1. Предмет і значення логіки
Логіка як засіб пізнання об'єктивного світу вивчає абстрактнемислення, досліджує його форми (поняття, судження і умовиводи) і закони,в яких відбувається відображення світу в процесі мислення.
Предметом теоретичної логіки, то є областю її дослідження, єлогічні форми, в яких протікає теоретичне пізнання, - поняття,судження та міркування.
Методологічне значення теоретичної логіки полягає в тому, що всфері її дослідження розробляються, аналізуються методологічно важливіпоняття - визначення, класифікація, доказ, гіпотеза, теорія іт.д., які є необхідним інструментарієм, конкретними операціяминауково-дослідної практики.

2. Логічна граматика: семантичні категорії і функторів
Підрозділ мовних зворотів на семантичні категорії проводиться взалежно від того, що ці звороти означають. Два вирази вважаютьсявідносяться до однієї і тієї ж семантичної категорії розглянутогомови, якщо заміна одного з них іншим у довільному осмисленомуреченні не перетворює цю пропозицію в безглузде. Навпаки, двавираження завжди відносяться до різних категорій, якщо підстановка одного зних замість іншого веде до втрати свідомості.
Відповідно до теорії семантичних категорій, кожне правильно побудованевираз мови належить одній і тільки одній з семантичнихкатегорій. В принципі цих категорій нескінченне число, і вони складаютьдосить розгалужену ієрархію.
До неї входять дві основні категорії і нескінченна сукупність такзваних функторних категорій. До основних відносяться категорія імен ікатегорія пропозицій (висловлювань).
Залишаючи осторонь складні і спірні деталі теорії семантичних категорій,можна обмежитися виділенням трьох основних категорій мовних виразів:імен, пропозицій (висловлювань) і функторів.
Іменами є мовні вирази, підстановка яких у форму "S є P"замість змінних S і P дає осмислене пропозицію.
Пропозиція (висловлювання) - це мовне вираження, що є істиннимчи хибним
Функторів - це мовне вираження, яка не є ані ім'ям, ні висловлюваннямі що служить для утворення нових імен або висловлювань з вже наявних.
Наприклад, слово «є» - це функторів, оскільки воно не являє собоюімені або висловлювання, але дозволяє з двох імен отримати висловлювання.
Функторів, що дозволяють з імен або висловлювань отримувати нові вислови,називаються пропозіціональнимі.

3. Імена та види імен
Ім'я - це слово або словосполучення, що позначає який-небудь певнийпредмет або клас однорідних предметів. Хоча предмети мінливі, текучі, вних зберігається якісна визначеність, щодо грунтуєтьсясутність, яку і позначає ім'я даного предмета. Вираз мовиє ім'ям, якщо воно може використовуватися в якості що підлягає абоіменної частини присудка у простому реченні "S є P" (S - підлягають,
P - присудок).
Імена розрізняються між собою залежно від того, скільки предметів вониозначають. Поодинокі імена позначають один і тільки один предмет. Загальніімена позначають більш ніж один предмет. Одиничним ім'ям є доНаприклад слово «Сонце», що означає єдину зірку в Сонячнійсистемі. До загальних належать імена «людина», «жінка», «школяр» тощо
Всі ці імена пов'язані з множинами, або класами, предметів. При цьому ім'явідноситься не до безлічі як єдиного цілого, а до кожного входить до ньогопредмету.
Серед загальних імен особливе значення має поняття.
Поняття представляє собою загальне ім'я з відносно ясним і стійкимзмістом, що використовується в звичайній мові або в мові науки. Виразноюкордону між тими іменами, які можна назвати поняттями, і тими,які не належать до понять, не існує.
Імена можна розділити також на порожні, або безпредметні, і непусті.
Пусте ім'я не позначає жодного реально існуючого предмета. Назва, нещо є порожнім, відсилає хоча б до одного реального об'єкту. До порожнімвідносяться, наприклад, імена «Зевс», «Пегас», «кентавр», створеніміфологією і позначають вигадані, яких не було в реальному світіістот. Порожніми є також імена «ідеальний газ», «абсолютно чорнетіло »,« точка »,« лінія », що використовуються у фізиці і математиці і позначаютьне реально існуючі, а ідеалізовані предмети.
Імена підрозділяються далі на конкретні й абстрактні. Конкретне ім'япозначає фізичні тіла або живі істоти. Абстрактне ім'я позначаєоб'єкти, які не є індивідами. До конкретних належать, наприклад, імена
«Стіл», «зошит», «ліс», «зірка» і т. п. абстрактними є іменавластивостей, відносин, класів, чисел і т. п.: слово «чорний» можерозглядатися як позначення властивості «чорноти». Абстрактними єтакож імена «людяність», «справедливість», «законність» і т. п.

