зміст

прямі і непрямі ДОКАЗ 3
Пряме доказ 4
Непрямий доказ 5
Наслідки, які суперечать фактам 7
Внутрішньо суперечливі слідства 7
Розділові доказ 9
Висновок 11
ЛІТЕРАТУРА 12

Пряме і непряме доказ

Німецький філософ XIX ст. А. Шопенгауер вважав математику доситьцікавою наукою, але не має жодних додатків, у тому числі і вфізики. Він навіть відкидав саму техніку строгих математичних доказів.
Шопенгауер називав їх мишоловка і наводив як прикладдоказ відомої теореми Піфагора. Воно є, звичайно, точним;ніхто не може вважати його помилковим. Але воно є абсолютноштучний спосіб міркування. Кожен крок його переконливий, однак до кінцядокази виникає відчуття, що ви потрапили у мишоловку. Математикзмушує вас допустити справедливість теореми, але ви не отримуєте ніякогореального розуміння. Це все одно, як якби вас провели через лабіринт.
Ви нарешті виходите з лабіринту і говорите собі: «Так, я вийшов, але не знаю,як тут опинився ».

Позиція Шопенгауера, звичайно, курйоз, але в ній є момент,заслуговує на увагу. Треба вміти простежити кожен крок докази.
Інакше його частини втратять зв'язку, і воно в будь-який момент може розсипатися, яккартковий будиночок. Але не менш важливо зрозуміти доказ у цілому, якєдину конструкцію, кожна частина якої необхідна на своєму місці. Як разтакого цілісного розуміння не вистачало, цілком ймовірно, Шопенгауером. Упідсумку взагалі-то просте доказ уявляється йому блуканням влабіринті: кожен крок шляху зрозумілий, але загальна лінія руху покрита мороком.

Доказ, не зрозуміле як ціле, ні в чому не переконує. Навіть якщовивчити його напам'ять, пропозиція за пропозицією, до наявного знанняпредмета це нічого не додасть. Слідкувати за доказом і лишепереконуватися в правильності кожного його наступного кроку - це, за словамифранцузького математика А. Пуанкаре, рівносильно такому спостереження за гроюв шахи, коли помічаєш тільки те, що кожний хід підпорядкований правиламгри.

Мінімальна вимога - це розуміння логічного виведення якцілеспрямованої процедури. Тільки в цьому випадку досягається інтуїтивнаясність того, що ми робимо.

«Я змушений визнати, - зауважив якось Пуанкаре, - що позитивноне здатний зробити без помилки складання. Моя пам'ять не погана, але щобстати хорошим гравцем в шахи, вона була б недостатньою. Чому жвона не зраджує мені в складних математичних міркуваннях, в якихзаплуталися б більшість шахових гравців? Це відбувається, очевидно,тому, що в даному випадку пам'ять моя направляється загальним ходомміркування. Доведення не є просте зчепленняумовиводів: це умовиводи, розташовані в певному порядку, іпорядок, в якому розташовані ці елементи. Якщо у мене є почуття ...цього порядку, внаслідок чого я відразу можу обійняти всю сукупністьміркувань, мені вже нічого боятися забути який-небудь елемент, кожен зних сам собою займе своє місце ...»

Те, що створює, за висловом Пуанкаре, «єдність докази»,можна представити у формі загальної схеми, яка охоплює основні його кроки,втілює в собі загальний принцип або його підсумкову структуру. Саме такасхема залишається в пам'яті, коли забуваються подробиці докази. Зточки зору загального руху думки, всі докази поділяються напрямі і непрямі.

Пряме доказ

При прямому доведенні завдання полягає в тому, щоб підшукати такіпереконливі аргументи, з яких по логічним правилам виходить тезу.

Наприклад, потрібно довести, що сума кутів чотирикутника дорівнює 360 °.
З яких тверджень можна було б вивести цю тезу? Наголошуємо, щодіагональ ділить чотирикутник на два трикутники. Отже, сума йогокутів дорівнює сумі кутів двох трикутників. Відомо, що сума кутівтрикутника становить 180 °. З таких положень виводимо, що сума кутівчотирикутника дорівнює 360 °.

У побудові прямого доказу можна виділити два пов'язаних міжсобою етапи: відшукання тих, визнаних обгрунтованими тверджень, якіздатні бути переконливими аргументами для що доводиться положення;встановлення логічного зв'язку між знайденими аргументами і тезою.
Нерідко перший етап вважається підготовчим і під доказомрозуміється дедукція, що зв'язує підібрані аргументи і доводимотезу.

Ще приклад. Потрібно довести, що космічні кораблі підкоряютьсядії законів небесної механіки. Відомо, що ці закони універсальні:їм підкоряються всі тіла в будь-яких точках космічного простору. Очевиднотакож, що космічний корабель є космічне тіло. Відзначивши це, будуємовідповідне дедуктивний умовивід. Воно є прямимдоказом розглянутого затвердження.

Непрямий доказ

Непрямий доказ встановлює справедливість тези тим, щорозкриває помилковість протилежного йому допущення, антитези.

