Нечіткі множини в системах управління

В. Я. Півкін, Є. П. Бакулін, Д. І. Кореньков

Під редакцією

доктора технічних наук, професора Ю. М. Золотухіна

Передмова 3

ВСТУП 4

1. Нечіткі множини 5

Приклади запису нечіткого безлічі 5

Основні характеристики нечітких множин 5

Приклади нечітких множин 6

Про методи побудови функцій належності нечітких множин 7

Операції над нечіткими множинами 8

Наочне представлення операцій над нечіткими множинами 9

Властивості операцій? і?. 9

Алгебраїчні операції над нечіткими множинами 10

Відстань між нечіткими множинами, індекси нечіткості 13

Принцип узагальнення 16

2. Нечітких відносин 17

Операції над нечіткими відносинами 18

Композиція двох нечітких відносин 21

Умовні нечіткі підмножини. 23

3. Нечітко і лінгвістичної змінної 27

Нечіткі числа 28

Операції над нечіткими числами 28

Нечіткі числа (LR)-типу 29

4 . Нечітких висловлювання та Нечітка модель СИСТЕМ 32

Правила перетворень нечітких висловлювань 33

Способи визначення нечіткої імплікації 33

Логіко-лінгвістичний опис систем, нечіткі моделі. 35

Модель управління паровим котлом 36

Повнота і несуперечність правил управління 39

Література 40

Передмова

Мабуть, найбільш вражаючим властивістю людського інтелектує здатність приймати правильні рішення в умовах неповної інечіткої інформації. Побудова моделей наближених міркувань людини івикористання їх у комп'ютерних системах майбутніх поколінь являєсьогодні одну з найважливіших проблем науки.
Значне просування в цьому напрямку зроблено 30 років томупрофесором Каліфорнійського університету (Берклі) Лотфі А. Заде (Lotfi A.
Zadeh). Його робота "Fuzzy Sets", що з'явилася в 1965 році в журналі
Information and Control, + 8, заклала основи моделюванняінтелектуальної діяльності людини і стала початковим поштовхом дорозвитку нової математичної теорії.

Що ж запропонував Заде? По-перше, він розширив класичне канторовскоепоняття множини, припустивши, що характеристична функція (функціяприналежності елемента безлічі) може приймати будь-які значення вінтервалі (0; 1), а не тільки значення 0 або 1. Такі безлічі булиназвані їм нечіткими (fuzzy). Л. Заде визначив також ряд операцій наднечіткими множинами і запропонував узагальнення відомих методів логічноговиведення modus ponens і modus tollens.
Увівши потім поняття лінгвістичної змінної і допустив, що в якостіїї значень (термів) виступають нечіткі множини, Л. Заде створив апаратдля опису процесів інтелектуальної діяльності, включаючи нечіткість іневизначеність виразів.
Подальші роботи професора Л. Заде і його послідовників заклали міцнийфундамент нової теорії і створили передумови для впровадження методівнечіткого управління в інженерну практику.
Вже до 1990 року з цієї проблематики опубліковано понад 10000 робіт, ачисло дослідників досягло 10000, причому в США, Європі та СРСР з 200-300чоловік, близько 1000 - у Японії, 2000-3000 - в Індії і близько 5000дослідників у Китаї.