4. Відносини між іменами
Імена відносяться в різних відносинах один до одного. Між обсягами двохдовільних імен, які є якийсь сенс зіставляти один з одним,має місце одне й тільки одне з таких відносин: рівнозначність,перехід, підпорядкування (два варіанти) і виключення.
Рівнозначними є два імені, обсяги яких повністю співпадають. Іншимисловами, рівнозначні імена відсилають до одного і того ж класу предметів, але роблять це різними способами. ( «Квадрат» і «рівносторонній прямокутник »).

рівнозначність означає збіг обсягів двох імен, але не їх змістів.

Наприклад, обсяги імен« син »і« онук »збігаються ( кожен син є чиясь онук і кожен онук - чийсь син), але змісту їх різні.

У відношенні перетину знаходяться два імені, обсяги яких частковозбігаються. Перетинаються, зокрема, обсяги імен «льотчик» і «космонавт»:деякі льотчики є космонавтами, є льотчики, які не єкосмонавтами, і є космонавти, які не є льотчиками.

У відношенні підпорядкування перебувають імена, обсяг одного з яких повністювходить до обсягу іншого. У відношенні підпорядкування перебувають, наприклад, імена
«Трикутник» і «прямокутний трикутник»: кожен прямокутнийтрикутник є трикутником, але не кожен реугольнік прямокутний.
Якщо у відношенні підпорядкування перебувають загальні імена, то що підкоряє ім'яназивається родом, а підпорядковане - виглядом. Ім'я «трикутник» є рід длявиду «прямокутний трикутник».

Щодо виключення знаходяться імена, обсяги яких повністю виключаютьодин одного. Чи виключають одне одного імена «трапеція» і «п'ятикутник»,
«Людина» і «планета» і т. п.

Можна виділити два види виключення:

1. Виключається обсяг доповнюють один одного так, що в сумі дають весь ооб'ем роду, видами якої вони є.

Імена, обсяги яких виключають один одного, вичерпуючи обсяг родового поняття, називають такими, що суперечать ( «вмілий» і «невмілий» , «стійкий» і

«нестійкий» і т. п.).
2. Виключають імена складають в сумі лише частину обсягу того роду,видами якої вони є. Імена, обсяги яких виключають один одного,НЕ вичерпуючи обсяг родового імені, називаються протилежними ( «простечисло »і« парне число »,« червоний »і« білий »).

5. Визначення імен та його правила
Визначення - логічна операція, що розкриває зміст імені.
Визначити ім'я - значить вказати, які ознаки входять в його зміст.
Явні визначення мають форму рівності - збігу двох імен (понять).
Загальна схема таких визначень: «S є (за визначенням) P». Тут S і P --два імені, причому не має значення, виражається кожне з них одним словомабо сполученням слів.
Неявні визначення не мають форми рівності двох імен. Особливий інтерессеред неявних визначень мають контекстуальні і остенсівние визначення.
Кожен уривок тексту, будь-який контекст, в якому зустрічається цікавитьнас ім'я, є в певному сенсі неявним його визначенням. Остенсівниевизначення - це визначення шляхом показу. Визначення такого типунагадують звичайні контекстуальні визначення. Але контекстом тутє не уривок якогось тексту, а ситуація, в якій зустрічаєтьсяоб'єкт, що позначається, що цікавлять нас поняттям.
В явних визначеннях ототожнюються, прирівнюються один до одного дваімені. Одне - визначається ім'я, зміст якого потрібно розкрити,інше - що визначає ім'я, яке вирішує це завдання.
Класичними визначеннями називають явні визначення через рід і видовувідмінність. Загальна схема класичних визначень: «S є P іM». Тут S --визначається ім'я, P - ім'я, більш загальне по відношенню до S (рід), M - такіознаки, які виділяють предмети, що позначаються ім'ям S серед всіхпредметів, що позначаються ім'ям (P).
До явних визначень пред'являється ряд достатньо прості й очевиднівимог. Їх називають зазвичай правилами визначення.
1. Визначалася і визначається поняття повинні бути взаємозамінні. Длявизначень через рід і видову відмінність це правило формулюється якправило пропорційності визначається і визначає понять: сукупностіпредметів, що охоплені ними, повинні бути одними і тими ж. ( «Голкіпер» і
«Воротар», «нонсенс» і «нісенітниця»).
Якщо обсяг визначає поняття ширше, ніж обсяг визначається, говорять пропомилку занадто широкого визначення ( «ромб - чотирикутник плоский»).
Якщо обсяг визначає поняття вже обсягу визначається, має місцепомилка дуже вузького визначення ( «ромб - плоский чотирикутник, уякого всі сторони і всі кути рівні »).
2. Не можна визначати ім'я через саме себе або визначати його через такеінше ім'я, яке, у свою чергу, визначається через нього. Це правилозабороняє порочне коло.
3. Визначення повинно бути зрозумілим. Це означає, що в визначальною частиниможуть використовуватися тільки імена, відомі та зрозумілі тим, на когорозраховане визначення. Бажано також, щоб у ній не зустрічалисяобрази, метафори, порівняння, тобто Все те, що не припускає однозначногоі ясного тлумачення.

