Зміст


Введення
2.Золотоесеченіе-гармоніческаяпропорція
3.Второезолотоесеченіе
4.Золотойтреугольнік (пентаграма)
5.Історіязолотогосеченія
6.РядФібоначчі
7.Обобщенноезолотоесеченіе
8.Прінціпиформообразованіявпріроде
9.Золотоесеченіеісімметрія
10.Разгадкатайнизолотогосеченія
11.Золотоесеченіевскульптуре
12.Золотоесеченіевархітектуре
13.Золотоесеченіевжівопісі.Золотаяспіраль
14. "Необходімопрекрасномузданіюбитьпостроенним
подобнохорошосложенномучеловеку "(ПавелФлоренскій)
15.Закономерностіпостроеніяпространственнойкомпозіцііпарка
Література


Введення

Человекразлічаетокружающіеегопредметипоформе.Інтерескформекакого-лібопредметаможетбитьпродіктованжізненнойнеобходімостью, аможетбитьвизванкрасотойформи.Форма, восновепостроеніякоторойлежатсочетаніесімметрііізолотогосеченія, способствуетнаілучшемузрітельномувоспріятіюіпоявленіюощущеніякрасотиігармоніі.Целоевсегдасостоітізчастей, частіразнойвелічінинаходятсявопределенномотношеніідругкдругуікцелому.Прінціпзолотогосеченія-висшеепроявленіеструктурногоіфункціональногосовершенствацелогоіегочастейвіскусстве, науці, технікеіпріроде.

ЕщевепохуВозрожденіяхудожнікіоткрилі, чтолюбаякартінаімеетопределенниеточкі, невольнопріковивающіенашевніманіе, такназиваемиезрітельниецентри.Пріетомабсолютноневажно, какойформатімееткартіна-горізонтальнийілівертікальний.Такіхточеквсегочетире, ірасположенионінарасстояніі3/8і5/8отсоответствующіхкраевплоскості.

Данноеоткритіеухудожніковтоговременіполучілоназваніе "золотоесеченіе" картини. Тому, длятогочтобипрівлечьвніманіекглавномуелементуфотографіі, необходімосовместітьетотелементсодніміззрітельнихцентров.


2.Золотоесеченіе-гармоніческаяпропорція

Вматематікепропорціей (лат.proportio) називаютравенстводвухотношеній: a: b = c: d.
ОтрезокпрямойАВможноразделітьнадвечастіследующіміспособамі:
* надверавниечасті-АВ: АС = АВ: ВС;
* надвенеравниечастівлюбомотношеніі (такіечастіпропорціінеобразуют);
* такімобразом, когдаАВ: АС = АС: НД
Последнееіестьзолотоеделеніеіліделеніеотрезкавкрайнемісреднемотношеніі.
Золотоесеченіе-етотакоепропорціональноеделеніеотрезкананеравниечасті, прікоторомвесьотрезоктакотносітсякбольшейчасті, каксамабольшаячастьотносітсякменьшей; ілідругімісловамі, меньшійотрезоктакотносітсякбольшему, какбольшійковсемуa: b = b: cіліс: b = b: а.

Ріс.1.Геометріческоеізображеніезолотойпропорціі

Практіческоезнакомствосзолотимсеченіемначінаютсделеніяотрезкапрямойвзолотойпропорцііспомощьюціркуляілінейкі.

Ріс.2.Деленіеотрезкапрямойпозолотомусеченію.BC = 1/2AB; CD = BC

ІзточкіВвосставляетсяперпендікуляр, равнийполовінеАВ.ПолученнаяточкаСсоедіняетсялініейсточкойА.НаполученнойлінііоткладиваетсяотрезокВС, заканчівающійсяточкойD.ОтрезокADпереносітсянапрямуюАВ.ПолученнаяпріетомточкаЕделітотрезокАВвсоотношеніізолотойпропорціі.
ОтрезкізолотойпропорціівиражаютсябесконечнойірраціональнойдробьюAE = 0,618 ..., есліАВпрінятьзаедініцу, ВЕ = 0,382 ... Дляпрактіческіхцелейчастоіспользуютпрібліженниезначенія0, 62і0, 38.ЕсліотрезокАВпрінятьза100частей, тобольшаячастьотрезкаравна62, аменьшая-38частям.
Свойствазолотогосеченіяопісиваютсяуравненіем:
x2-x-1 = 0.
Решеніеетогоуравненія:

Свойствазолотогосеченіясоздалівокругетогочісларомантіческійореолтаінственностіічутьлінемістіческогопоклоненія.
3.Второезолотоесеченіе

Болгарскійжурнал "Батьківщина" (№ 10,1983 р.) опубліковалстатьюЦветанаЦекова-Олівця «Овторомзолотомсеченіі», котороевитекаетізосновногосеченіяідаетдругоеотношеніе44: 56.
Такаяпропорціяобнаруженавархітектуре, атакжеімеетместопріпостроеніікомпозіційізображенійудліненногогорізонтальногоформата.



Ріс.3.Построеніевторогозолотогосеченія


Деленіеосуществляетсяследующімобразом.ОтрезокАВделітсявпропорціізолотогосеченія.ІзточкіСвосставляетсяперпендікулярСD.РадіусомАВнаходітсяточкаD, котораясоедіняетсялініейсточкойА.ПрямойуголАСDделітсяпополам.ІзточкіСпроводітсялініядопересеченіяслініейAD.ТочкаЕделітотрезокADвотношеніі56: 44.


Ріс.3.1.Деленіепрямоугольнікалініейвторогозолотогосеченія

Нарісункепоказаноположеніелініівторогозолотогосеченія.Онанаходітсяпосередінемеждулініейзолотогосеченіяісреднейлініейпрямоугольніка.





