Назва Евкліда назавжди пов'язане з одним з відгалужень математики,що отримав назву "евклідового геометрія". Настільки міцна слава закріпиласяза Евкліда заслужено, завдяки його праці .. Початки ". У школах усього світу,довгі століття геометрія викладалася по .. Початкам "Евкліда. В англійськихшколах до сьогоднішнього дня підручники геометрії за своєю формою нагадуютьцей учений трактат. У світовій літературі "Початки" належать до числасамих популярних і розповсюджених математичних праць. Незважаючи натаку величезну популярність Евкліда як автора .. Почав ", сам він, його зовнішністьі життєвий шлях відомі дуже мало. Ні історично вірних відомостей про йогожиття, невідомі навіть точні дати його народження і смерті. За відомостямизалишеним потомству Проклятий (410-485), автором коментарів до "Початкам",діяльність Евкліда проходила під час правління Птолемея Сотера 1
(305-282 рр. до н.е.). При цьому царя, столиця Єгипту Олександрія сталацентром наукового і культурного життя тодішнього світу, і привертала до себебагатьох видатних вчених з усіх сторін, зокрема, з Греції. Узнаменитої в ті часи Олександрійській школі працювали тоді багато світиламатематики і серед них Евклід, який був одним з перших їївикладачів. Що дійшли до нас твори Евкліда, свідчать проте, що це був дуже здібний і навіть талановитий викладач.
Існує думка, що Евклід був вихованцем Платонівської академії, де,маючи доступ до кращих праць грецьких математиків і філософів, досяг висоттодішніх наукових знань. Справді, твори Евкліда носять на собіознаки захоплення платонівської філософією: Евклід, наприклад, у своїхтрактатах дуже ретельно уникає проблем практичного порядку.
Деяке світло на Евкліда як людину, математика і філософа, проливаютьдва анекдоти, правдивість яких, втім, як і правдивість взагалі всіханекдотів, може бути взята під сумнів. Розповідають, наприклад, щоодного разу цар Птолемей 1, гортаючи книгу .. Почав "звернувся до автора зпитанням чи немає більш простих шляхів до оволодіння наукою геометрії, на що
Евклід відповів: В геометрії немає особливих доріг навіть для царів ". В іншомуанекдоті говориться, чтр один з учнів Евкліда, вивчаючи геометрію іознайомившись з першою аксіомою запитав що йому дасть вивчення геометрії?
Замість відповіді Евклід покликав невільника і розпорядився. "Дай йому обол,Бо цей чоловік очікує прибутку від науки ". Математик Папп (320 р. н. е..)захоплюється незвичайною чесністю, скромністю, лагідністю іодночасно незалежністю, якими рисами характеру відрізнявся Евклід.
Евклід був досить плідним автором різних праць. Відомо, що йогоперу належить не менше 10 трактатів, з яких "Початки", що складаються з
13 книг вважаються найбільшим твором в історії математики. Цеперше, що зберігся математичний трактат, в якому з усією повнотоювідбився дедуктивний метод. .. Почала "носять характер підручника, в якому
Евклід дав повний звід математичних знань своїх попередників. Такимчином, Евкліда важко вважати самостійним автором змісту "Начал",за невеликими винятками, що стосуються конусних перетинів і сферичноїгеометрії. Але в "Початках" Евклід виявив себе прекрасним систематики тавидатним педагогом з усіх, що існували за всю історію математики.
.. Початки "були написані близько 300 року до н.е., але найдавніші,збереглися рукописи на грецькій мові беруть лише до Х ве нашоголіточислення. З часів 1 століття нашої зр '• ранілось тільки кількауривків папірусу з ським текстом. Незважаючи на відсутність орігінг даруючикопіткій праці вчених, порівняли внейшіе, що збереглися рукописи,вдалося з повною достовірністю відновити початковий текстчудового праці Евкліда. З тринадцяти книг .. Почав "першого, другого,третя і четверта а також шоста, присвячені геометрії на площині, водинадцяте, дванадцятий і тринадцятий наведені основи стереометрії,інші книги .. Почав "присвячені теорії пропорцій та арифметики. На початкупраці Евклід приводить десять первинних теорем - без доказів, зяких п'ять перших назвав аксіомами, а решта - постулатами і ввівнеобхідну кількість визначень. Спираючись на цій системі аксіом іпостулатів, Евклід дає докази 465 теорем розподілених в ланцюжок,чергові ланки якої логічно випливають з попередніх ланок або заксіом. П'ята, так звана,, Аксіома паралельності "на цілі століттязайняла уми багатьох математиків. Спочатку, як наприклад, Птолемей в давнинуі потім, вже в XVIII столітті вчені намагалися дати доказ цієї аксіомиі після багатьох невдалих спроб ухвалили чотири перші аксіоми бездоказів; зрештою, відмова від п'ятого аксіоми привів довиникнення нової теорії, що отримала назву неевклідової геометрії.