6. Розподіл імен та його правила.
Поділ - це операція розподілу на групи тих предметів, якімисляться у вихідному імені. Отримані в результаті поділу групиназиваються членами поділу. Ознака, за яким здійснюється поділ,іменується підставою розподілу. У кожному розподілі є, таким чином,ділене поняття, підстава поділу і члени поділу.
За допомогою операції ділення розкривається обсяг того чи іншого імені,з'ясовується, з яких підкласів складається клас, відповідний діленимімені.
Вимоги, що пред'являються до поділу, досить прості.
1. Ділення повинно вестися тільки по одній підставі.
Ця вимога означає, що обраний спочатку в якості підстави ознакаабо сукупність ознак не слід під час поділу підміняти іншимиознаками. Правильно, наприклад, ділити клімат на холодний, помірний,жаркий, морський і континентальний буде вже невірним: спочатку поділпроводилося за середньорічною температурі, а потім - за новим основи.
2. Ділення повинно бути відповідним, або вичерпним, тобто Сума обсягівчленів поділу повинна дорівнювати обсягу ділене поняття. Ця вимогазастерігає проти пропуску окремих членів поділу.
Помилковими, неісчерпивающімі будуть, зокрема, поділ трикутників нагострокутні і прямокутні.
3. Члени поділу повинні взаємно виключати один одного.
Згідно з цим правилом, кожен окремий предмет повинен знаходитися в обсязітільки одного видового поняття і не входити в обсяги інших видовихпонять.
4. Поділ має бути безперервним.
Це правило вимагає не робити стрибків у розподілі, переходити від вихідногопоняття до однопорядкові видів, але не до підвиду одного з таких видів.

Приватним випадком ділення є дихотомія. Дихотомічне поділспирається на крайній випадок варіювання ознаки, що є підставоюподілу: з одного боку, виділяються предмети, які мають цю ознаку, зіншого - не мають його. У разі звичайного поділу люди можутьпідрозділятися, приміром, на чоловіків і жінок, на дітей і дорослих і т. п.
При дихотомії безліч людей розбивається на чоловіків і «немужчін», дітей та
«Недетей» і т. п.

Класифікація - це багатоступінчасте, розгалужене поділ.

7. Прості і складні висловлювання. Логіка спілки.
Висловлювання - граматично правильна пропозиція, взяте разом звисловлюваним їм глуздом (змістом) і що є істинним чи хибним.
Висловлювання називається простим, якщо воно не включає інших висловів наяк своїх частин.
Висловлювання є складним, якщо її було отримано за допомогою логічнихзв'язок з кількох більш простих висловлювань.
З окремих висловлювань різними способами можна будувати новівисловлювання. Слова «і», «або, або», «якщо, то» і т. п., що служать дляутворення складних висловлювань, називаються логічними зв'язками.

8. Заперечення, кон'юнкція, диз'юнкція: таблиці значень.
Найбільш важливі способи побудови складних висловлювань.
Заперечення - логічна зв'язка, за допомогою якої з даного висловлюваннявиходить нове, причому, якщо оригінал висловлювання істинно, його запереченнябуде помилковим, і навпаки. Негативне висловлювання складається з вихідноговисловлювання і заперечення, що виражається звичайно словами «не», «невірно, що».
Будемо позначати висловлювання буквами A, B. C, ..., заперечення висловлювання --символом ~. Повний зміст поняття заперечення висловлювання задається умовою:якщо висловлювання A істинно, його заперечення A помилково, його заперечення, ~ A,істинно.
| A | ~ A |
| і | л |
| л | і |

Визначенню заперечення можна надати форму таблиці істинності, в якій «і»означає «істинно» та «л» - «хибно».