В останні 5-7 років почалося використання нових методів і моделей впромисловості. І хоча перші застосування нечітких систем управліннявідбулися в Європі, найбільш інтенсивно впроваджуються такі системи в Японії.
Спектр програм їх широкий: від управління процесом відправлення та зупинкипотяги метрополітену, управління вантажними ліфтами і доменної піччю допральних машин, пилососів та НВЧ-печей. При цьому нечіткі системидозволяють підвищити якість продукції при зменшенні ресурсо і енерговитраті забезпечують більш високу стійкість до дії заважають факторівв порівнянні з традиційними системами автоматичного керування.
Іншими словами, нові підходи дозволяють розширити сферу застосування системавтоматизації за межі застосовності класичної теорії. У цьому планіцікава точка зору Л. Заде: "Я вважаю, що зайве прагнення доточності стало надавати дію, що зводить нанівець теорію управління ітеорію систем, тому що воно призводить до того, що дослідження в цій областізосереджуються на тих і тільки ті проблеми, які піддаються точномурішенням. У результаті багато класи важливих проблем, в яких дані, ціліі обмеження є занадто складними або погано визначеними для того,щоб допустити точний математичний аналіз, залишалися і залишаються встороні з тієї причини, що вони не піддаються математичної трактуванні. Длятого щоб сказати що-небудь істотне для проблем подібного роду, миповинні відмовитися від наших вимог точності і допустити результати,які є кілька розмитими або невизначеними ".
Зсув центру досліджень нечітких систем у бік практичнихпрограм призвело до виникнення цілого ряду проблем таких, як новіархітектури комп'ютерів для нечітких обчислень, елементна база нечіткихкомп'ютерів і контролерів, інструментальні засоби розробки,інженерні методи розрахунку і розробки нечітких систем управління і багатоінше.
Основна мета пропонованого увазі читачів навчального посібника - привернутиувагу студентів, аспірантів та молодих наукових співробітників до нечіткоїпроблематики і дати доступне введення в одну з найцікавіших областейсучасної науки. професор Ю. М. Золотухін травня 1995р.

ВСТУП

Математична теорія нечітких множин, запропонована Л. Заде більшечверті століття тому, дозволяє описувати нечіткі поняття і знання,оперувати цими знаннями і робити нечіткі висновки. Засновані на ційтеорії методи побудови комп'ютерних нечітких систем суттєво розширюютьгалузі застосування комп'ютерів. Останнім часом нечітке управлінняє однією з найбільш активних і результативних областей дослідженьзастосування теорії нечітких множин. Нечітке управління виявляєтьсяособливо корисним, коли технологічні процеси є занадто складнимидля аналізу за допомогою загальноприйнятих кількісних методів, або колидоступні джерела інформації інтерпретуються якісно, неточно абоневизначено. Експериментально показано, що нечітке управління даєкращі результати, у порівнянні до отримуваних при загальноприйнятих алгоритмахуправління. Нечіткі методи допомагають керувати домною і прокатним станом,автомобілем і поїздом, розпізнавати мову і зображення, проектуватироботів, що володіють дотиком і зором. Нечітка логіка, на якійзасновано нечітке управління, ближче за духом до людського мислення іприродним мовам, ніж традиційні логічні системи. Нечітка логіка,в основному, забезпечує ефективні засоби відображення невизначеностейі неточностей реального світу. Наявність математичних засобів відображеннянечіткості вихідної інформації дозволяє побудувати модель, адекватнуреальності.

1. Нечіткі множини

Нехай E - універсальна множина, x - елемент E, а R - деяка властивість.
Звичайне (чітке) підмножина A універсальної множини E, елементиякого задовольняють властивості R, визначається як множина впорядкованихпар A = (? A (х)/х), де
? A (х) - характеристична функція, що приймає значення 1, якщо xзадовольняє властивості R, і 0 - в іншому випадку.
Нечітке підмножина відрізняється від звичайного тим, що для елементів x з Eнемає однозначної відповіді "так-ні" щодо властивості R. У зв'язку з цим,нечітка підмножина A універсальної множини E визначається якбезліч впорядкованих пар A = (? A (х)/х), де
? A (х) - характеристична функція приналежності (або просто функціяприналежності), що приймає значення в деякій цілком упорядкованомумножині M (наприклад, M = [0,1]). Функція приналежності вказує ступінь
(або рівень) приналежності елемента x підмножині A. Безліч Mназивають безліччю приладдя. Якщо M = (0,1), то нечіткапідмножина A може розглядатися як звичайна або чітке безліч.

Приклади запису нечіткого безлічі

Нехай E = (x1, x2, x3, x4, x5), M = [0,1] ; A - нечітка множина, дляякого

? A (x1) = 0,3;

? A (x2) = 0;

? A (x3) = 1;

? A (x4) = 0,5;

? A (x5) = 0,9.
Тоді A можна представити у вигляді:
A = (0,3/x1; 0/x2; 1/x3; 0,5/x4; 0,9/x5) або
A = 0,3/x1 + 0/x2 + 1/x3 + 0,5/x4 + 0,9/x5, або
| A | x1 |
| = | X2 |
| | X3 |
| | X4 |
| | X5 |
| | |
| | 0,3 |
| | 0 |
| | 1 |
| | 0,5 |
| | 0,9 |
| | |

.
Зауваження. Тут знак "+" не є позначенням операції додавання, амає сенс об'єднання.