Одна з теорем, наведена в "Початках", авторство якої приписується
Евкліду, відома зі шкільного курсу і говорить: .. Площа квадратапобудованого на висоті прямокутного трикутника опущеною з прямогокута на гіпотенузу, рівновеликі площі прямокутника зі сторонами рівнимивідрізкам гіпотенузи, отриманими від перетину її висотою "Іншітвори Евкліда не збереглися. Про те, що вони існувалисвідчать згадки в працях інших математиків.
Історію давньогрецької математики можна підрозділити на три періоди:перше - незвичайно буйне, майже стихійне розвиток, друга - періодсумнівів, критичного ставлення до нових праць і, нарешті, третя - періодвпорядкування результатів отриманих великими вченими минулого.
Праця Евкліда належить саме до цього останнього періоду.
Великі заслуги Евкліда. Про те, як високо оцінені його праці,свідчить факт, що "Початки" залишалися фундаментальнимматематичним працею протягом понад 2000 років.
Як відомо, в III столітті до нашої ери грецький геометр Евклід у своїйкнизі «Начала» сформулював систему аксіом, з яких послідовно,одна за одною, виводяться всі основні теореми геометрії. І ніколи невиходило двох що суперечать один одному теорем, докази якихрівноправно випливали б з прийнятої системи аксіом. Це означає, щоаксіоматика Евкліда несуперечливо.
Аксіоми евклідової геометрії є продуктом повсякденних людськихспостережень, крім однієї - аксіоми про паралельні, що називається також п'ятийпостулатом. Хто сформулює цю аксіому?
Учень. Наскільки я пам'ятаю: через точку поза прямою можна провести в їхплощині тільки одну пряму, не перетинає даної.
Ведучий. У Евкліда в «Початках» дещо інша формулювання, але суть таж. І ось цю аксіому, на відміну від інших, жодним досвідом непідтвердиш, не опровергнешь, адже на практиці відтворні лише відрізкипрямих, але ніколи самі прямі у всій їх нескінченної протяжності.
Учень. Але якщо цей п'ятий постулат непроверяем фізично, то, можеМожливо, слід було виключити його з числа аксіом і доводити як теорему,спираючись на інші аксіоми?
Ведучий. Так воно й було. Століттями тривали спроби придумати доказ
- Не вдавалося нікому. У таємницю цих невдач саме і проник Н. І.
Лобачевський глибоко і остаточно: п'ятий постулат недоказуем і від
-панував бо леї двох тисяч років переконання, чт (евклідового геометріяє єдність ва мислима система геометричний ського пізнання світу,необхідно від здаватися.
1-й учень. Вічний ... п'ятий. Від Евкліда
І до цих ось снігів
Постулат, як чорний ідо
У жертву вимагає умов ...

2-й учень. «Постулат недоказуем!»
Навіть страшно вимовити.
Ах, догматики! Грозу їм
принесе така звістка.
3-й учень. На уроках геометрії учитель говорив нам, що Лобачевськийстворив «неевклідову геометрію», у якій через точку можна провести більшодній лінії, не перетинає дану пряму.
Ведучий. Вірно. Лобачевський замінив Евкліда п'ятий постулат більш загальноїаксіомою паралельності, зберігши інші аксіоми і постулати. Щоб легшебуло зрозуміти сенс аксіом Лобачевського, візьмемо пряму АВ і-поза її точку С.
Нехай САВ прямій.
Побудуємо промінь СD, що перетинає пряму АВ в точці D, що лежить праворуч відточки А, і уявімо, що він обертається проти годинникової стрілки. У міруобертання променя СD безпосереднє спостереження перетину його з АВстає нездійсненним. З цієї причини буде логічно правомірнимзмінити наше уявлення про прямої лінії і промені, що тепер дозволилоб нам уявити, що промінь СD в якийсь момент свого обертання
«Відривається» від прямої АВ, тобто перестає мати з нею спільну точку.
Тоді «пряму» (аа '), що містить промінь, що вперше «відірвався» від АВ,назвемо прямої, паралельної прямої АР в напрямку променя АВ.
Розглянувши симетрію з віссю 4С, бачимо, що є «пряма» (ЬЬ '),симетрична «прямий» (аа ') і проходить через точку С (рис. 39). Ясно, щоі цю «пряму» (ЬЬ ') слід вважати паралельної АВ, але вже у напрямкупроменя АВ '. Отже, через З проходять два «прямі», паралельні прямій
ВВ '.
З кожною з цих «прямих» промінь СА, перпендикулярний прямій В'В, утворюєкут л (р), названий Лобачевським кутом паралельності. Кут ((р) залежитьвід довжини СА == р і має наступну властивість: всі прямі, що проходять через С іутворюють із перпендикуляром СА кут, менший л (р), перетинають В'В, всерешта «прямі», що проходять через С, не перетинають В'В, їх називаютьрозбіжними прямими або сверхпараллелямі до прямої В'В. Через З проходитьнескінченну безліч таких «прямих».
В окремому випадку, коли ((р) == 90 °, виходить постулат Евкліда ідотримуються всі пропозиції звичайній геометрії, «вживаних», якназивав її Н. І. Лобачевський.
Кут ((р) зростає і наближається до прямого кутку при наближенні точки
З до прямої В'В.
З допущення, що ((р)