План:
I. Введення
II. Апорії Зенона
- Ахіллес і черепаха
  - Дихотомія
  - Стадія
 III. Парадокс брехуна
 IV.Парадокс Рассела
 I. Введення.
Парадокс - це два протилежних, несумісних твердження, для кожного з яких є що здаються переконливими аргументи. Найбільш різка форма парадоксу - антиномія, міркування, що доводить еквівалентність двох тверджень, одна з яких є запереченням іншого.
Особливою популярністю користуються парадокси в самих строгих і точних науках - математиці і логіці. І це не випадково.
Логіка - абстрактна наука. У ній немає експериментів, немає навіть фактів у звичайному сенсі цього слова. Будуючи свої системи, логіка виходить в кінцевому рахунку з аналізу реального мислення. Але результати цього аналізу носять синтетичний характер. Вони не є констатація будь-яких окремих процесів або подій, які повинна була б пояснити теорія. Такий аналіз не можна, очевидно, назвати спостереженням: спостерігається завжди конкретне явище.
Конструюючи нову теорію, вчений зазвичай відправляється від фактів, від того, що можна спостерігати в досвіді. Як би не була вільна його творча фантазія, вона повинна рахуватися з однією неодмінною обставиною: теорія має сенс тільки в тому випадку, коли вона узгоджується з відносяться до неї фактами. Теорія, що розходяться з фактами і спостереженнями, є надуманою і цінності не має.
Але якщо в логіці немає експериментів, немає фактів і немає самого спостереження, то чим стримується логічна фантазія? Які якщо не факти, то чинники беруться до уваги при створенні нових логічних теорій?
Розбіжність логічної теорії з практикою дійсного мислення нерідко виявляється у формі більш-менш гострого логічного парадокса, а іноді навіть у формі логічної антиномії, що говорить про внутрішню суперечливість теорії. Цим як раз пояснюється те значення, яке надається парадоксів в логіці, і то велика увага, якою вони в ній користуються.
Один з перших і, можливо, кращих парадоксів був записаний Евбулідом, грецьким поетом і філософом, що жили на Криті в VI столітті до н. Е.. У цьому парадоксі Критянин Епіменід стверджує, що всі крітяни - брехуни. Якщо він говорить правду, то він бреше. Якщо він бреше, то він каже правду. Так хто ж Епіменід - брехун чи ні?
Інший грецький філософ Зенон Елейський склав серію парадоксів про нескінченність - так звані "апорії" Зенона.
Те, що сказав Платон, це неправда.
Сократ
Сократ говорить тільки правду.
Платон
II. Апорії Зенона.
Великий внесок у розвиток теорії простору і часу, у дослідження проблем руху внесли Елейська школа (мешканці міста Елея в південній Італії). Філософія еліатів спиралася на висунуту Парменід (вчителем Зенона) ідею про неможливість небуття. Будь-яка думка, стверджував Парменід, завжди є думка про існуючий. Тому неіснуючого немає. Немає і руху, так як світовий простір заповнено всі цілком, а значить, світ єдиний, у ньому немає частин. Усяке безліч є обман почуттів. З цього випливає висновок про неможливість виникнення, знищення. За Парменід ніщо не виникає і не знищується. Цей філософ був першим, хто почав доводити висунуті мислителями положення
Елейська школа доводили свої припущення запереченням твердження, зворотного припущенням. Зенон пішов далі свого вчителя, що дало підставу Арістотелем бачити в Зенона родоначальника "діалектики" - цим терміном тоді називалося мистецтво досягати істини в суперечці шляхом з'ясування протиріч у судженні супротивника і шляхом знищення цих суперечностей.
Ахіллес і черепаха. Почнемо розгляд зеноновських утруднень з апорії про рух "Ахіллес і черепаха". Ахілл - герой і, як би ми зараз сказали, видатний спортсмен. Черепаха, як відомо, одне з самих повільних тварин. Тим не менше, Зенон стверджував, що Ахілл програє черепасі змагання з бігу. Приймемо наступні умови. Нехай Ахілла відокремлює від фінішу відстань 1, а черепаху -?. Рухатися Ахіллес і черепаха починають одночасно. Нехай для визначеності Ахілл біжить в 2 рази швидше черепахи (тобто дуже повільно йде). Тоді, пробігши відстань?, Ахілл виявить, що черепаха встигла за той же час подолати відрізок? і як і раніше знаходиться попереду героя. Далі картина повторюється: пробігши четверту частину шляху, Ахілл побачить черепаху на одній восьмій частині шляху попереду себе і т. д. Отже, кожного разу, коли Ахілл долає відділяє його від черепахи відстань, остання встигає поповзти від нього і як і раніше залишається попереду. Таким чином, Ахілл ніколи не дожене черепаху. Почавши рух, Ахілл ніколи не зможе його завершити.