Основні характеристики нечітких множин

Нехай M = [0,1] і A - нечітка множина з елементами з універсальногобезлічі E і безліччю приладдя M.
Величина? A (x) називається висотою нечіткого безлічі A. Нечіткебезліч A нормально, якщо його висота дорівнює 1, тобто верхня межа йогофункції приналежності дорівнює 1 (? A (x) = 1). При? A (x) 0, тобто носій A = (x /? A (x)> 0)? x? E.
Елементи x? E, для яких? A (x) = 0,5 називаються точками переходу безлічі
A.

Приклади нечітких множин

Нехай E = (0,1,2, .., 10), M = [0,1]. Нечітке безліч "декілька" можнавизначити наступним чином: "декілька" =
0,5/3 +0,8/4 +1/5 +1/6 +0,8/7 +0,5/8; його характеристики: висота = 1,носій = (3,4,5,6,7,8), точки переходу - (3,8).
Нехай E = (0,1,2,3 ,..., n ,...}. Нечітке безліч "малий" можна визначити:
"малий" =.
Нехай E = (1,2,3 ,..., 100) і відповідає поняттю "вік", тоді нечіткебезліч "молодий", може бути визначено за допомогою
? "молодий" (x) =.
Нечітке безліч "молодий" на універсальній множині E '= (Іванов,
Петров, Сидоров ,...} задається за допомогою функції приналежності
? "молодий" (x) на E = (1,2,3, .. 100) (вік), званої по відношенню до E 'функцією сумісності, при цьому:
? "молодий" (Сидоров): =? "молодий" (x), де x - вік Сидорова.
Нехай E = (Запорожець, Жигулі, Мерседес ,....} - безліч марок автомобілів,а E '= [0,?) - універсальна безліч "вартість", тоді на E' ми можемовизначити нечіткі множини типу: "для бідних", "для середнього класу",
"престижні", з функціями належності типу:

Маючи ці функції і знаючи вартості автомобілів з E в даний момент часу,ми тим самим визначимо на E 'нечіткі множини з цими ж назвами.
Так, наприклад, нечітка множина "для бідних", задане на універсальномубезлічі E = (Запорожець, Жигулі, Мерседес ,....} виглядає такимтак:

Аналогічно можна визначити Нечітке безліч "швидкісні", "середні",
"тихохідні" і т.д.

Про методи побудови функцій приналежності нечітких множин

Для конкретної особи А експерт, виходячи з наведеної шкали, задає? A (x)?
[0,1], формуючи векторну функцію приналежності (? A (x1),? A (x2 ),...< br>? A (x9)).
При прямих методах використовуються також групові прямі методи, коли,наприклад, групі експертів пред'являють конкретну особу і кожен повинен датиодна з двох відповідей: "ця людина лисий" або "ця людина не лисий",тоді кількість ствердних відповідей, поділене на загальне число експертів,дає значення? "лисий" (даного особи). (У цьому прикладі можна діятичерез функцію сумісності, але тоді доведеться вважати число волосин наголові у кожного з пред'явлених експерту осіб).
Непрямі методи визначення значень функції приналежності використовуються ввипадках, коли немає елементарних вимірюваних властивостей, через яківизначається який нас цікавить нечітка множина. Як правило, це методипопарних порівнянь. Якби значення функцій належності були намвідомі, наприклад,? A (xi) = wi, i = 1,2 ,..., n, то попарні порівняння можнапредставити матрицею відносин A = (aij), де aij = wi/wj (операція ділення).

На практиці експерт сам формує матрицю A, при цьому передбачається, щодіагональні елементи дорівнюють 1, а для елементів симетричних щододіагоналі aij = 1/aij, тобто якщо один елемент оцінюється в? раз сильнішеніж інший, то цей останній повинен бути в 1 /? разів сильніше, ніж перший. Узагальному випадку задача зводиться до пошуку вектора w, задовольняє рівняннювиду Аw =? maxw, де? max - найбільше власне значення матриці A.
Оскільки матриця А позитивна з побудови, рішення даного завданняіснує і є позитивним.