У результаті з'єднання двох висловлювань за допомогою слова «і», ми отримуємоскладне висловлювання, зване кон'юнкція. Висловлювання, з'єднанетаким способом, називаються членами кон'юнкції. Наприклад, якщо висловлювання
«Сьогодні спекотно» і «Вчора було холодно» з'єднати зв'язкою «і» вийдекон'юнкція «Сьогодні спекотно і вчора було холодно».
Кон'юнкція істинна тільки у випадку, коли обидва входять до неї висловлюванняє істинними, якщо хоча б один з її членів розкладання, то і всякон'юнкція помилкова. Висловлення A
| A | B | A & B |
| і | і | і |
| і | л | л |
| л | і | л |
| л | л | л |

може бути або істинним, або хибним, і те ж саме можна сказати провисловленні B. Отже, можливі чотири пари значень істинності дляцих висловлювань. Позначимо кон'юнкцію символом &. Таблиця істинності длякон'юнкції наведена сторінки. Визначення кон'юнкції, як і визначенняінших логічних зв'язок, що служать для утворення складних висловлювань,грунтується на наступних двох припущеннях:
1) кожне висловлювання (як просте, так і складне) має одне й тількиодне з двох значень істинності: воно є або істинним, або хибним;
2) істінностное значення складного висловлювання залежить тільки відістінностних значень що входять до нього висловлювань і способу їх логічноїзв'язку між собою.
Поєднуючи два висловлювання з допомогою слова «або», ми отримуємо диз'юнкціюцих висловлювань. Висловлювання, що утворюють диз'юнкцію, називаються членамиді'юнкціі. Слово «або» у повсякденній мові має два різних сенсах.
Іноді воно означає «одне або інше або обидва», а іноді «одне або інше,але не обидва разом ». Перший сенс «або» називається неісключающім. Узята вцьому сенсі диз'юнкція двох висловлювань означає тільки, що, принаймніпринаймні одне з цих висловлювань Поправді, незалежно від того, істинні вони обидвачи ні. Узята в другому, що виключає, сенсі диз'юнкція двох висловлюваньстверджує, що одна з них істинно, а другий - помилково.
| A | B | AvB | Av `B |
| і | і | і | л |
| і | л | і | і |
| л | і | і | і |
| л | л | л | л |

Символ v означатиме диз'юнкцію в неісключающем сенсі, для диз'юнкціїв виключає сенсі буде використовуватися v `. Таблиці для двох видівдиз'юнкції показують, що неісключающая диз'юнкція істинна, коли хоча бодне з вхідних в неї висловлювань Поправді, і помилкова, тільки коли обидва їїчлена помилкові; виключає диз'юнкція істинна, коли істинним є тількиодин з її членів, і вона помилкова, коли обидва її члена правдиві або обидва помилкові. Улогіці і математиці слово «або» завжди вживається в неісключающемзначенні.

9. Імплікація та еквівалентність: таблиці значень
Умовне висловлювання - складне висловлювання, формулируемого звичайно здопомогою зв'язки «якщо ..., то ...» та встановлює, що одна подія,стан і т.п. є в томучи іншому сенсі підставою або умовою дляіншого. Умовне висловлювання складається з двох простих висловлювань. Те,яким наказано слово «якщо», називається підставою, або антецедентом
(попереднім); вислів, що йде після слова «то», називається наслідком,або консеквентом (наступним).
| A | B | A> B |
| і | і | і |
| і | л | л |
| л | и | і |
| л | л | і |

