Введення

Людина розрізняє оточуючі його предмети за формою. Інтерес до форми будь-якого предмета може бути продиктований життєвою необхідністю, а може бути викликаний красою форми. Форма, в основі побудови якої лежать поєднання симетрії та золотого перетину, сприяє найкращому зоровому сприйняттю і появи відчуття краси і гармонії. Ціле завжди складається з частин, частини різної величини знаходяться в певному відношенні один до одного і до цілого. Принцип золотого перетину - вищий прояв структурної і функціональної досконалості цілого і його частин у мистецтві, науці, техніці і природі.

Ще в епоху Відродження художники відкрили, що будь-яка картина має певні точки, мимоволі привертає нашу увагу, так звані зорові центри. При цьому абсолютно неважливо, який формат має картина - горизонтальний або вертикальний. Таких точок всього чотири, і розташовані вони на відстані 3/8 і 5/8 від відповідних країв площині.

Це відкриття у художників того часу отримало назву "золотий перетин" картини. Тому, для того щоб привернути увагу до головного елемента фотографії, необхідно поєднати цей елемент з одним із зорових центрів.

Золотий перетин - гармонійна пропорція

В математиці пропорцією (лат. proportio) називають рівність двох відносин: a: b = c: d.

Відрізок прямої АВ можна розділити на дві частини наступним чином:

- на дві рівні частини - АВ: АС = АВ: ВС;

- на дві нерівні частини в будь-якому відношенні (такі частини пропорції не утворюють);

таким чином, коли АВ: АС = АС: Нд

Останнє і є золотий розподіл або поділ відрізка в крайньому і середньому відношенні.

Золотий перетин - це таке пропорційний поділ відрізка на нерівні частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, як сама велика частина відноситься до меншої, або іншими словами, менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього a: b = b: c або з: b = b: а.

Рис. 1. Геометричне зображення золотої пропорції

Практичне знайомство з золотим перетином починають з поділу відрізка прямої в золотій пропорції за допомогою циркуля і лінійки.

Рис. 2. Ділення відрізка прямої золотий перетин. BC = 1/2 AB; CD = BC

З точки В випростовує перпендикуляр, що дорівнює половині АВ. Отримана точка З з'єднується лінією з точкою А. На отриманій лінії відкладається відрізок ВС, що закінчується крапкою D. Відрізок AD переноситься на пряму АВ. Отримана при цьому точка Е ділить відрізок АВ у співвідношенні золотої пропорції.

Відрізки золотої пропорції виражаються нескінченним ірраціональним дробом AE = 0,618 ..., якщо АВ прийняти за одиницю, ВЕ = 0,382 ... Для практичних цілей часто використовують наближені значення 0,62 і 0,38. Якщо відрізок АВ прийняти за 100 частин, то більша частина відрізка дорівнює 62, а менша - 38 частин.

Властивості золотого перетину описуються рівнянням:

x2 - x - 1 = 0.

Рішення цього рівняння:

Властивості золотого перетину створили навколо цього числа романтичний ореол таємничості і мало не містичного поклоніння.

Друге золотий перетин

Болгарський журнал "Вітчизна" (№ 10, 1983 р.) опублікував статтю Цвєтана Цекова-Олівця "Про другому золотому перетині", яке випливає з основного перетину і дає інше ставлення 44: 56.

Така пропорція виявлена в архітектурі, а також має місце при побудові композицій зображень подовженого горизонтального формату.

Історія золотого перетину

Прийнято вважати, що поняття про золотий поділ ввів у науковий обіг Піфагор, давньогрецький філософ і математик (VI ст. до н.е.). Є припущення, що Піфагор своє знання золотого поділу запозичив у єгиптян і вавілонян. І дійсно, пропорції піраміди Хеопса, храмів, барельєфів, предметів побуту і прикрас з гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстри користувалися співвідношеннями золотого розподілу при їх створенні. Французький архітектор Ле Корбюз'є знайшов, що в рельєфі з храму фараона Мережі I в Абідосі і в рельєфі, що зображує фараона Рамзеса, пропорції фігур відповідають величинам золотого поділу. Зодчий Хесира, зображений на рельєфі дерев'яної дошки з гробниці його імені, тримає в руках вимірювальні інструменти, в яких зафіксовані пропорції золотого поділу.

Греки були майстерними геометрами. Навіть арифметиці навчали своїх дітей за допомогою геометричних фігур. Квадрат Піфагора і діагональ цього квадрата були підставою для побудови динамічних прямокутників.

Платон (427 ... 347 рр.. до н.е.) також знав про золотий поділ. Його діалог "Тімей" присвячений математичним і естетичним поглядам школи Піфагора і, зокрема, питань золотого поділу.