Знаючі математичний аналіз зазвичай вказують, що ряд збігається до 1. Тому, мовляв, Ахілл подолає весь шлях за кінцевий проміжок часу і, безумовно, обжене черепаху. Але ось що пишуть з цього приводу Д. Гільберт і П. Бернайс:
"Зазвичай цей парадокс намагаються обійти міркуванням про те, що сума нескінченного числа цих тимчасових інтервалів все-таки сходиться і, таким чином, дає кінцевий проміжок часу. Проте це міркування абсолютно не зачіпає один істотно парадоксальний момент, а саме парадокс, що полягає в тому, що якась нескінченна послідовність наступних один за одним подій, послідовність, завершаемость якої ми не можемо собі навіть уявити (не тільки фізично, але хоча б в принципі) , насправді все-таки має завершитися ".
Принципова незавершаемость даної послідовності полягає в тому, що в ній відсутня останній елемент. Кожного разу, вказавши черговий член послідовності, ми можемо вказати і наступний за ним. Цікаве зауваження, також вказує на парадоксальність ситуації, зустрічаємо в Г. Вейля:
"Уявімо собі обчислювальну машину, яка виконувала б першу операцію за? Хвилини, друга - за? Хвилини, третій - за? Хвилини і т. д. Така машина могла б до кінця першої хвилини "перерахувати" весь натуральний ряд (написати, наприклад, рахункове число одиниць). Ясно, що робота над конструкцією такої машини приречена на невдачу. Так чому ж тіло, що вийшло з точки А, досягає кінця відрізка В, "відрахувавши" рахункове безліч точок А1, А2, ..., Аn, ...? "
   Стародавні греки тим більше не могли собі уявити завершену нескінченну сукупність. Тому висновок Зенона про те, що рух через необхідність "перерахувати" нескінченне число точок не може закінчитися, ще тоді справив велике враження. На схожих аргументах грунтується Апорія про неможливість почати рух.
Дихотомія. Міркування дуже просте. Для того, щоб пройти весь шлях, що рухається тіло спочатку має пройти половину шляху, але щоб подолати цю половинку, треба пройти половину половини і т. д. до нескінченності. Іншими словами, при тих же умовах, що і в попередньому випадку, ми будемо мати справу з перевернутим поруч точок: (?) N, ..., (?) 3, (?) 2, (?) 1. Якщо у випадку апорії Ахіллес і черепаха відповідний ряд не мав останньої крапки, то в дихотомії цей ряд не має першої точки. Отже, робить висновок Зенон, рух не може розпочатися. А оскільки рух не тільки не може закінчитися, але й не може початися, руху немає. Існує легенда, про яку згадує А. С. Пушкін у вірші «Рух»:
Руху немає, сказав мудрець брадатий.
Інший змовчав і став перед ним ходити.
Сильніше б він не міг заперечити;
Хвалили все відповідь хитромудрий.
Але, панове, кумедний випадок цей
Інший приклад на пам'ять мені призводить:
Адже кожен день перед нами сонце ходить,
Проте ж прав впертий Галілей.
Дійсно, згідно з легендою, один з філософів так і "заперечив" Зенону. Зенон велів бити його палицями: адже він не збирався заперечувати чуттєве сприйняття руху. Він говорив про його немислимо, про те, що суворе роздуми про рух призводить до нерозв'язних суперечностей. Тому, якщо ми хочемо позбавитися від апорії в надії, що це взагалі можливо (а Зенон якраз вважав, що неможливо), то ми повинні вдаватися до теоретичних аргументів, а не посилатися на чуттєву очевидність. Розглянемо одне цікаве теоретичне заперечення, яке було висунуто проти апорії Ахіллес і черепаха.
"Уявімо собі, що по дорозі в одному напрямку рухаються бистроногій Ахілл і дві черепахи, з яких Черепаха-1 трохи ближче до Ахілла, ніж Черепаха-2. Щоб показати, що Ахілл не зможе перегнати Черепаху-1, розмірковуємо наступним чином. За той час, як Ахілл пробіжить розділяє їх спочатку відстань, Черепаха-1 встигне поповзти трохи вперед, поки Ахілл буде пробігати цей новий відрізок, вона знову ж таки просунеться далі, і таке становище буде нескінченно повторюватися. Ахілл буде все ближче і ближче наближатися до черепахи-1, але ніколи не зможе її перегнати. Такий висновок, звичайно ж, суперечить нашим досвідом, але логічного протиріччя у нас поки немає.