Умовне вислів знаходить дуже широке застосування у всіх сферахміркування. У логіці воно видається, як правило, за допомогоюімплікатівного висловлювання, або і плікаціі.
Стверджуючи імплікації, ми стверджуємо, що не може статися, щоб їїпідстава (антецедент) було щирим, а слідство (консеквент) - помилковим.
Для встановлення істинності імплікації «якщо A, то B» достатньо, такимчином, з'ясувати істінностние значення висловлень A і B. З чотирьохможливих випадків імплікація істинна в наступних трьох:
(1) і її підставу, і її наслідок правдиві
(2) підстава помилково, а наслідок це правда,
(3) та підставу, і слідство помилкові.
Тільки в четвертому випадку, коли підстава істинно, а наслідок помилково, всяімплікація помилкова. Будемо позначати символом імплікації>. Таблицяістинності для імплікації наводиться. Сенс імплікації, як однієї злогічних зв'язок, повністю визначений цією таблицею і нічого іншогоімплікація не має на увазі. Імплікація, зокрема, не передбачає, щовислови A і B якось пов'язані між собою за змістом. У разіістинності B вислів «якщо A, то B» істинно незалежно від тогоє A істинним або помилковими пов'язане воно за змістом з B чи ні. Умовневислів істнно також тоді, коли A помилково, і при цьому знов-такибайдуже, істинно B чи ні і пов'язане воно з утримання з A чи ні.
З імплткаціей тісно пов'язана еквівалентність, яка називається іноді «подвійнийімплікацій ».
Еквівалентність - складне висловлювання «A, якщо і тільки якщо B»,утворене з висловлень A і B і розкладається на дві імплікації:
«Якщо A, то B» і «якщо B, то A».
| A | B | A? B |
| і | і | і |
| і | л | л |
| л | і | л |
| л | л | і |

Терміном «еквівалентність» позначається і зв'язка «... якщо і тількиякщо ...», за допомогою якої з двох висловлювань утворюється дане складневислів. Замість «..., якщо і тільки якщо »для цієї мети можутьвикористовуватися «.. в тому і тільки в тому випадку, коли ...», «... тоді ітільки тоді, коли ... »і т. п.
Якщо логічні зв'язки визначаються в термінах істини і брехні,еквівалентність істинна тогдаі тільки тоді, коли обидва складові їївисловлювання мають один і той же істінностное значення, тобто коли вони обидваправдиві або обидва помилкові. Відповідно, еквівалентність є помилковою,коли одне з вхідних в неї висловлювань істинно, а інше помилково.
Позначимо еквівалентність символом?, Формула A? B може бути прочитана так:
«A, якщо і тільки якщо B». Таблиця істинності для еквівалентностінаводиться.
З використанням введеної логічної символіки зв'язок еквівалентності іімплікації можнапредставити так: «A? B» означає «(A> B) & (A> B)».
Еквівалентність є відношенням типу рівності. Як і будь-яке відношення,еквівалентність висловлювань є рефлексивної (будь-яке висловлюванняеквівалентно самому собі), симетричною (якщо один вислівеквівалентно іншому, то друга еквівалентно перший) і транзитивній (якщоодин вислів еквівалентно іншому, а інше - третій, то превовислів еквівалентно третій).

10. Логічні закони тотожності, протиріччя і виключеного третього
Закон тотожності говорить: якщо кожен вислів істинно, то воно правдиве.
Інакше кажучи, кожне висловлювання випливає з самого себе і єнеобхідною і достатньою умовою своєї істинності. Символічно: A> A,якщо A, то A. Наприклад, якщо будинок високий, то він високий »і т. п.
Ідея, що виражається законом суперечності, проста: висловлювання і його запереченняне можуть бути разом істинними. Закон протиріччя виражається формулою:
~ (A & ~ A), невірно, що A і не-A. Якщо застосовувати поняття істини і брехні, законсуперечності можна сформулювати так: ніяке висказианіе не єразом істинним і хибним. Іноді закон суперечності формулюютьнаступним чином: із двох суперечливих висловлювань однеє помилковим.
Закон виключеного третього, як і закон суперечності, встановлює зв'язокміж такими, що суперечать один одному висловлюваннями. Він стверджує: з двохсуперечать висловлювань одне є істинним. Символічно: A v ~ A, Aабо не-A. Наприклад: «Личинки мух мають голову або не мають її». Самоназву закону виражає його зміст: справа йде так, як мовиться врозглянутому висловлюванні, або так, як йдеться в його запереченні, іжодної третьої можливості немає.