4.Золотойтреугольнік

Замечательнийпрімер «золотогосеченія» представляетсобойправільнийпятіугольнік-випуклийізвездчатий (рис. 4).

ІзподобіятреугольніковACDіABEможемвивестіужеізвестнуюпропорцію:

Такімобразом, звездчатийпятіугольніктакжеобладает «золотимсеченіем». Цікаво, чтовнутріпятіугольнікаможнопродолжітьстроітьпятіугольнікі, іетоотношеніебудетсохраняться.
Звездчатийпятіугольнікназиваетсяпентаграммой.Піфагорейцивибраліпятіконечнуюзвездувкачестветалісмана, онасчіталасьсімволомздоровьяіслужілаопознавательнимзнаком.
Битуетлегендаотом, чтоодінізпіфагорейцевбольнимпопалвдомкнезнакомимлюдям.Оністаралісьеговиходіть, ноболезньнеотступала.Неімеясредствзаплатітьзалеченіеіуход, больнойпередсмертьюпопросілхозяінадоманарісоватьувходапятіконечнуюзвезду, пояснивши, чтопоетомузнакунайдутсялюді, коториевознаградятего.Інасамомделе, черезнекотороевремяодінізпутешествующіхпіфагорейцевзаметілзвездуісталрасспрашіватьхозяінадомаотом, какімобразомонапоявілісьувхода.Послерассказахозяінагостьщедровознаграділего.
ПентаграммабилахорошоізвестнаівДревнемЕгіпте.НонепосредственнокакемблемаздоровьяонабилапріняталішьвДревнейГреціі.
Внастоящеевремясуществуетгіпотеза, чтопентаграмма-первічноепонятіе, а «золотоесеченіе» вторічно.Пентаграммуніктонеізобретал, еетолькоскопіроваліснатури.Відпятіконечнойзвездиімеютпяті-лепестковиецветиплодовихдеревьевікустарніков, морскіезвезди.Теідругіесозданіяпріродичеловекнаблюдаетужетисячілет.Поетомуестественнопредположіть, чтогеометріческійобразетіхоб'ектов-пентаграма-сталаізвестнараньше, ніж «золота» пропорція.


Длянахожденіяотрезковзолотойпропорціівосходящегоінісходящегорядовможнопользоватьсяпентаграммой.

Ріс.5.Построеніеправільногопятіугольнікаіпентаграмми
Дляпостроеніяпентаграмминеобходімопостроітьправільнийпятіугольнік.СпособегопостроеніяразработалнемецкійжівопісеціграфікАльбрехтДюрер (1471 ... 1528). ПустьO-центрокружності, A-точканаокружностііЕ-середінаотрезкаОА.ПерпендікуляркрадіусуОА, восставленнийвточкеО, пересекаетсясокружностьювточкеD.Пользуясьціркулем, отложімнадіаметреотрезокCE = ED.ДлінасторонивпісанноговокружностьправільногопятіугольнікаравнаDC.ОткладиваемнаокружностіотрезкіDCіполучімпятьточекдляначертаніяправільногопятіугольніка.Соедіняемуглипятіугольнікачерезодіндіагоналямііполучаемпентаграмму.Вседіагоналіпятіугольнікаделятдругдруганаотрезкі, связанниемеждусобойзолотойпропорціей.
Каждийконецпятіугольнойзвездипредставляетсобойзолотойтреугольнік.Егосторониобразуютугол36 ° прівершіне, аоснованіе, отложенноенабоковуюсторону, делітеевпропорціізолотогосеченія.

Ріс.6.Построеніезолотого
трикутника

ПроводімпрямуюАВ.ОтточкіАоткладиваемнанейтріразаотрезокОпроізвольнойвелічіни, черезполученнуюточкуРпроводімперпендікулярклінііАВ, наперпендікуляревправоівлевоотточкіРоткладиваемотрезкіО.Полученниеточкіdіd1соедіняемпрямимісточкойА.Отрезокdd1откладиваемналініюAd1, получаяточкуС.ОнаразделілалініюAd1впропорціізолотогосеченія.ЛініяміAd1іdd1пользуютсядляпостроенія «золотого» прямокутника.

5.Історіязолотогосеченія

Прінятосчітать, чтопонятіеозолотомделенііввелвнаучнийобіходПіфагор, древнегреческійфілософіматематік (VIв.дон.е.). Естьпредположеніе, чтоПіфагорсвоезнаніезолотогоделеніяпозаімствовалуегіптянівавілонян.Ідействітельно, пропорцііпірамідиХеопса, храмів, барельєфів, предметовбитаіукрашенійізгробніциТутанхамонасвідетельствуют, чтоегіпетскіемастерапользовалісьсоотношеніямізолотогоделеніяпрііхсозданіі.ФранцузскійархітекторЛеКорбюзьенашел, чтоврельефеізхрамафараонаСетіIвАбідосеіврельефе, ізображающемфараонаРамзеса, пропорцііфігурсоответствуютвелічінамзолотогоделенія.ЗодчійХесіра, ізображеннийнарельефедеревяннойдоскіізгробніциегоімені, держітврукахізмерітельниеінструменти, вкоторихзафіксірованипропорціізолотогоделенія.
Грекібилііскуснимігеометрамі.Дажеаріфметікеобучалісвоіхдетейпріпомощігеометріческіхфігур.КвадратПіфагораідіагональетогоквадратабиліоснованіемдляпостроеніядінаміческіхпрямоугольніков.

Ріс.7.Дінаміческіепрямоугольнікі
Платон (427 ... 347 гг.дон.е.) такжезналозолотомделеніі.Егодіалог «Тімей» посвященматематіческіміестетіческімвоззреніямшколиПіфагораі, зокрема, вопросамзолотогоделенія.
ВфасадедревнегреческогохрамаПарфенонапрісутствуютзолотиепропорціі.Пріегораскопкахобнаружениціркулі, коториміпользовалісьархітекториіскульпториантічногоміра.ВПомпейскомціркуле (музейвНеаполе) такжезаложенипропорціізолотогоделенія.