Як з іронією зауважує американський математик Д. Пойа, «побічнадоказ має деяку схожість із надувательскім прийомомполітикана, що підтримує свого кандидата тим, що огортається репутаціюкандидата іншої партії ».

У непрямому доказі міркування йде як би манівцями.
Замість того щоб Прямо віднаходити аргументи для виведення з нихщо доводиться положення, формулюється антитеза, заперечення цьогоположення. Далі той чи інший спосіб показується неспроможністьантитези. Згідно з законом виключеного третього, якщо одна з них суперечатьодин одному тверджень помилково, другий має бути вірним. Антитезапомилковий, значить, теза є вірним.

Оскільки непрямий доказ використовує заперечення що доводитьсяположення, воно є, як кажуть, доказом від протилежного.

Припустимо, потрібно побудувати непрямий доказ такого дужетривіального тези: «Квадрат не є колом». Було висунутоантитеза: «Квадрат є коло». Необхідно показати хибність цьогозатвердження. З цією метою виводимо з нього слідства. Якщо хоча б одне зних виявиться помилковим, це буде означати, що й саме твердження, зякого виведено наслідок, також помилково. Неправильним є, зокрема,такий наслідок: у квадрата немає кутів. Оскільки антитеза пропозицій, вихіднийтеза повинна бути правдивим.

Інший приклад. Лікар, переконуючи пацієнта, що той не хворий на грип,міркує так. Якщо б дійсно був грип, були б характерні длянього симптоми: головний біль, підвищена температура і т.п. Але нічоготакого немає. Значить, немає і грипу.

Це знову-таки непрямий доказ. Замість прямого обгрунтуваннятези висувається антитеза, що у пацієнта справді грип. Зантитези виводяться слідства, але вони спростовуються об'єктивними даними.
Це говорить, що припущення про грип невірно. Звідси випливає, що теза
«Грипу немає» правдивий.

Докази від протилежного звичними у наших міркуваннях, особливо всуперечці. При вмілому застосуванні вони можуть володіти особливою переконливістю.

Отже, хід думки в непрямому доказі визначається тим, щозамість обгрунтування справедливості тези прагнуть показатинеспроможність його заперечення. Залежно від того, як вирішуєтьсяостаннє завдання, можна виділити декілька різновидів непрямогодокази.

Наслідки, які суперечать фактам

Найчастіше хибність антитези вдається встановити простимзіставленням що випливають з нього наслідків з фактами. Такий стан, вЗокрема, справа у прикладі з грипом.

Друг винахідника парової машини Д. Уатта шотландський вчений Д. Блекввів поняття про приховану теплоту плавлення і випаровування, важливе для розумінняроботи такої машини. Блек, спостерігаючи звичайне явище - танення снігу в кінцізими, міркував так: якщо б сніг, що накопичився за зиму, танув відразу, яктільки температура повітря стала вище нуля, то неминучими були бспустошливі повені, а якщо цього не відбувається, значить, на таненняснігу має бути витрачено певну кількість теплоти. Її Блек іназвав прихованою.

Це - непрямий доказ. Слідство антитези, а значить, і вінсам, спростовується посиланням на очевидну обставину: в кінці зимиповеней звичайно немає, сніг тане поступово.

Внутрішньо суперечливі наслідки

За логічного закону несуперечливий одне з двох суперечливихдругу тверджень є помилковим. Тому, якщо в числі наслідків якого -якого положення зустрілися і затвердження і заперечення одного і того ж,можна відразу ж зробити висновок, що це положення неправдою.

Наприклад, положення «Квадрат - це коло» помилково, оскільки знього виводиться як те, що квадрат має кути, так і те, що у нього немаєкутів.

помилковим буде також положення, з якого виводиться внутрішньосуперечливе висловлювання або висловлювання про тотожність затвердження ізаперечення.

Один із прийомів непрямого докази - виведення з антитезилогічного протиріччя. Якщо антитеза містить протиріччя, він явнопомилковий. Тоді його заперечення - теза докази - вірно.

Гарним прикладом такого міркування є відоме доказ
Евкліда, що ряд простих чисел нескінченний.

Прості - це натуральні числа більше одиниці, що діляться тільки насебе і на одиницю. Прості числа - це як би «первинні елементи», наякі всі цілі числа (більше 1) можуть бути розкладені. Природноприпустити, що ряд простих чисел:

2, 3, 5, 7, 11,13, ... - Нескінченний. Для доказу даної тезиприпустимо, що це не так, і подивимося, до чого веде таке допущення. Якщоряд простих чисел кінцевий, існує останнє просте число ряду - А.
Утворити далі інше число: В = (2 • 3 • 5 • ... • А) + 1. Число У більше
А, тому В не може бути простим числом. Отже, В має ділитися напросте число. Але якщо У розділити на будь-яке з чисел 2, 3, 5, .... А, то взалишок вийде 1. Отже, В не ділиться ні на одне із зазначенихпростих чисел і є, таким чином, простим. У результаті, виходячи зприпущення, що існує останнє просте число, ми прийшли допротиріччя: існує число одночасно і просте, і не єпростим. Це означає, що зроблене припущення помилково і правильнопротилежне твердження: ряд простих чисел нескінченний.