11. Закони подвійного заперечення, контрапозіціі, приведення до абсурду інепрямого докази
Законом подвійного заперечення називається закон логіки, що дозволяє відкидатиподвійне заперечення. Цей закон можна сформуліроватьтак: заперечення запереченнядає твердження, або: повторене двічі заперечення дає твердження.
Наприклад: «Якщо невірно, що Всесвіт не являтся нескінченною, то вонабезкінечне ». У символічній формі закон записується так: ~ ~ A> A, якщоневірно, що не-A, то правда A.
Закони контрапозіціі говорять про зміну позицій висловлювань за допомогоюзаперечення: з умовного висловлювання «якщо є перша, тобто друга»випливає «якщо немає другого, то немає і перший», і навпаки. Символічно:
(A> B)> (~ B> ~ A), якщо справа йде так, що якщо A, то B, то якщо не-B, тоне-A;
(~ B> ~ A)> (A> B), якщо справа йде так, що якщо не-B, то не-A, то якщо A, то
B.
Наприклад: з вислову «Якщо є наслідок, то є і причина» слідвислів «Якщо немає причини, немає і слідства», і з другого висловлюваннявипливає перше.
До законам контрапозіціі зазвичай відносять також закони:
(A> ~ B)> (B> ~ A), якщо справа йде так, що якщо A, то не-B, то якщо B, тоне-A. Наприклад, «Якщо квадрат не є трикутником, то трикутник НЕквадрат »;
(~ A> B)> (~ B> A), якщо вірно, що якщо не-A, то B, то якщо не-B, то A. ДоНаприклад: «Якщо не є очевидним сумнівно, то не єсумнівним очевидно ».
Редукція до абсурду (приведення до безглуздості) - це міркування, що показуєхибність якогось положення шляхом виведення з нього абсурду, тобтологічного протиріччя. Якщо з вислову А виводиться як висловлювання
У, так і його заперечення, то вірним є заперечення А. Наприклад, звисловлювання «Трикутник - це коло» випливає з одного боку те,що трикутник має кути, з іншого, що в нього немає кутів; отже,вірним є не оригінал висловлювання, а його заперечення «Трикутник неє колом ». Закон приведення до абсурду представляється формулою:
(A> B) & (A> ~ B)> ~ A, якщо (якщо А, то В) і (якщо А, то не-В), то не-А.
Приватний закон приведення до абсурду представляється формулою:
(A> ~ A)> ~ A, якщо (якщо А, то не-А). Наприклад, з положення «Будь-яке правиломає виключення », яке саме по собі є правилом, випливаєвислів «Є правила, що не мають виключень»; значить, останнєвислів істинно.
Закон непрямого докази дозволяє зробити висновок про істинність якогосьвисловлювання на підставі того, що заперечення цього висловлювання тягнепротиріччя. Наприклад, «Якщо з того, що 17 не є простим числом,випливає як те, що воно ділиться на число відмінне від самого себе іодиниці, так і те, що воно не ділиться на таке число, то 17 є простечисло. Символічно закон непрямого докази записується так:
(~ A> ~ B) & (~ A> ~ B)> A, якщо (якщо не-А, то В) і (якщо не-А, то не-В), то А.
Законом непрямого докази зазвичай називається і формула:
(~ A> (B & ~ B))> A, якщо (якщо не-А, то В і не-В), то А. Наприклад: «Якщо зтого, що 10 не є простим числом, випливає, що воно ділиться і неділиться на 2, то 10 - парне число ».

12. Закони де Моргана
Закони де Моргана позваляет переходити від тверджень з союзом «і» дотвердженнями з союзом «або», і навпаки:
~ (A & B)> (~ Av ~ B), якщо невірно, що є і перші, і другі, то невірно,що є першою, або невірно, що є другим:
(~ Av ~ B)> ~ (A & B), якщо невірно, що є першим, або невірно, що єдругий, то невірно, що є перше і друге. Використовуючи ці закони, відвисловлення «Невірно, що вивчення логіки і важко, і марно» можнаперейти до вислову «Вивчення логіки не є важким, або ж воно немарно ». Об'єднання цих двох законів дає закон (? - Еквівалентність,
«Якщо і тільки якщо»):
~ (A & B)? (~ Av ~ B).
Словами звичайного мови цей закон можна виразити так: заперечення кон'юнкціїеквівалентне диз'юнкції заперечень.
Ще один закон де Моргана стверджує, що заперечення диз'юнкції еквівалентнекон'юнкції заперечень:
~ (A v B)? (~ A & ~ B),невірно, що є першою або є друге, якщо і тільки якщо невірно, щоє першим, і невірно, що є другим. Наприклад: «Невірно, що ученьзнає арифметику або знає геометрію, тоді і тільки тоді, коли він незнає ні арифметики, ні геометрії ».
На основі законів де Моргана зв'язку «і» можна визначити, використовуючизаперечення, через «або», і навпаки:
- «А і В» означає «невірно, що не-А або не-В»,
- «А або В» означає «невірно, що не-А і не-В».
Наприклад: «Йде дощ і йде сніг» означає «Невірно, що немає дощу абонемає снігу »;« Сьогодніхолодно або вогко »означає« Невірно, що сьогодні не холодно і не вогко ».