Ріс.8.Антічнийціркульзолотогосеченія
Вдошедшейдонасантічнойлітературезолотоеделеніевпервиеупомінаетсяв «Початках» Евкліда.Во2-йкніге «Почав» даетсягеометріческоепостроеніезолотогоделеніяПослеЕвклідаісследованіемзолотогоделеніязанімалісьГіпсікл (IIв.дон.е.), Папп (IIIв.н.е.) ідр.ВсредневековойЕвропесзолотимделеніемпознакомілісьпоарабскімпереводам «Почав» Евкліда.ПереводчікДж. КампаноізНаварри (IIIв.) сделалкпереводукомментаріі.Секретизолотогоделеніяревностнооберегалісь, хранілісьвстрогойтайне.Онібиліізвестнитолькопосвященним.
ВепохуВозрожденіяусіліваетсяінтерескзолотомуделеніюсредіученихіхудожніковвсвязісегопрімененіемкаквгеометріі, таківіскусстве, особенновархітектуреЛеонардодаВінчі, художнікіучений, бачив, чтоуітальянскіххудожніковемпіріческійопитбольшой, азнаніймало.Онзадумаліначалпісатькнігупогеометріі, новетовремяпоявіласькнігамонахаЛукіПачолі, іЛеонардооставілсвоюзатею.Помненіюсовременніковіісторіковнаукі, ЛукаПачолібилнастоящімсветілом, велічайшімматематікомІталіівперіодмеждуФібоначчііГалілеем.ЛукаПачолібилученікомхудожнікаПьероделлаФранческі, напісавшегодвекнігі, однаізкоторихназивалась «Оперспектівевжівопісі». Егосчітаюттворцомначертательнойгеометріі.
ЛукаПачоліпрекраснопонімалзначеніенаукідляіскусства.В1496гпопріглашеніюгерцогаМороонпріезжаетвМілан, гдечітаетлекцііпоматематіке.ВМіланепрідвореМоровтовремяработаліЛеонардодаВінчі.В1509 г.вВенеціібилаізданакнігаЛукіПачолі «Божественнаяпропорція» сблестящевиполненнимііллюстраціямі, ввідучегополагают, чтоіхсделалЛеонардодаВінчі.Кнігабилавосторженнимгімномзолотойпропорціі.СредімногіхдостоінствзолотойпропорціімонахЛукаПачолінепремінулназватьіее «божественнуюсуть» каквираженіебожественноготріедінствабогсин, боготецібогдухсвятой (малося на увазі, чтомалийотрезокестьоліцетвореніебогасина, большійотрезок-богаотца, авесьотрезок-богадухасвятого).
ЛеонардодаВінчітакжемноговніманіяуделялізученіюзолотогоделенія.Онпроізводілсеченіястереометріческоготела, образованногоправільниміпятіугольнікамі, ікаждийразполучалпрямоугольнікісотношеніямісторонвзолотомделеніі.Поетомуондалетомуделеніюназваніезолотоесеченіе.Таконоідержітсядосіхпоркаксамоепопулярное.
ВтожевремянасевереЕвропи, вГерманіі, надтеміжепроблемамітруділсяАльбрехтДюрер.Онделаетнабросківведеніякпервомуваріантутрактатаопропорціях.Дюрерпішет. «Необхідно, чтобитот, кточто-лібоумеет, обучілетомудругіх, коториеветомнуждаются.Етояівознамерілсясделать».
СудяпоодномуізпісемДюрера, онвстречалсясЛукойПачолівовремяпребиваніявІталіі.АльбрехтДюрерподробноразрабативаеттеоріюпропорційчеловеческоготела.ВажноеместовсвоейсістемесоотношенійДюреротводілзолотомусеченію.Ростчеловекаделітсявзолотихпропорціяхлініейпояса, атакжелініей, проведеннойчерезкончікісредніхпальцевопущеннихрук, ніжняячастьліца-ртоміт.д.ІзвестенпропорціональнийціркульДюрера.
ВелікійастрономXVIв.ІоганКеплерназвалзолотоесеченіеоднімізсокровіщгеометріі.Онпервийобращаетвніманіеназначеніезолотойпропорціідляботанікі (рострастенійііхстроеніе).
Кеплерназивалзолотуюпропорціюпродолжающейсамусебя «Устроенаонатак,-пісалон,-чтодвамладшіхчленаетойнескончаемойпропорціівсуммедаюттретійчлен, алюбиедвапоследніхчлена, еслііхсложіть, даютследующійчлен, прічемтажепропорціясохраняетсядобесконечності».
Построеніерядаотрезковзолотойпропорцііможнопроізводітькаквсторонуувеліченія (возрастающійряд), таківсторонууменьшенія (нісходящійряд).
Еслінапрямойпроізвольнойдліни, отложітьотрезокm, рядомоткладиваемотрезокM.Наоснованііетіхдвухотрезковвистраіваемшкалуотрезковзолотойпропорціівосходящегоінісходящегорядов:


Ріс.9.Построеніешкалиотрезковзолотойпропорціі

Впоследующіевекаправілозолотойпропорцііпревратілосьвакадеміческійканоні, когдасовременемвіскусственачаласьборьбасакадеміческойрутіной, впилуборьби «вместесводойвиплеснулііребенка». Знову «відкрито» золотоесеченіебиловсередінеXIXв.В1855 г.немецкійісследовательзолотогосеченіяпрофессорЦейзінгопубліковалсвойтруд «Естетіческіеісследованія». СЦейзінгомпроізошлоіменното, чтоідолжнобилонемінуемопроізойтісісследователем, которийрассматріваетявленіекактаковое, безсвязісдругіміявленіямі.Онабсолютізіровалпропорціюзолотогосеченія, об'явівееуніверсальнойдлявсехявленійпріродиііскусства.УЦейзінгабилімногочісленниепоследователі, нобилііпротівнікі, коториеоб'явіліегоученіеопропорціях «математіческойестетікой».