У цьому непрямому доказі з антитези виводиться логічнепротиріччя, що прямо говорить про хибність антитези і відповідно проістинності тези. Такого роду доказу широко використовуються вматематики.

Якщо мається на увазі тільки та частина подібних доказів, в якійпоказується хибність якого-небудь припущення, вони називають потрадиції приведенням до абсурду. Помилковість припущення розкривається тим,що з нього виводиться відверта безглуздість.

Є ще один різновид непрямого докази, коли прямоне доводиться шукати помилкові слідства. Справа в тому, що для доказутвердження досить показати, що воно логічно випливає зі своговласного заперечення.

Цей прийом спирається на закон Клава, що говорить, що якщо з хибностітвердження випливає його істинність, то твердження правдиве.

Наприклад, якщо з припущення, що двічі по два дорівнює п'яти, виведено, щоце не так, тим самим доведено, що двічі два не дорівнює п'ять.

За такою схемою міркував ще Евклід у своїй «Геометрії». Цю ж схемувикористовував одного разу давньогрецький філософ Демокрит у суперечці з іншимдавньогрецьким філософом, софістом Протагор. Протагор стверджував, щоістинно все те, що будь-кому спадає на думку. На це Демокрит відповів,що з положення «Кожне висловлювання істинно» випливає істинність і йогозаперечення «Не всі висловлювання істинні». І виходить, це заперечення, а неположення Протагора насправді правдиве.

Розділові доказ

У всіх розглянутих непрямих доказах висуваються двіальтернативи: теза й антитеза. Потім показується хибність останнього, впідсумку залишається тільки тезу.

Можна не обмежувати число прийнятих до уваги можливостейтільки двома. Це призведе до так званого роздільним непрямимдоказу, або доведення через виключення. Воно застосовується в тихвипадках, коли відомо, що доводить тезу входить до числа альтернатив,повністю вичерпних всі можливі альтернативи цій галузі.

Наприклад, потрібно довести, що одна величина дорівнює інший. Ясно, щоможливі тільки три варіанти: або дві величини рівні, або перше більшедруга, або, нарешті, друга більше перших. Якщо вдалося показати, що ніодна з величин не перевершує іншу, два варіанти будуть відкинуті ізалишиться лише третя: величини рівні.

Доказ йде за простою схемою: одна за одною виключаються всіможливості, крім однієї, яка і є доводимо тезою. Устандартних непрямих доказах альтернативи - теза й антитеза --виключають одне одного в силу законів логіки. В розділові доказівзаємна несумісність можливостей і те, що ними вичерпуються всіможливі альтернативи, визначаються не логічними, а фактичнимиобставинами. Звідси звичайна помилка розділових доказів:розглядаються не всі можливості.

За допомогою розподільчого докази можна спробувати, наприклад,показати, що в Сонячній системі життя є тільки на Землі. В якостіможливих альтернатив висунемо твердження, що життя є на Меркурії,
Венери, Землі і так далі, перераховуючи всі планети Сонячної системи. Спростовуючипотім всі альтернативи, крім однієї - що говорить про наявність життя на Землі,отримаємо доказ вихідного твердження.

Потрібно зауважити, що в ході докази розглядаються іспростовуються припущення про існування життя на інших планетах. Питання проте, чи є життя на Землі, взагалі не піднімається. Відповідь виходитьнепрямим чином: шляхом показу того, що на жодній іншій планеті немаєжиття. Це доказ виявилося б, звичайно, неспроможним, якби,допустимо, з'ясувалося, що, хоча ні на одній планеті, крім Землі, життяні, живі істоти є на одній з комет або на одній з такзваних малих планет, теж входять до складу Сонячної системи.

Висновок

Закінчуючи розмову про непрямі докази, звернемо увагу наїх своєрідність, що обмежує певною мірою їх застосовність.

Немає сумніву, що непрямий доказ являє собоюефективний засіб обгрунтування. Але, маючи з ним справу, ми змушені всечас зосереджуватися не на правильному положенні, справедливість якогонеобхідно обгрунтувати, а на помилкових твердженнях. Сам хід доказиполягає в тому, що з антитези, що є помилковим, ми виводимо слідствадо тих пір, поки не прийдемо до твердження, хибність якого безсумнівна.

ЛІТЕРАТУРА

1. Арно А., Николь П. Логіка, або Мистецтво мислити, М,: Наука, 1981.
2. Гарднер М. А ну-ка, догадайся! М.: Світ, 1984.
3. Горський Д.П., Івін А.А., Никифоров А.Л. Короткий словник по логіці. М,:

Просвещение, 1991.
4. Івін А, А. Мистецтво правильно мислити. М,: Просвещение, 1991.
5. Івін О. О., За законами логіки. М., 1983.
6. Кириллов В. І. Вправи за логікою, М,, 1994.
7. Ковальські Р. Логіка у вирішенні проблем, М.: Наука, 1991.
8. Поварнин С. І. Мистецтво суперечки. М., 1995.