13. Закони транзитивності, асоціативності і комутативність.
Закон транзитивності в звичайній мові можна передати так: коли вірно, щоякщо перший, то другий, і якщо друге, то третє, то вірно також, що якщоперші, то треті. Наприклад: «Якщо справа йде так, що з розвиткоммедіцини з'являється більше можливостей захистити людину від хвороб і ззбільшенням цих можливостей зростає середня тривалість життялюдини ». Інакше кажучи, якщо умовою істинності перших єістинність другого і умовою істинності другий - істинність третього, тоістинність останнього є також умова істинності перших. Символічноцей закон представляється формулою:
((A> B) & (B> C))> (A> C), якщо (якщо А, то В) і (якщо В, то С), то (якщо А, то
С).
Законами асоціативності називаються логічні закони, що дозволяють по -різному групувати висловлювання, соедіняемве за допомогою «і», «або» та ін
Операції складання і умноженгія чисел в математиці асоціативних:
(a + b) + c = a + (b + c),
(a x b) x c = a x (b x c).
Асоціативністю володіють також логічне додавання (диз'юнкція) ілогічне множення (кон'юнкція). Символічно відповідні законипредставляються так: можна опускати дужки.
(A v B) v C? A v (B v C),
(A & B) & C? A & (B & C).
У силу законів асоціативності у формулах, що представляють кон'юнкцію більшеніж двохвисловлювань або їх диз'юнкцію.
Законами комутативність називають логіческаіе закони, які дозволяють змінюватимісцями висловлювання, пов'язані «і», «або», «якщо і тільки якщо» та ін Цізакони аналогічні алгебраїчним законам комутативність для множення,складання та інші, за якими результат множення не залежить від порядкумножників, складання - від порядку доданків і т.д.
Символічно закони комутативність для кон'юнкції і диз'юнкціїзаписуються так:
(A & B)? (B & A), Aі В тоді і тільки тоді, коли В і А;
(A v B)? (B v A), А або В, якщо і тільки якщо В або А.

14. Категоричні висловлювання: структура та види
Категоричне висловлювання (категоричне судження) - це висловлювання, вякій стверджується або заперечується наявність якоїсь ознаки у всіх абодеяких предметів розглянутого класу. Наприклад, у висловленні «Всединозаври вимерли »всім динозаврам приписується ознака« бути вимерлими ».
Існує два варіанти таких висловлювань: позитивну і негативний.
Їх структура:
«S є Р» і «S не є Р», де буква S представляє ім'я того предмета, проякий йде мова у висловленні, а буква Р - ім'я ознаки, яка властива абоне властиво цього предмету.
Предмет, про який йдеться у категоричній висловленні, називаєтьсясуб'єктом, а його ознака - предикатом. Суб'єкт і предикат іменуютьсятермінами категоричного висловлювання і з'єднуються між собою зв'язкою
«Є» чи «не є» і т. п. Наприклад, у висловленні «Сонце є зірка»термінами є «Сонце» і «зірка» (перший з них - суб'єктвисловлювання, другий - його предикат), а слово «є» - зв'язка.
Прості висловлювання типу «S є (не є) Р» називаються атрибутивними: уних здійснюється атрибуція (приписування) якогось властивості предмету.
Атрибутивним висловлювань протистоять висловлювання про відносини, вяких встановлюються відносини між двома або більшою кількістю предметів:
«Три менше п'яти», «Київ більше Одеси» і т. п.
У категоричних висловлюваннях стверджується або заперечується належністьякихось ознак розглянутих предметів і вказується, чи йде мовапро всі ці предмети або ж про деякі з них. Можливі, таким чином,чотири види категоричних висловлювань.
Всі S є Р - общеутвердітельное висловлювання,
Деякі S є Р - частноутвердітельное висловлювання,
Всі S не є Р - общеотріцательное висловлювання,
Деякі S не є Р - частноотріцательное висловлювання.