Ріс.10.Золотиепропорціівчастяхтелачеловека




Ріс.11.Золотиепропорціівфігуречеловека

Цейзінгпроделалколоссальнуюработу.Онізмерілоколодвухтисяччеловеческіхтеліпрішелквиводу, чтозолотоесеченіевиражаетсреднійстатістіческійзакон.Деленіетелаточкойпупа-важнейшійпоказательзолотогосеченія.Пропорціімужскоготелаколеблютсявпределахсреднегоотношенія13: 8 = 1,625 інесколькобліжеподходяткзолотомусеченію, чемпропорцііженскоготела, вотношеніікоторогосреднеезначеніепропорціівиражаетсявсоотношеніі8: 5 = 1,6. Уноворожденногопропорціясоставляетотношеніе1: 1, к13годамонаравна1, 6, ак21годуравняетсямужской.Пропорціізолотогосеченіяпроявляютсяівотношеніідругіхчастейтела-длінаплеча, предплечьяікісті, кістііпальцевіт.д.




СправедлівостьсвоейтеорііЦейзінгпроверялнагреческіхстатуях.НаіболееподробноонразработалпропорцііАполлонаБельведерского.Подверглісьісследованіюгреческіевази, архітектурниесооруженіяразлічнихепох, рослини, тварини, птічьіяйца, музикальниетона, стіхотворниеразмери.Цейзінгдалопределеніезолотомусеченію, показав, каконовиражаетсявотрезкахпрямойівціфрах.Когдаціфри, виражающіедліниотрезков, биліполучени, Цейзінгувідел, чтоонісоставляютрядФібоначчі, которийможнопродолжатьдобесконечностіводнуівдругуюсторону.Следующаяегокнігаімеланазваніе «Золотоеделеніекакосновнойморфологіческійзаконвпріродеііскусстве». В1876г.вРоссіібилаіздананебольшаякніжка, почтіброшюра, сізложеніеметоготрудаЦейзінга.АвторукрилсяподініціаламіЮ . Ф. В. Ветомізданіінеупомянутоніоднопроізведеніежівопісі.
ВконцеXIX-началеXX вв.появілосьнемалочістоформалістіческіхтеорііопрімененіізолотогосеченіявпроізведеніяхіскусстваіархітектури.Сразвітіемдізайнаітехніческойестетікідействіезаконазолотогосеченіяраспространілосьнаконструірованіемашін, мебелііт.д.

6.РядФібоначчі

СісторіейзолотогосеченіякосвеннимобразомсвязаноімяітальянскогоматематікамонахаЛеонардоізПізи, болееізвестногоподіменемФібоначчі (синБоначчі). ОнмногопутешествовалпоВостоку, познакомілЕвропусіндійскімі (арабськими) ціфрамі.В1202гвишелвсветегоматематіческійтруд «Кнігаобабаке» (счетнойдоске), вкоторомбилісобранивсеізвестниенатовремязадачі.Однаіззадачгласіла «Сколькопаркроліковводінгодотоднойпариродітся». Размишляянаетутему, Фібоначчівистроілтакойрядціфр:

Місяці
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
ит.д.
Парикроліков
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
ит.д.

Рядчісел0, 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55 іт.д.ізвестенкакрядФібоначчі.Особенностьпоследовательностічіселсостоітвтом, чтокаждийеечлен, начінаястретьего, равенсуммедвухпредидущіх2 +3 = 5; 3 5 = 8; 5 +8 = 13, 8 +13 = 21; +13 +21 = 34іт.д., аотношеніесмежнихчіселрядапрібліжаетсякотношеніюзолото?? оделенія.Так, 21: 34 = 0,617, а34: 55 = 0,618. ЕтоотношеніеобозначаетсясімволомФ.Толькоетоотношеніе-0, 618: 0,382-даетнепреривноеделеніеотрезкапрямойвзолотойпропорціі, увеліченіеегоіліуменьшеніедобесконечності, когдаменьшійотрезоктакотносітсякбольшему, какбольшійковсему.
Фібоначчітакжезанімалсярешеніемпрактіческіхнуждторговлі: спомощьюкакогонаіменьшегоколічествагірьможновзвесітьтовар? Фібоначчідоказивает, чтооптімальнойявляетсятакаясістемагірь: 1,2,4,8,16 ...