Операції над нечіткими множинами

Включення.
Нехай A і B - нечіткі множини на універсальній множині E.
Кажуть, що A міститься в B, якщо? X? E? A (x)? B (x).
Позначення: A? B.
Іноді використовують термін "домінування", тобто у разі коли A? B,кажуть, що B домінує A.
Рівність.
A і B рівні, якщо? X? E? A (x) =? B (x).
Позначення: A = B.
Доповнення.
Нехай? = [0,1], A і B - нечіткі множини, задані на E. A і B доповнюютьодин одного, якщо
? x? E? A (x) = 1 -? B (x).
Позначення: B = або A =.
Очевидно, що = A. (Додаток визначено для M = [0,1], але очевидно,що його можна визначити для будь-якого упорядкованого M).
Перетин.
A? B - найбільше нечітка підмножина, що міститься одночасно в A і B.
? A? B (x) = min (? A (x),? B (x)).
Об'єднання.
А? В - найменше нечітка підмножина, що включає як А, так і В, зфункцією приналежності:
? A? B (x) = max (? A (x),? B (x)).
Різниця.
А - B = А? з функцією приналежності:
? A-B (x) =? A? (x) = min (? A (x), 1 -? B (x)).
Діз'юнктівная сума.
А? B = (А - B)? (B - А) = (А?)? (? B) з функцією приналежності:
? A-B (x) = max ([min (? A (x), 1 -? B (x )}];[ min (1 -? A (x),? B (x))])
Приклади.
Нехай:
A = 0,4/x1 + 0,2/x2 0/x3 1/x4;
B = 0,7/x1 0,9/x2 0,1/x3 1/x4;
C = 0,1/x1 1/x2 0,2/x3 +0,9/x4.
Тут:
A? B, тобто A міститься в B або B домінує A, С незрівнянно ні з A, ні з B,тобто пари (A, С) і (A, С) - пари недомініруемих нечітких множин.
A? B? C.
= 0,6/x1 + 0,8/x2 + 1/x3 + 0/x4;
= 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0,9/x3 + 0/x4.
A? B = 0,4/x1 + 0,2/x2 + 0/x3 + 1/x4.
А? В = 0,7/x1 + 0,9/x2 + 0,1/x3 + 1/x4.
А - В = А? = 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0/x3 + 0/x4;
В - А =? В = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.
А? В = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.

Наочне представлення операцій над нечіткими множинами

Для нечітких множин можна будувати візуальне подання. Розглянемопрямокутну систему координат, на осі ординат якої відкладаютьсязначення? A (x), на осі абсцис в довільному порядку розташовані елементи
E (ми вже використали таке подання в прикладах нечітких множин).
Якщо E за своєю природою впорядковано, то цей порядок бажано зберегти врозташування елементів на осі абсцис. Таке уявлення робитьнаочними прості операції над нечіткими множинами.

На верхній частині малюнка заштрихована частина відповідає нечіткомубезлічі A і, якщо говорити точно, зображує область значень А і всіхнечітких множин, що містяться в A. На нижній - дані, A? , A?
.

Властивості операцій? і?.

Нехай А, В, С - нечіткі множини, тоді виконуються наступні властивості:
- Комутативність;
- Асоціативність;
- Ідемпотентність;
- Дистрибутивність;
A?? = A, де? - Порожня множина, тобто ?? (x) = 0?> x? E;
A?? =?;
A? E = A, де E - універсальна безліч;
A? E = E;
- Теореми де Моргана.
На відміну від чітких множин, для нечітких множин в загальному випадку:
A? ? ?,
A? ? E.
(Що, зокрема, проілюстровано вище в прикладі наочногопредставлення нечітких множин).
Зауваження. Введені вище операції над нечіткими множинами засновані навикористанні операцій max та min. У теорії нечітких множинрозробляються питання побудови узагальнених, параметрезованих операторівперетину, об'єднання і доповнення, що дозволяють врахувати різноманітнісмислові відтінки відповідних їм зв'язок "і", "або", "не".
Один з підходів до операторів перетину та об'єднання полягає в їхвизначенні в класі трикутних норм і конорм.
Трикутної алермой (t-нормою) називається двомісна дійсна функція
T: [0,1] Ч [0,1]> [0,1], яка задовольняє таким умовам:
T (0,0) = 0; T (? A, 1) =? A; T (1,? A) =? A - обмеженість;
T (? A,? B)? T (? C,? D), якщо? A?? C,? B?? D - монотонність;
T (? A,? B) = T (? B,? A) - комутативність;
T (? A, T (? B,? C)) = T (T (? A,? B),? C) - асоціативність;
Простим випадком трикутних норм є:min (? A,? B)твір? A?? Bmax (0,? A +? B -1).
Трикутної конормой (t-конормой) називається двомісна дійснафункція?: [0,1] Ч [0,1]> [0,1], з властивостями:
T (1,1) = 1; T (? A, 0) =? A; T (0,? A) =? A - обмеженість;
T (? A,? B)? T (? C,? D), якщо? A?? C,? B?? D - монотонність;
T (? A,? B) = T (? B,? A) - комутативність;
T (? A, T (? B,? C)) = T (T (? A,? B),? C) - асоціативність.
Приклади t-конорм:max (? A,? B)
? A +? B -? A? ? Bmin (1,? A +? B).