Нехай, проте, Ахілл почне наздоганяти більш далеку Черепаху-2, не звертаючи ніякої уваги на ближню. Той же спосіб міркування дозволяє затверджувати, що Ахілл зуміє впритул наблизитися до черепахи-2, але це означає, що він пережене Черепаху-1. Тепер ми приходимо вже до логічного протиріччя ".
Тут важко щось заперечити, якщо залишатися в полоні образних уявлень. Необхідно виявити формальну суть справи, що дозволить перевести дискусію в русло строгих міркувань. Першу апорії можна звести до наступних трьох тверджень:
1. Який би не був відрізок [A B], що рухається від А до В тіло повинно побувати у всіх точках відрізка [A B].
2. Будь-який відрізок [A B] можна представити у вигляді нескінченної послідовності відбувають за довжиною відрізків [A a1] [a1 a2] [a2 a3] ... [an an 1].
3. Оскільки нескінченна послідовність АI (1? I
Проілюструвати отриманий висновок можна по-різному. Найбільш відома ілюстрація - "найшвидше ніколи не зможе наздогнати саме повільне" - була розглянута вище. Але можна запропонувати більш радикальну картину, в які обливали потім Ахілл (що вийшов з пункту А) безуспішно намагається наздогнати черепаху, спокійно гріються на Сонце (в пункті В) і навіть не думаючу тікати. Суть апорії від цього не змінюється. Ілюстрацією тоді стане куди більш гостре висловлювання - "найшвидше ніколи не зможе наздогнати нерухоме". Якщо перша ілюстрація парадоксальна, то другий - тим більше.
При цьому ніде не стверджується, що убуваючі послідовності відрізків ai для [A B] і ai 'для [A' B '] повинні бути однакові. Навпаки, якщо відрізки [A B] і [A 'B'] нерівні по довжині між собою, їх розбиття на нескінченні послідовності відбувають відрізків виявляться різними. У наведеному міркуванні Ахілла відокремлює від черепах 1 і 2 різні відстані. Тому ми маємо два різних відрізку [A B1] і [A B] з загальною початковою точкою А. Нерівні відрізки [A B1] і [A B] породжують різні нескінченні послідовності точок, і неприпустимо використовувати одну з них замість іншої. Тим часом саме ця "незаконна" операція застосовується в аргументах про двох черепахам.
Якщо не змішувати ілюстрації та істота апорії, то можна стверджувати, що апорії Ахілл і Дихотомія симетричні по відношенню один до одного. Справді, Дихотомія також водиться до наступних трьох тверджень:
1. Який би не був відрізок [A B], що рухається від А до В тіло повинно побувати у всіх точках відрізка [A B].
2. Будь-який відрізок [A B] можна представити у вигляді нескінченної послідовності відбувають за довжиною відрізків [bn 1 bn] ... [b3 b2] [b2 b1] ... [b1 B].
3. Оскільки нескінченна послідовність bi не має першої точки, неможливо побувати в кожній з точок цієї послідовності.
Таким чином, Апорія Ахілл грунтується на тезі про неможливість завершити рух через необхідність відвідати послідовно кожну з точок нескінченного ряду, впорядкованого за типом? (тобто за типом порядку на натуральних числах), який не має останнього елемента. У свою чергу Дихотомія стверджує неможливість початку руху через наявність нескінченного ряду точок, впорядкованих за типом? * (Так впорядковані цілі від'ємні числа), який не має першого елементу.
Проаналізувавши більш ретельно два наведені апорії, ми виявимо, що обидві вони спираються на припущення про безперервність простору і часу в розумінні їх нескінченної подільності. Таке припущення безперервності відрізняється від сучасного, але мало місце в давнину. Без допущення тези про те, що будь-просторовий або часовий інтервал можна розділити на менші за довжиною інтервали, обидві апорії руйнуються. Зенон чудово це розумів. Тому він наводить аргумент, що виходить з прийняття припущення про дискретності простору і часу, тобто припущення про існування елементарних, далі неподільних, довжин і часів.
Стадій. Отже, припустимо існування неподільних відрізків простору і інтервалів часу. Розглянемо наступну схему, на якій кожна клітина таблиці представляє неподільний блок простору. Є три ряду об'єктів А, В і С, які займають по три блоки простору, причому перший ряд залишається нерухомим, а ряди В і С починають одночасний рух у напрямку, зазначеному стрілками:

A1
A2
A3

В3
В2
В1

?
?

С1
С2
С3
Первинне положення

А1
А2
А3


В3
В2
В1


С1
С2
С3

Кінцеве положення
Ряд С, стверджує Зенон, за неподільним момент часу пройшов одне неподільне місце нерухомого ряду А (місце А1). Проте за той же самий час ряд З пройшов два місця ряду В (блоки В2 і В3). Згідно Зенону, це суперечливо, тому що повинен був зустрітися момент проходження блоку В2, зображений на наступною схемою:






В3
В2
В1



С1
С2
С3
Проміжне положення
Але де в цей проміжне положення знаходився ряд А? Для нього просто не залишається відповідного місця. Залишається або визнати, що руху немає, або погодитися з тим, що низка А ділимо не на три, а на більшу кількість місць. Але в останньому випадку ми знову повертаємося до припущення про нескінченної подільності простору і часу, знову потрапляючи в глухий кут апорії Дихотомія і Ахілл. При будь-якому результаті рух виявляється неможливим.
Основна думка апорії Зенона елейскої полягає в тому, що дискретність, множинність і рух характеризують лише чуттєву картину світу, але вона свідомо недостовірна. Справжня картина світу осягається тільки мисленням і теоретичним дослідженням.
Якщо не вникати в глибину апорії, можна ставитися до них зверхньо і дивуватися, як це Зенон не додумався до очевидних речей. Але про Зенона не перестають сперечатися, а історія науки показує, що якщо про щось довго сперечаються, то це, як правило, не дарма. Поза сумнівом, роздуми над апорії допомогли створити математичний аналіз, відіграли певну роль у фізичній революції ХХ століття і, цілком можливо, що у фізиці XXI століття їх значення буде ще більш істотним.
III. Парадокс брехуна.
Вже майже дві з половиною тисячі років однією з логічних загадок, що мучить людей, що намагаються гармонізувати підстави свого мислення, є «парадокс брехуна». Незважаючи на те, що в даний час відомі десятки семантичних, логічних і математичних парадоксів і апорії, «парадокс брехуна» посідає особливе місце:
- По-перше, він є найбільш доступним з безлічі парадоксів і, в силу цього, найбільш відомим з них.
- По-друге, він первинний по відношенню до багатьох інших парадоксів і, отже, останні непереборні, поки не дозволений «парадокс брехуна».
Найпростішим варіантом парадоксу брехуна є вислів "Я брешу". Якщо вислів неправдиво, і що говорить сказав правду, і виходить, сказане ним не є брехнею. Якщо ж висловлювання не є помилковим, а хто говорить стверджує, що воно помилково, то це його висловлювання неправильно. Виявляється, таким чином, що, якщо мовець бреше, він говорить правду, і навпаки.
«Парадокс брехуна» має й ряд інших схожих один на одного формулювань. Нижче наведені лише деякі з них:
- «Всі крітяни - брехуни» (тезу, висловлену Критянин Епіменід);
- «Я висловлюю зараз помилкове пропозиція»;
- «Все, що X стверджує в проміжок часу Р - брехня»;
- «Це твердження хибно»;
- «Це твердження не належить до класу істинних висловлювань".
Хоча наведений список далеко не повний, він дає деяке уявлення про суть проблеми. Логічна проблема полягає в тому, що припущення про хибність принаведені висловлювань веде до їх істинності і навпаки.
Стародавніх греків дуже цікавило, яким чином, здавалося б, цілком осмислене твердження не може бути ні істинним, ні хибним без того, щоб при цьому не виникло протиріччя. Філософ Хрізіпп написав шість трактатів про парадокс брехуна, жоден з яких не зберігся до нашого часу. Ходить легенда, що якийсь Філіт Косскій, втративши надію вирішити цей парадокс, наклав на себе руки. Кажуть також, що одна з відомих давньогрецьких логіків, Діодор Кронос, уже на схилі років дав обітницю не приймати їжу до тих пір, поки не знайде рішення «брехуна», і незабаром помер, так нічого і не добившись.