У фасаді давньогрецького храму Парфенона присутні золоті пропорції. При його розкопках виявлені циркули, якими користувалися архітектори та скульптори античного світу. У помпейському циркулі (музей в Неаполі) також закладені пропорції золотого поділу.

У дійшла до нас античній літературі золотий розподіл вперше згадується в "Початках" Евкліда. У 2-й книзі "Начал" дається геометрична побудова золотого поділу Після Евкліда дослідженням золотого поділу займалися Гіпсікл (II ст. До н.е.), Папп (III ст. Н.е.) і ін У середньовічній Європі з золотим поділом познайомилися з арабських перекладів "Начал" Евкліда. Перекладач Дж. Кампана з Наварро (III ст.) Зробив до перекладу коментарі. Секрети золотого поділу ревно оберігали, зберігалися в суворій таємниці. Вони були відомі тільки присвяченим.

В епоху Відродження посилюється інтерес до золотого поділу серед учених і художників у зв'язку з його застосуванням, як у геометрії, так і в мистецтві, особливо в архітектурі Леонардо да Вінчі, художник і вчений, бачив, що в італійських художників емпіричний досвід великий, а знань мало. Він задумав і почав писати книгу з геометрії, але в цей час з'явилася книга ченця Луки Пачолі, і Леонардо залишив свою витівку. На думку сучасників та істориків науки, Лука Пачолі був справжнім світилом, найбільшим математиком Італії в період між Фібоначчі і Галілеєм. Лука Пачолі був учнем художника П'єро делла Франческа, що написав дві книги, одна з яких називалася "Про перспективу в живопису". Його вважають творцем нарисної геометрії.

Лука Пачолі прекрасно розумів значення науки для мистецтва. У 1496 р на запрошення герцога Моро він приїжджає в Мілан, де читає лекції з математики. У Мілані при дворі Моро у той час працював і Леонардо да Вінчі. У 1509 р. у Венеції була видана книга Луки Пачолі "Божественна пропорція" з блискуче виконаними ілюстраціями, через що вважають, що їх зробив Леонардо да Вінчі. Книга була захопленим гімном золотої пропорції. Серед багатьох достоїнств золотої пропорції монах Лука Пачолі не забув назвати і її "божественну суть" як вираження божественної триєдності Син Божий, Бог-отець і бог дух святий (малося на увазі, що малий відрізок є уособлення бога сина, більший відрізок - бога батька, а весь відрізок - бога духу святого).

Леонардо да Вінчі також багато уваги приділяв вивченню золотого поділу. Він справляв перетину стереометричних тіла, утвореного правильними п'ятикутника, і кожного разу отримував прямокутники з відносинами сторін у золотому діленні. Тому він дав цьому поділу назва золотий перетин. Так воно і тримається до цих пір, як саме популярне.

У той же час на півночі Європи, в Німеччині, над тими ж проблемами трудився Альбрехт Дюрер. Він робить начерки введення до першого варіанта трактату про пропорції. Дюрер пише. "Необхідно, щоб той, хто щось вміє, навчив цього інших, які цього потребують. Це я і думав був учинити ".

Судячи з одного з листів Дюрера, він зустрічався з Лукою Пачолі під час перебування в Італії. Альбрехт Дюрер докладно розробляє теорію пропорцій людського тіла. Важливе місце у своїй системі співвідношень Дюрер відводив золотий перетин. Зростання людини ділиться в золотих пропорціях лінією поясу, а також лінією, проведеною через кінчики середніх пальців опущених рук, нижня частина обличчя - ротом і т.д. Відомий пропорційний циркуль Дюрера.

Великий астроном XVI ст. Іоган Кеплер назвав золотий переріз одним зі скарбів геометрії. Він першим звертає увагу на значення золотої пропорції для ботаніки (зростання рослин та їх будова).

Кеплер називав золоту пропорцію що продовжує саму себе "Влаштована вона так, - писав він, - що два молодших члена цієї нескінченної пропорції в сумі дають третій член, а будь-які два останніх члена, якщо їх скласти, дають наступний член, причому та ж пропорція зберігається до нескінченності ".

Побудова ряду відрізків золотої пропорції можна робити як у бік збільшення (зростаючий ряд), так і в бік зменшення (спадний ряд).

Якщо на прямий довільної довжини, відкласти відрізок m, поруч відкладаємо відрізок M.

У наступні століття правило золотої пропорції перетворилося в академічний канон і, коли з часом в мистецтві почалася боротьба з академічною рутиною, в запалі боротьби "разом з водою виплеснули і дитину". Знову "відкрито" золотий перетин було в середині XIX ст. У 1855 р. німецький дослідник золотого перетину професор Цейзинга опублікував свою працю "Естетичні дослідження". З Цейзинга відбулося саме те, що і мало неминуче статися з дослідником, який розглядає явище як таке, без зв'язку з іншими явищами. Він абсолютизував пропорцію золотого перетину, оголосивши її універсальною для всіх явищ природи й мистецтва. У Цейзинга були численні послідовники, але були й супротивники, які оголосили його вчення про пропорції "математичної естетикою".