Алгебраїчні операції над нечіткими множинами

алгебраїчне твір A і B позначається A? B і визначається так:
? x? E? A? B (x) =? A (x)? B (x).
Алгебраїчна сума цих множин позначається і визначається так:
? x? E =? A (x) +? B (x) -? A (x)? B (x).
Для операцій (?,) Виконуються властивості:
- Комутативність;
- Асоціативність;
A?? =?, A? = A, A? E = A, AE = E
- Теореми де Моргана.
Не виконуються:
- Ідемпотентність;
- Дистрибутивність;а також A? =?, A = E.
Зауваження. Докази наведених властивостей операцій над нечіткимимножинами ми залишаємо читачеві.
Для прикладу доведемо властивість:. Позначимо? A (x) через a,? B (x) черезb. Тоді в лівій частині для кожного елемента х маємо: 1-ab, а в правій: (1 --a) + (1-b) - (1-a) (1-b) = 1-a +1- b-1 + a + b-ab = 1-ab.
Доведемо, що властивість дистрибутивності не виконується, тобто A? (BC)?
(A? B) (A? C). Для лівій частині маємо: a (b + c-bc) = ab + ac-abc; для правої:ab + ac-(ab) (ac) = ab + ac + a2bc. Це означає, що дистрибутивність НЕвиконується при a? a2.
Зауваження. При спільному використанні операцій (?, ?,+,?} Виконуютьсявластивості:
А? (B? C) = (A? B)? (A? C);
А? (B? C) = (A? B)? (A? C);
А (B? C) = (AB)? (AC);
А (B? C) = (AB)? (AC).
Продовжимо огляд основних операцій над нечіткими множинами.
На основі операції алгебраїчного твору (принаймні для цілих
? ця основа очевидна) визначається операція зведення в ступінь?нечіткого множини A, де? - Позитивне число. Нечітке безліч A?визначається функцією приналежність? A? =?? A (x). Приватним випадкомпіднесення до степеня є:
CON (A) = A2 - операція концентрування,
DIL (A) = A0, 5 - операція розтягування,які використовуються при роботі з лінгвістичними невизначеностями.

Множення на число. Якщо? - Позитивне число, таке, що??
A (x)? 1, то нечітка множина? A має функцію приналежності:
?? A (x) =?? A (x).
Опукла комбінація нечітких множин. Хай A1, A2, .., An - нечіткібезлічі універсальної множини E, а? 1, № 2, ...,? n - невід'ємнічисла, сума яких дорівнює 1.
Опуклою комбінацією A1, A2, .., An називається нечітка множина A зфункцією приналежності:
? x? E? A (x1, x1 ,..., xn) =? 1? A1 (x) +? 2? A2 (x) + ... +? N? Ai (x).
Декартовою твір нечітких множин. Хай A1, A2, ..., An - нечіткіпідмножини універсальних множин E1, E2, ..., En відповідно.
Декартовою твір A = A1ЧA2 Ч ... ЧAn є нечітким підмножиноюбезлічі E = E1ЧE2 Ч ... ЧEn з функцією приналежності:
? A (x1, x1, ..., xn) = min (? A1 (x1),? A2 (x2), ... ,? Ai (xn)).
Оператор збільшення нечіткості використовується для перетворення чіткихмножин у нечіткі і для збільшення нечіткості нечіткого безлічі.
Нехай A - нечітка множина, E - універсальна безліч і для всіх x? Eвизначені нечіткі множини K (х). Сукупність всіх K (х) називається ядромоператора збільшення нечіткості Ф. Результатом дії оператора Ф нанечітка множина A є нечітка множина виду:
Ф (A, K) =? A (x) K (х),де? A (x) K (х) - твір числа на нечітка множина.