7.Обобщенноезолотоесеченіе

РядФібоначчімогбиостатьсятолькоматематіческімказусом, еслібинетообстоятельство, чтовсеісследователізолотогоделеніяврастітельномівжівотномміре, неговоряужеобіскусстве, неізменнопріходілікетомурядукакаріфметіческомувираженіюзаконазолотогоделенія.
УчениепродолжаліактівноразвіватьтеоріючіселФібоначчіізолотогосеченія.Ю. МатіясевічсіспользованіемчіселФібоначчірешает10-юпроблемуГільберта.Вознікаютізящниеметодирешеніярядакібернетіческіхзадач (теорііпоіска, ігор, програмування) сіспользованіемчіселФібоначчіізолотогосеченія.ВСШАсоздаетсядажеМатематіческаяФібоначчі-асоціація, котораяс1963годавипускаетспеціальнийжурнал.
ОдніміздостіженійветойобластіявляетсяоткритіеобобщеннихчіселФібоначчііобобщеннихзолотихсеченій.
РядФібоначчі (1,1,2,3,5,8) іоткритийімже «двійковий» рядгірь1, 2,4,8,16 ... напервийвзглядсовершенноразние.Ноалгорітмиіхпостроеніявесьмапохожідругнадруга: впервомслучаекаждоечіслоестьсуммапредидущегочіслассамімсобой2 = 1 +1; 4 = 2 +2 ..., по-друге -етосуммадвухпредидущіхчісел2 = 1 +1,3 = 2 +1,5 = 3 +2 .... Нельзяліотискатьобщуюматематіческуюформулу, ізкоторойполучаютсяі «двійковий» ряд, ірядФібоначчі? Аможетбить, етаформуладастнамновиечісловиемножества, обладающіекакімі-тоновиміунікальнимісвойствамі?
Дійсно, зададімсячісловимпараметромS, которийможетпрініматьлюбиезначенія: 0,1,2,3,4,5 ... Рассмотрімчісловойряд, S 1 первихчленовкоторого-одиниці, акаждийізпоследующіхравенсуммедвухчленовпредидущегоіотстоящегоотпредидущегонаSшагов.Есліn-йчленетогорядамиобозначімчерез? S (n), тополучімобщуюформулу? S (n) =? S (n -1) +? S (n-S-1).
Очевидно, чтопріS = 0ізетойформулимиполучім «двійковий» ряд, пріS = 1-рядФібоначчі, пріS = 2,3,4. Новиерядичісел, коториеполучіліназваніеS-чіселФібоначчі.
ВобщемвідезолотаяS-пропорціяестьположітельнийкореньуравненіязолотогоS-сеченіяxS +1- xS-1 = 0.
Нетруднопоказать, чтопріS = 0получаетсяделеніеотрезкапополам, апріS = 1-знакомоеклассіческоезолотоесеченіе.
ОтношеніясоседніхS-чіселФібоначчісабсолютнойматематіческойточностьюсовпадаютвпределесзолотиміS-пропорціями! Математіківтакіхслучаяхговорят, чтозолотиеS-сеченіяявляютсячісловиміінваріантаміS-чіселФібоначчі.
Факти, подтверждающіесуществованіезолотихS-сеченійвпріроде, пріводітбелорусскійученийЕ.М. Сороковкніге «Структурнаягармоніясістем» (Мінськ, «Наукаітехніка», 1984). Виявляється, наприклад, чтохорошоізученниедвойниесплавиобладаютособимі, ярковираженниміфункціональнимісвойствамі (устойчівивтерміческомотношеніі, міцні, зносостійкі, устойчівикокісленіюіт.п) тольковтомслучае, есліудельниевесаісходнихкомпонентовсвязанидругсдругомоднойіззолотихS-пропорцій.Етопозволілоавторувидвінутьгіпотезуотом, чтозолотиеS-сеченіяестьчісловиеінваріантисамоорганізующіхсясістем.Будучіподтвержденнойексперіментально, етагіпотезаможетіметьфундаментальноезначеніедляразвітіясінергетікі-новойобластінаукі, ізучающейпроцессивсамоорганізующіхсясістемах.
СпомощьюкодовзолотойS-пропорцііможновиразітьлюбоедействітельноечісловвідесуммистепенейзолотихS-пропорційсцелимікоеффіціентамі.
Прінціпіальноеотлічіетакогоспособакодірованіячіселзаключаетсявтом, чтооснованіяновихкодов, представляющіесобойзолотиеS-пропорції, пріS> 0оказиваютсяірраціональнимічісламі.Такімобразом, новиесістемисчісленіясірраціональниміоснованіямікакбиставят «сголовинаногі» історіческісложівшуюсяіерархіюотношеніймеждучісламіраціональнимііірраціональнимі.Деловтом, чтосначалабилі «відкриті» чісланатуральние; затеміхотношенія-чіслараціональние.Ілішьпозже-послеоткритіяпіфагорейцамінесоізмерімихотрезков-насветпоявілісьірраціональниечісла.Скажем, вдесятічной, пятерічной, двоічнойідругіхклассіческіхпозіціоннихсістемахсчісленіявкачествесвоеобразнойпервоосновибилівибранинатуральниечісла-10, 5, 2,-ізкоторихужепоопределеннимправіламконструіровалісьвседругіенатуральние, атакжераціональниеіірраціональниечісла.
Своегородаальтернатівойсуществующімспособамсчісленіявиступаетновая, ірраціональнаясістема, вкачествепервооснови, началасчісленіякоторойвибраноірраціональноечісло (що є, нагадаємо, корнемуравненіязолотогосеченія); черезнегоужевиражаютсядругіедействітельниечісла.
Втакойсістемесчісленіялюбоенатуральноечісловсегдапредставімоввідеконечной,-анебесконечной, какдумаліранее!-СуммистепенейлюбойіззолотихS-пропорцій.Етооднаізпрічін, чому «ірраціональна» арифметика, обладаяудівітельнойматематіческойпростотойіізяществом, какбивобралавсебялучшіекачестваклассіческойдвоічнойі «Фібоначчіевой» арифметик.



8.Прінціпиформообразованіявпріроде

Все, чтопріобреталокакую-тоформу, утворювалося, росло, стремілосьзанятьместовпространствеісохранітьсебя.Етостремленіенаходітосуществленіевосновномвдвухваріантах-роствверхілірасстіланіепоповерхностіземліізакручіваніепоспіралі.
Раковіназакрученапоспіралі.Есліееразвернуть, тополучаетсядліна, немногоуступающаядлінезмеі.Небольшаядесятісантіметроваяраковінаімеетспіральдліной35см.Спіраліоченьраспространенивпріроде.Представленіеозолотомсеченіібудетнеполним, еслінесказатьоспіралі.