Справедливість своєї теорії Цейзинга перевіряв на грецьких статуях. Найбільш докладно він розробив пропорції Аполлона Бельведерського. Зазнали дослідженню грецькі вази, архітектурні споруди різних епох, рослини, тварини, пташині яйця, музичні тони, віршовані розміри. Цейзинга дав визначення золотий перетин, показав, як воно виражається у відрізках прямій і в цифрах. Коли цифри, що виражають довжини відрізків, були отримані, Цейзинга побачив, що вони складають ряд Фібоначчі, який можна продовжувати до нескінченності в одну і в інший бік. Наступна його книга мала назву "Золоте поділ як основний морфологічний закон у природі та мистецтві". У 1876 р. в Росії була видана невелика книжка, майже брошура, з викладенням цієї праці Цейзинга. Автор сховався під ініціалами Ю.Ф.В. У цьому виданні не згадано ні один твір живопису.

Наприкінці XIX - початку XX ст. з'явилося чимало чисто формалістичних теорії про застосування золотого перетину в творах мистецтва та архітектури. З розвитком дизайну й технічної естетики чинність закону золотого перерізу поширилася на конструювання машин, меблів і т.д.

Ряд Фібоначчі

З історією золотого перетину непрямим чином пов'язане ім'я італійського математика ченця Леонардо з Пізи, більш відомого під ім'ям Фібоначчі (син Боначчі). Він багато подорожував по Сходу, познайомив Європу з індійськими (арабськими) цифрами. У 1202 р. вийшов у світ його математична праця "Книга про абаки" (лічильної дошці), в якому були зібрані всі відомі на той час завдання. Одне із завдань свідчила "Скільки пар кроликів в один рік від однієї пари народиться". Розмірковуючи на цю тему, Фібоначчі вибудував такий ряд цифр:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, і т.д.

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 і т.д. відомий як ряд Фібоначчі. Особливість послідовності чисел полягає в тому, що кожен її член, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 і т.д., а ставлення суміжних чисел ряду наближається до ставлення золотого поділу. Так, 21: 34 = 0,617, а 34: 55 = 0,618. Це відношення позначається символом Ф. Тільки це відношення - 0,618: 0,382 - дає безупинний поділ відрізка прямої в золотій пропорції, його збільшення або зменшення до нескінченності, коли менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього.

Фібоначчі так само займався вирішенням практичних потреб торгівлі: за допомогою якого найменшої кількості гир можна зважити товар? Фібоначчі доводить, що оптимальною є така система гир: 1, 2, 4, 8, 16 ...

Узагальнене золотий перетин

Ряд Фібоначчі міг би залишитися тільки математичним казусом, якби не та обставина, що всі дослідники золотого поділу в рослинному і тваринному світі, не кажучи вже про мистецтво, незмінно приходили до цього ряду як арифметичного виразу закону золотого поділу.

Учені продовжували активно розвивати теорію чисел Фібоначчі і золотого перетину. Ю. Матіясевіч з використанням чисел Фібоначчі вирішує 10-ту проблему Гільберта. Виникають витончені методи вирішення ряду кібернетичних задач (теорії пошуку, ігор, програмування) з використанням чисел Фібоначчі і золотого перетину. У США створюється навіть Математична Фібоначчі-асоціація, яка з 1963 року випускає спеціальний журнал.

Одним з досягнень у цій сфері є відкриття узагальнених чисел Фібоначчі і узагальнених золотих перетинів.

Ряд Фібоначчі (1, 1, 2, 3, 5, 8) і відкритий ним же "двійковий" ряд гир 1, 2, 4, 8, 16 ... на перший погляд зовсім різні. Але алгоритми їх побудови дуже схожі один на одного: у першому випадку кожне число є сума попереднього числа з самим собою 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2 ..., у другому - це сума двох попередніх чисел 2 = 1 + 1 , 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2 .... Чи не можна відшукати загальну математичну формулу, з якої виходять і "двійковий" ряд, і ряд Фібоначчі? А може бути, ця формула дасть нам нові числові множини, що володіють якимись новими унікальними властивостями?

Дійсно, поставимо собі числовим параметром S, який може приймати будь-які значення: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ... Розглянемо числовий ряд, S + 1 перших членів якого - одиниці, а кожний з наступних дорівнює сумі двох членів попереднього і віддаленого від попереднього на S кроків. Якщо n-й член цього ряду ми позначимо через