Приклад:
E = (1,2,3,4);
A = 0,8/1 +0,6/2 +0/3 +0/4;
K (1) = 1/1 +0,4/2;
K (2) = 1/2 +0,4/1 +0,4/3;
K (3) = 1/3 +0,5/4;
K (4) = 1/4.

Тоді
Ф (A, K) =? A (1) K (1)?? A (2) K (2)?? A (3) K (3)?? A (4) K (4) =
= 0,8 (1/1 +0,4/2)? 0,6 (1/2 +0,4/1 +0,4/3) =
= 0,8/1 +0,6/2 +0,24/3.
Чітке безліч?-Рівня (або рівня?). Многотою?-Рівня нечіткогомножини A універсальної множини E називається чітке підмножина A?універсальної множини E, визначається у вигляді:
A? = (x /? A (x )??}, де?? 1.
Приклад: A = 0,2/x1 + 0/x2 + 0,5/x3 + 1/x4,тоді A0.3 = (x3, x4),
A0.7 = (x4).
Досить очевидне властивість: якщо? 1?? 2, то A? 1? A? 2.
Теорема про декомпозиції. Усяке нечітка множина A розкладені за йогомножинам рівня у вигляді:
A =? A?, Де? A? - Твір числа? на безліч A, і?
"пробігає" область значень M функції належності нечіткого безлічі
A.
Приклад: A = 0,1/x1 + 0/x2 + 0,7/x3 + 1/x4 представимо у вигляді:
A = 0,1 (1,0,1,1)? 0,7 (0,0,1,1,)? 1 (0,0,0,1) =
= (0,1/x1 + 0/x2 + 0,1/x3 + 0,1/x4)? (0/x1 + 0/x2 + 0,7/x3 + 0,7/x4)?
? (0/x1 + 0/x2 + 0/x3 + 1/x4) = 0,1/x1 0/x2 0,7/x3 1/x4.
Якщо область значень функції приналежності складається з n градацій? 1? ? 2?
? 3? ...? ? n, то A (при фіксованих значеннях градацій) представимо увигляді:
A =? IA? I,тобто визначається сукупністю звичайних множин (A? 1, A? 2, ..., A? i), де
A? 1? A? 2? , ...,? A? I.

Відстань між нечіткими множинами, індекси нечіткості

Нехай A і B - нечіткі підмножини універсальної множини E. Введемопоняття відстані? (A, B) між нечіткими множинами. При введеннівідстані зазвичай ставляться такі вимоги:
? (A, B)? 0 - точність;
? (A, B) =? (B, A) - симетричність;
? (A, B) До цих трьох вимогам можна додати четверте:? (A, A) = 0.
Визначимо наступні відстані за формулами:
Відстань Хеммінга (або лінійне відстань):
? (A, B) = |? A (xi) -? B (xi) |.
Очевидно, що? (A, B)? [0, n].
Евклідів або квадратичне відстань:
? (A, B) =,? (A, B)? [0,].
Відносне відстань Хеммінга:
? (A, B) =,? (A, B)? [0,1].
Відносне евклідів відстань:
? (A, B) =,? (A, B)? [0,1].
Відстань Хеммінга і квадратичне відстань, у разі коли E нескінченно,визначаються аналогічно з умовою збіжності відповідних сум:якщо E рахункове, то
? (A, B) = |? A (xi) -? B (xi) |,
? (A, B) =;якщо E = R (числова вісь), то
? (A, B) =,
? (A, B) =.
Зауваження. Тут наведено два найбільш часто зустрічаються визначенняпоняття відстані. Зрозуміло, для нечітких множин можна написати та іншівизначення поняття відстані.

Перейдемо до індексів нечіткості або показниками розмитості нечіткихмножин.
Якщо об'єкт х має властивість R (що породжує нечітка множина A) лишеу приватній мірою, тобто
0