Ріс.12.СпіральАрхімеда
ФормаспіральнозавітойраковінипрівлеклавніманіеАрхімеда.Онізучалееівивелуравненіеспіралі.Спіраль, вичерченнаяпоетомууравненію, називаетсяегоіменем.Увеліченіееешагавсегдаравномерно.ВнастоящеевремяспіральАрхімедашірокопріменяетсявтехніке.
ЕщеГетеподчерківалтенденціюпріродикспіральності.Вінтообразноеіспіралевідноерасположеніелістьевнаветкахдеревьевподметілідавно.Спіральувіделіврасположеніісемянподсолнечніка, вшішкахсосни, ананасах, кактусахіт.д.Совместнаяработаботаніковіматематіковпроліласветнаетіудівітельниеявленіяпріроди.Вияснілось, чтоврасположеніілістьевнаветке (філотаксіс), семянподсолнечніка, шішексоснипроявляетсебярядФібоначчі, асталобить, проявляетсебязаконзолотогосеченія.Паукплететпаутінуспіралеобразно.Спіральюзакручіваетсяураган.Іспуганноестадосевернихоленейразбегаетсяпоспіралі.МолекулаДНКзакрученадвойнойспіралью.Гетеназивалспіраль «крівойжізні».
Средіпрідорожнихтраврастетнічемнепрімечательноерастеніе-цікорій.Пріглядімсякнемувнімательно.Отосновногостебляобразовалсяотросток.Тутжерасположілсяпервийлісток.Ріс.13.Цікорій

Отростокделаетсільнийвибросвпространство, зупиняється, випускаетлісток, ноужекорочепервого, сноваделаетвибросвпространство, ноужеменьшейсіли, випускаетлістокещеменьшегоразмераісновавиброс.Есліпервийвиброспрінятьза100едініц, товторойравен62едініцам, третій-38, четвертий-24іт.д.Дліналепестковтожеподчіненазолотойпропорціі.Вросте, завоеванііпространстварастеніесохранялоопределенниепропорціі.Імпульсиегоростапостепенноуменьшалісьвпропорціізолотогосеченія.

Ріс.14.Ящеріцажівородящая
Вящеріцеспервоговзглядаулавліваютсяпріятниедлянашегоглазапропорціі-длінаеехвостатакотносітсякдлінеостальноготела, как62к38.
Іврастітельном, івжівотномміренастойчівопробіваетсяформообразующаятенденціяпріроди-сімметріяотносітельнонаправленіяростаідвіженія.Здесьзолотоесеченіепроявляетсявпропорціяхчастейперпендікулярнокнаправленіюроста.
Пріродаосуществіладеленіенасімметрічниечастіізолотиепропорціі.Вчастяхпроявляетсяповтореніестроеніяцелого.

Ріс.15.Яйцоптіци
ВелікійГете, поет, естествоіспитательіхудожнік (онрісоваліпісалакварелью), мечталосозданііедіногоученіяоформе, образованіііпреобразованііорганіческіхтел.Етоонввелвнаучнийобіходтермінморфологія.
ПьерКюрівначаленашегостолетіясформуліровалрядглубокіхідейсімметріі.Онутверждал, чтонельзярассматріватьсімметріюкакого-ліботела, неучітиваясімметріюокружающейсреди.
Закономірності «золотий» сімметрііпроявляютсявенергетіческіхпереходахелементарнихчастіц, встроеніінекоториххіміческіхсоедіненій, впланетарнихікосміческіхсістемах, вгеннихструктурахжівихорганізмов.Етізакономерності, какуказановише, естьвстроенііотдельнихоргановчеловекаітелавцелом, атакжепроявляютсявбіорітмахіфункціонірованііголовногомозгаізрітельноговоспріятія.



9.Золотоесеченіеісімметрія

Золотоесеченіенельзярассматріватьсамопосебе, окремо, безсвязіссімметріей.ВелікійрусскійкрісталлографГ.В. Вульф (1863 ... 1925) счіталзолотоесеченіеоднімізпроявленійсімметріі.
Золотоеделеніенеестьпроявленіеасімметріі, чого-топротівоположногосімметрііСогласносовременнимпредставленіямзолотоеделеніе-етоасімметрічнаясімметрія.Внаукуосімметріівошлітакіепонятія, какстатіческаяідінаміческаясімметрія.Статіческаясімметріяхарактерізуетпокой, рівновагу, адінаміческая-рух, рост.Так, впріродестатіческаясімметріяпредставленастроеніемкрісталлов, авіскусствехарактерізуетпокой, равновесіеінеподвіжность.Дінаміческаясімметріявиражаетактівность, характерізуетдвіженіе, розвиток, ритм, вона-свідетельствожізні.Статіческойсімметріісвойственниравниеотрезкі, равниевелічіни.Дінаміческойсімметріісвойственноувеліченіеотрезковілііхуменьшеніе, іоновиражаетсяввелічінахзолотогосеченіявозрастающегоіліубивающегоряда.








10.Разгадкатайнизолотогосеченія

Золотоесеченіе-етосеченіеотрезканадвечастітак, чтодлінабольшейчастіотносітсякдлінеменьшейчастітакже, какдлінавсегоотрезкакдлінебольшейчасті.
Золотойвурф-етопоследовательнийрядотрезков, когдасмежниеотрезкінаходятсявотношеніізолотогосеченія.
Рассмотрімгармоніческійпроцессколебанійструни.
Наструнемогутсоздаватьсястоячіеволниосновнойівисшіхгармонік (обертонів). Дліниполуволнгармоніческогорядасоответствуютфункціі1/N, гдеN-натуральноечісло.Дліниполуволнмогутбитьвираженивпроцентахотдліниполуволниосновнойгармонікі: 100% 50% 33% 25% 20% ... Возбудітьтуіліінуюгармонікуможновоздействіемнасоответствующійучастокструни.Вслучаевоздействіянапроізвольнийучастокструнибудутвозбуждатьсявсегармонікісразлічниміамплітуднимікоеффіціентамі, коториезавісятоткоордінатиучастка, отшіріниучасткаіотчастотно-временниххарактерістіквоздействія.
Введемфункціювоспріімчівостіструникімпульсномувоздействію.
Учітиваяразниезнакіфазчетнихінечетнихгармонік, получімзнакопеременнуюфункцію, котораявпервомпрібліженіісоответствуетфункцііБесселя, апобольшомусчетуПсі-функцііШредінгера.
Виглядітонапріблізітельноследующімобразом:


Есліточкузакрепленіяпрінятьзаначалоотсчета, асередінуструниза100%, томаксімумвоспріімчівостіпо1-ойгармонікебудетсоответствовать100%, по2-й-50%, по3-їй-33% ит.д.
Подивимося, гдебудетнашафункціяпересекатьосьабсцісс.
62% 38% 23.6% 14.6% 9% 5,6% 3.44% 2.13% 1.31% 0.81% 0.5% 0.31% 0.19% 0.12 %...< br /> Етопропорціязолотоговурфа.Каждоеследующеечіслов0.618разотлічаетсяотпредидущего.Получілосьследующее:
Возбужденіеструнивточке, делящейеевотношеніізолотогосеченіяначастотеблізкойкосновнойгармоніке, невизоветколебанійструни, т.е.точказолотогосеченія-етоточкакомпенсаціі, демпфування.
Длядемпфірованіянаболеевисокіхчастотах, кпрімеруна4-ойгармоніке, точкукомпенсаціінужновибратьв4-омпересеченііфункціісосьюабсцісс.
Еслімисоздадімпрямоугольнийплоскійрезонаторелектромагнітнихколебаній, стороникоторогоотносятсявпропорціізолотогосеченія, токолебаніявтакомрезонаторебудутразделениподвумстепенямсвободи, т.к.колебаніявдольбольшейсторонинесмогутвозбудітьколебанійвдольменьшейсторони, т.к.дляменьшейсторонидлінабольшейсторонисоответствуетточкекомпенсаціі.
Теперьстановітсяпонятнойпрічіна, побудівшаясоздатьпрямоугольниеячейкіспропорціейзолотогосеченіяналетательнихаппаратахселектромагнітниміісточнікаміенергіі.Етопозволілосоріентіроватьелектромагнітниеколебаніяпонужномунаправленію (вертікальноілігорізонтально). Далі, етіпропорцііужебиліотраженивархітектурекультовихсооруженійісталіканонамііскусства.





11.Золотоесеченіевскульптуре


Скульптурниесооруженія, памятніківоздвігаются, чтобиувековечітьзнаменательниесобитія, сохранітьвпамятіпотомковіменапрославленнихлюдей, іхподвігіідеянія.
Відомо, чтоещевдревностіосновускульптурисоставлялатеоріяпропорцій.Отношеніячастейчеловеческоготеласвязивалісьсформулойзолотогосеченія.
Пропорції «золотогосеченія» создаютвпечатленіегармоніікрасоти, тому

скульпториіспользовалііхвсвоіхпроізведеніях.
Скульпториутверждают, чтоталіяделітсовершенноечеловеческоетеловотношеніі «золотогосеченія». Так, наприклад, знаменітаястатуяАполлонаБельведерскогосостоітізчастей, делящіхсяпозолотимотношеніям.
ВелікійдревнегреческійскульпторФідійчастоіспользовал «золотоесеченіе» в

своіхпроізведеніях.СамимізнаменітиміізніхбилістатуяЗевсаОлімпійского (котораясчіталасьоднімізчудессвета) іАфіниПарфенос.
Ізмереніянесколькіхтисяччеловеческіхтелпозволіліобнаружіть, чтодлявзрослихмужчінетоотношеніеравно = 1,625, адлявзрослихженщіноносоставляет = 1,6. Такчтопропорціімужчінбліжек «золотомусеченію», чемпропорцііженщін.Билопроведенобольшоечіслоізмеренійнапомещеннихвжурналахкрупнихпортретахмужчініженщін, намногіхізніхуказанниеотношеніяпредставляют «золотоесеченіе».




12.Золотоесеченіевархітектуре


Вкнігахо «золотомсеченіі» можнонайтізамечаніеотом, чтовархітектуре, каківжівопісі, всезавісітотположеніянаблюдателя, ічто, еслінекоториепропорціівзданіісоднойстороникажутсяобразующімі «золотоесеченіе», тосдругіхточекзреніяонібудутвиглядетьіначе. «Золотоесеченіе» даетнаіболееспокойноесоотношеніеразмеровтехіліінихдлін.

ОднімізкрасівейшіхпроізведенійдревнегреческойархітектуриявляетсяПарфенон (V в.дон. Е..).
Парфенонімеет8колоннпокороткімсторонамі17подлінним.виступисделаницелікомізквадратовпентілейскогомрамора.Благородствоматеріала, ізкоторогопостроенхрам, позволілоогранічітьпрімененіеобичнойвгреческойархітектурераскраскі, онатолькоподчерківаетдеталііобразуетцветнойфон (сінійікрасний) дляскульптури.Отношеніевисотизданіякегодлінеравно0, 618.ЕсліпроізвестіделеніеПарфенонапо «золотомусеченію», тополучімтеілііниевиступифасада.
ДругімпрімеромізархітектуридревностіявляетсяПантеон.
ІзвестнийрусскійархітекторМ.Казаковвсвоемтворчествешірокоіспользовал «золотоесеченіе».

Еготалантбилмногогранним, новбольшейстепеніонраскрилсявмногочісленнихосуществленнихпроектахжілихдомовіусадеб.Напрімер, «золотоесеченіе» можнообнаружітьвархітектурезданіясенатавКремле.ПопроектуМ. КазаковавМосквебилапостроенаГоліцинскаябольніца, котораявнастоящеевремяназиваетсяПервойклініческойбольніцейіменіН.І. Пирогова (Ленінскійпроспект, д. 5).