15. Відносини між категоричними висловлюваннями: «логічний квадрат»
Деякі відносини між чотирма видами категоричних висловлюваньграфічно представляються так званим логічним квадратом.
Позначимо оборот «Все ... є ... »буквою a, оборот« Деякі ... є ... »буквою i, оборот «Все ... не є ... »буквою е і оборот« Деякі ... НЕє ... »буквою о. (Кожне з цих виразів є логічноюпостійною.)
SaP - «Всі S є Р» - «Всі рідини пружні»,
SiP - «Деякі S є Р» - «Деякі тварини говорять»,
SeP - «Всі S не є Р» - «Всі дельфіни не є риби»,
SoP - «Деякі S не є Р» - «Деякі метали не є рідини».

SaP противні SeP

SiP противні SoP

Суперечать висловлювання (SaP і SoP; SeP і SiP) не можуть бутиодночасно істинними і помилковими, якщо одне з них істинно, то іншепомилково. Якщо вислів «Деякі ведмеді - не бурі» істинно, товислів «Все ведмеді - бурі» неправдою.
Противні висловлювання (SaP і SeP), на відміну від суперечать, можуть бутиразом помилковими, але не можуть бути разом істинними. Оскільки висловлювання
«У всіх людей є голови» істинно, то вислів «Ні в однієї людининемає голови »неправдою.
Подпротівние висловлювання (SiP і SoP) не можуть бути одночасно хибними,але можуть бути одночасно істинними. Так, якщо вислів «Деяківівці - хижаки »неправдиво, і вислів" (Щонайменше) деякі вівці неє хижаками »неправдиве. Висловлювання ж «Деякі спортсмени --футболісти »і« Деякі спортсмени не футболісти »обидва правдиві.
У відношенні підпорядкування перебувають попарно висловлювання SaP і SiP, SeP і SoP.
З підкоряється висловлювання логічно випливає підлегле: з SaP випливає
SiP і з SeP випливає SoP. Це означає, що з істинності що підкоряєтьсявисловлювання логічно випливає істинність підпорядкованого, і з хибностіпідлеглого слід хибність підкоряються. Приміром, з вислову «Всекити є ссавцями »слід вислів« Деякі китиссавці ».

16. Звернення і перетворення категоричних висловлювань
Зверненням називається перетворення висловлювання, в результаті якогосуб'єкт вихідного висловлювання стає предикатом результуючого, апредикат вихідного - суб'єктом результуючого.
Перетворенням називається перетворення судження в судження, протилежнепо якості з предикатом, що суперечить предикату вихідного судження.
Наприклад:

Тільки люди вірять в кінець світу
Немає людини, який не вірить в гармонію світу
_______________________________________________________________< br>Ніхто з неверящіх в гармонію світу не віритьв кінець світу

Звернення: Усі, хто вірять в кінець світу, є людьми
Перетворення: Всі люди вірять в гармонію світу.
Протиставлення предиката: Усі, хто вірять в кінець світу, вірять вгармонію світу.

17. Категоричний силогізм: фігури і модуси
Категоричний силогізм - це дедуктивний умовивід, в якому з двохкатегоричнихвисловлювань виводиться нове категоричне висловлювання.
Терміни силогізму не повинні бути порожніми або негативними. Прикладсилогізму:
Всі рідини пружні.
Вода - рідина.
____________________________< br>Вода пружна.

У кожному силогізм має бути три терміни: менший, більший і середній.
Менший терміном називається суб'єкт висновку ( «вода») - S. Великимтерміном іменується предикат висновку ( «пружна») - P. Термін,присутній у посилках, але відсутній у висновку, називаєтьсясереднім ( «рідина») - M. Здійснення, в яку входить більший термін,називаються?? ается більшою. Здійснення з меншим терміном називається меншою. Великапосилка записується перше, менша - другу. Логічна форманаведеного силогізму така:
Всі М є Р.
Всі S є М.
____________________< br>Всі S є Р.

Залежно від розташування середнього терміна в посилках (є вінсуб'єктом або предикатом в прийнятніший чи меншій посилках) розрізняються чотирифігури силогізму. Схематично фігури зображаються так:

1-а фігура 2-а фігура

3-тя фігура 4-та фігура

За схемою перші фігури побудований силогізм:

Всі рідини пружні.
Вода - рідина.
____________________________< br>Вода пружна.

-----------------------

S, P

P

S

S

P

P

S

S

P