Порівняємо з [1, с.153] «математична мовна гра є особлива« форма життя », яку можна зрозуміти, тільки прийнявши в ній безпосередню участь ».). Ця думка А.Ф. Грязнова відрізняється деякої термінологічної вільністю, в силу малої опрацьованості поняття «форми життя», але, тим не менше, цілком концептуально. Причому цінність даного зауваження виявляється двоякою: по-перше, математика за своєю суттю виявляється дещо більш складним явищем, ніж найпростіша мовна гра, вона являє собою складний комплекс різнорідних ігор різної складності та різної мети, по-друге, метод «мовних ігор» вимагає не просто їх описи, але й їх розігрування, тобто приведення численних прикладів і їх детального розгляду.

Чому ж саме метод мовних ігор виявляється ефективним при аналізі математичного знання? Перш за все, відзначимо, що цим питанням ми маємо на увазі, що даний метод є ефективним, тобто його застосування, по-перше, є коректним, то є припустимим при аналізі математичного тексту, а по-друге, дає нам можливість відкрити щось нове по суті тих або інших математичних проблем. Нагадаємо, що областю застосування методу мовних ігор є практика природної мовленнєвої діяльності, тому відзначимо, що областю інтересу Вітгенштейна є «природний» (в сенсі використання «природної мови») аспект математичного знання. У цьому, на наш погляд, полягає проблематичність застосування його методу до математики. Якщо ми будемо вважати, що математичне знання саме сутнісно містить аспекти природної мови, то підхід Вітгенштейна до математики обгрунтований. Якщо ми станемо на позицію жорсткого логіцізма, заявляючи, що із змісту математичного знання можливо елімінувати всі аспекти природної мови і комунікативної практики без будь-яких втрат цього змісту, то розгляд математики як мовної гри не зможе вважатися коректним. На нашу думку, Вітгенштейн не тільки мав на увазі першу точку зору (про наявність залежності змісту математичного знання), але і приводив аргументи на її захист. Більше того, він вважав нереалізованим як проект щодо коректування природної мови (побудови ідеального мови) для його використання в математичній науці, так і щодо коректування математичного знання стосовно до норм природної мови. Вищенаведені аргументи говорять про те, що «мовні ігри» стали інструментом застосування методу лінгвістичної філософії до математичного знання. Сутність цього методу, на думку А.Ф. Грязнова [2, с.67], полягає в тому, щоб «бути максимально уважним до різних вживання поняття математики, критично реагувати на помилки, породжені недооцінкою ролі природної мови в математичному міркуванні ».

Метод дослідження математичного знання, запропонований Вітгенштейн, полягає в розгляді різних висловлювань про математичні об'єкти (це наслідок застосування методу мовних ігор до математики, розглядати математику цим методом по-іншому просто неможливо), але такі висловлювання можуть існувати у двох модусу: як висловлювання повсякденній промові з приводу кількісної, математичної прагматики, а також як фрагменти якогось наукового математичного тексту, у формі якого й існує математика як область наукового знання.

Вітгенштейн вважає, що можливо розглядати математику в двох аспектах: по-перше, як набір висловлювань, які мають своїм предметом математичні об'єкти, тобто набір висловлювань буденної мови, але що складають предмет наукового, математичного знання, по-друге, як якесь знання, дане нам лише у формі висловлювань (виразів), у сумі складових те, що ми можемо вважати такою собі математичної теорією, висловлювань, побудованих за певними правилами, визначеним правилами природної мови, і що розгортаються в якесь єдине ціле також по певним закономірностям. Однак, слід зазначити, що згадка про математику як «єдине ціле» виявляється поспішним. Одним з результатів застосування методу «мовних ігор» до аналізу природної мови є той факт, що не існує того єдності лінгвістичної діяльності людини, що позначається поняттям «мова». Лінгвістична діяльність розпадається на безліч родинних один одному практик, що позначаються терміном «Мовні ігри». Математика, відповідно, також включає в себе ряд практик, таких як ті чи інші операції з числами і кількостями (тобто підрахунок, вимірювання, обчислення тощо), а також операції з поняттями (тобто докази, визначення), причому часто ці практики саме споріднені один одному, тобто для реалізації одних не потрібно застосування інших, як, наприклад, для діяльності рахунку не потрібно визначення числа.

Слід зазначити, що розгляд Вітгенштейнів підстав математики демонструє методологічний потенціал поняття "мовної гри», оскільки саме в цьому циклі нотаток Вітгенштейн застосовує свій метод не просто для аналізу природної мови, як це мало місце в «Філософських дослідженнях», але для аналізу цілком певної сфери практичної діяльності, визначеної як математична наука. Цей факт робить даний метод застосовним і при аналізі як інших областей наукового знання, так і при аналізі інших практичних сфер людської діяльності в силу того, що основою всіх видів діяльності є діяльність комунікативна.

Розглянемо ще один висновок, до якого прийшов Вітгенштейн при аналізі математичного знання. Він відмовляє математики (математики, як універсального мовного засобу науки) в пізнавальної здатності взагалі, в силу того, що будучи мовної грою та не здатна на пізнавальну діяльність у загальноприйнятому сенсі (оскільки, на думку Вітгенштейна, математик не відкриває, але винаходить). Але при цьому виникає природне запитання про те, як у такому випадку можливий розвиток математики взагалі. На думку Вітгенштейна, серед форм існування математичного знання наявні певні ресурси, що дозволяють його розширювати. Однією з таких форм є математичне доказ, на дану інтерпретацію якого звернув увагу і А.Ф. Грязнов. Ось як він про це пише [1, С.151]: «найважливіше, на погляд Вітгенштейна, в тому, як саме доказ конструює те чи інше математичне пропозицію. Воно змушує одну структуру породжувати іншу. У силу цього доказ виступає як певний інструмент мови ». Даний фрагмент є для нас показовим в тому аспекті, що для А.Ф. Грязнова здалася суттєвою здатність однієї мовної структури породжувати форми інших структур. Саме це є характерним для функціонування такої структури існування знання, як дискурс в тому розумінні, в якому його найчастіше прийнято розглядати. Більше того, ми ризикнемо припустити, що доказ є однією з можливих форм висловлювання в тому сенсі, в якому розумів його Фуко у роботі «Археологія знання» (як складову дискурсу). Зауважимо: не яке-небудь конкретний доказ, що входить в той чи інший математичний текст, а доказ як одна з форм існування математичного тексту. Дане припущення відкриває такі перспективи досліджень: можливо припустити, що закономірності, встановлені Вітгенштейнів при аналізі математики як мовної гри, дозволяють розглядати її як певну дискурсивну практику в тому сенсі, що закономірності її побудови визначаються законами функціонування дискурсу, а концепція «мовних ігор» знайшла свій розвиток у концепції дискурсу М. Фуко.

Список літератури

Грязнов А.Ф. Еволюція філософських поглядів Л. Вітгенштейна. Критичний аналіз. М., 1985.

Грязнов А.Ф. Л. Вітгенштейн про методологічних питаннях математичного знання// Вісник Московського університету. Серія 7. Філософія. № 4. 1997.

Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту http://anthropology.ru/