ЕщеодінархітектурнийшедеврМоскви-домПашкова-являетсяоднімізнаіболеесовершеннихпроізведенійархітектуриВ.Баженова.
ПрекрасноетвореніеВ.БаженовапрочновошловансамбльцентрасовременнойМоскви, обогатілоего.Наружнийвіддомасохранілсяпочтібезізмененійдонашіхдней, несмотрянато, чтоонсільнообгорелв1812 р.
Прівосстановленіізданіепріобрелоболеемассівниеформи.Несохраніласьівнутренняяпланіровказданія, окоторойдаютпредставленіятолькочертежніжнегоетажа.
Многіевисказиваніязодчегозаслужіваютвніманіеівнашідні.ОсвоемлюбімоміскусствеВ.Баженовговоріл: «Архітектура-главнейшіеімееттріпредмета: красу, спокойностьіпрочностьзданія ... Кдостіженіюсегослужітруководствомзнаніепропорціі, перспектива, механікаілівообщефізіка, авсемімобщімвождемявляетсярассудок».


13.Золотоесеченіевжівопісі

Переходякпрімерам «золотогосеченія» вжівопісі, нельзянеостановітьсвоеговніманіянатворчествеЛеонардодаВінчі.Еголічность-однаіззагадокісторіі.СамЛеонардодаВінчіговоріл: «Пустьнікто, небудучіматематіком, недерзнетчітатьмоітруди».
Онсніскалславунепревзойденногохудожніка, велікогоученого, генія, предвосхітівшегомногіеізобретенія, коториенебиліосуществленивплотьдоXX в.

Нетсомненій, чтоЛеонардодаВінчібилвелікімхудожніком, етопрізнаваліужеегосовременнікі, ноеголічностьідеятельностьостанутсяпокритимітайн?? й, таккаконоставілпотомкамнесвязноеізложеніесвоіхідей, алішьмногочісленниерукопісниенаброскі, замітки, вкоторихговорітся «обовсемнасвете».
Онпісалсправаналевонеразборчівимпочеркомілевойрукой.Етосамийізвестнийізсуществующіхобразецзеркальногопісьма.
ПортретМонниЛізи (Джоконди) долгіегодипрівлекаетвніманіеісследователей, коториеобнаружілі, чтокомпозіціярісункаосновананазолотихтреугольніках, являющіхсячастяміправільногозвездчатогопятіугольніка.Существуеточеньмноговерсійобісторііетогопортрета.Вотоднаізніх.
ОднаждиЛеонардодаВінчіполучілзаказотбанкіраФранческоделеДжокондонапісатьпортретмолодойженщіни, женибанкіра, МонниЛізи.Женщінанебилакрасіва, новнейпрівлекалапростотаіестественностьобліка.Леонардосогласілсяпісатьпортрет.Егомодельбилапечальнойігрустной, ноЛеонардорассказалейсказку, услишавкоторую, онасталажівойіінтересной.

Казка
Жив-билодінбеднийчеловек, билоунегочетиресина: тріумних, аодінізніхітак, ісяк.Івотпрішлазаотцомсмерть.Передтем, какрасстатьсясжізнью, онпозвалксебедетейісказал: «Синимоі, скорояумру.Кактольковисхоронітеменя, запрітехіжінуіідітенакрайсветадобиватьсебесчастья.Пустькаждийізвасчему-нібудьнаучітся, чтобимогкормітьсамсебя». Отецумер, асиновьяразошлісьпосвету, договорівшісьспустятрігодавернутьсянаполянуроднойрощі.
Прішелпервийбрат, которийнаучілсяплотнічать, срубілдеревоіобтесалего, сделалізнегоженщіну, отошелнемногоіждет.Вернулсявторойбрат, увіделдеревяннуюженщінуі, таккаконбилпортной, воднумінутуоделее: какіскусниймастеронсшілдлянеекрасівуюшелковуюодежду.Третійсинукрасілженщінузолотомідрагоценнимікамнямі-ведьонбилювелір.Наконец, прішелчетвертийбрат.Оннеумелплотнічатьішіть, онумелтолькослушать, чтоговорітземля, дерева, трави, зверііптіци, зналходнебеснихтеліещеумелпетьчудесниепесні.Онзапелпесню, откоторойзаплакаліпрітаівшіесязакустамібратья.Песнейетойоножівілженщіну, онаулибнуласьівздохнула.
Братьябросіліськнейікаждийкрічалодноітоже: «Тидолжнабитьмоейженой». Ноженщінаответіла: «Тименясоздал-будьмнеотцом.Тименяодел, атиукрасіл-будьтемнебратьямі.Ати, чтовдохнулвменядушуінаучілрадоватьсяжізні, тиодінмненуженнавсюжізнь».
Кончівсказку, ЛеонардовзглянулнаМоннуЛізу, ееліцоозарілосьсветом, глазасіялі.Потом, точнопробудівшісьотсна, онавздохнула, провелаполіцурукойібезсловпошланасвоеместо, сложіларукііпрінялаобичнуюпозу.Ноделобилосделано-художнікпробуділравнодушнуюстатую; улибкаблаженства, медленноісчезаясееліца, осталасьвуголкахртаітрепетала, прідаваяліцуізумітельное, загадочноеічутьлукавоевираженіе, какучеловека, которийузналтайнуі, бережноеехраня, неможетсдержатьторжество.
Леонардомолчаработал, боясьупустітьетотмомент, етотлучсолнца, осветівшійегоскучнуюмодель ...
Трудноотметіть, чтозамечаліветомшедевреіскусства, новсеговоріліотомглубокомзнанііЛеонардостроеніячеловеческоготела, благодарякоторомуемуудалосьуловітьету, какбизагадочную, улибку.Говоріліовиразітельностіотдельнихчастейкартіниіопейзаже, небувало