У середні століття цей парадокс було віднесено до так званих нерозв'язним пропозицій і зробився об'єктом систематичного аналізу. Тепер «Брехун» - цей типовий колишній софізм - нерідко іменується королем логічних парадоксів. Йому присвячена велика наукова література. І тим не менше, як і у випадку багатьох інших парадоксів, залишається не зовсім ясним, які саме проблеми ховаються за ним і як слід позбавлятися від нього.
Розглянемо перше формулювання: приписуване Епіменід твердження логічно суперечливо, якщо припустити, що брехуни завжди брешуть, а нелжеци завжди говорять правду. При такому припущенні затвердження "Все крітяни брехуни" не може бути правдивим, бо тоді Епіменід був би брехуном і, отже, те, що він стверджує, було б неправдою. Але це твердження не може бути й помилковим, бо це означало б, що крітяни говорять тільки правду і, отже, те, що сказав Епіменід, також істинно.
Історія логіки знає безліч спроб і підходів до вирішення даного парадоксу. Одна з перших - спроба вистави "парадоксу брехуна" як софізму. Суть такого подання в тому, що в реальному житті жоден автор не говорить тільки брехня. Отже, парадокс - софізм, заснований на помилковою посилці.
Але таке пояснення прийнятно лише для першого (ранньої) формулювання парадокса, але не "знімає" парадокс у його більш точних сучасних формулюваннях. Існує декілька рішень парадоксу брехуна в його сучасною формулюванні. Яке з рішень правильне? Всі правильні. Як таке може бути? Тому, що парадокс - це міркування, що веде до протиріччя. Позбутися суперечності можна різними способами. Всі вони зводяться до заміни деякого сумнівного шматочка міркувань на більш правильний. У результаті виходить міркування, аналогічне, як і раніше, але без видимих протиріч. Крім того, різні рішення наводяться через різні види логік.
Замінювати можна різні шматочки. У кожному випадку вийдуть різні рішення, а яке з них віддати перевагу - справа смаку. Одному самим сумнівним здається один шматочок, іншому - інший. Іноді самий перший сумнівний шматочок помітний і очевидний.
Мабуть, найбільш поширеним варіантом вирішення парадоксу брехуна є поділ мови і метамови:
Зараз «Брехун» звичайно вважається характерним прикладом тих труднощів, до яких веде змішання двох мов: мови, на якому говориться про що лежить поза його дійсності, і мови, якою говорять про найперший мовою.
У повсякденній мові нема різниці між цими рівнями: і про дійсність, і про мову ми говоримо однією і тією ж мовою. Наприклад, людина, рідною мовою якого є російська мова, не бачить ніякої особливої різниці між твердженнями: «Скло прозоро» і «Мабуть, що скло прозоро», хоча один з них говорить про скло, а інше - про висловлювання щодо скла.
Якби у когось виникла думка про необхідність говорити про мир на одній мові, а про властивості цієї мови - на іншому, він міг би скористатися двома різними існуючими мовами, допустимо російською та англійською. Замість того, щоб просто сказати: «Корова - це іменник», сказав би «Корова is a noun», а замість: «Утвердження« Скло не прозоро »- хибно» сказав би «The assertion« Скло не прозоро »is false». При такому використанні двох різних мов сказане про світ ясно відрізнялося б від сказаного про мову, за допомогою якого говорять про мир. Справді, перше висловлювання ставилися б до російської мови, в той час як другий - до англійської.
Якби ще нашому знавця мов захотілося висловитися з приводу якихось обставин, що стосуються вже англійської мови, він міг би скористатися ще однією мовою. Припустимо німецьким. Для розмови про це останньому можна було б вдатися, скажімо, до іспанської мови і т.д.
Виходить, таким чином, своєрідна драбинка, або ієрархія, мов, кожен з яких використовується для цілком певної мети: на першому говорять про предметному світі, на другому - про це перший мовою, на третьому - про другу мову і т.д. Таке розмежування мов по області їх застосування - рідкісне явище у звичайному житті. Але в науках, що спеціально займаються, подібно логікою, мовами, воно іноді виявляється досить корисним. Мова, якою розмірковують про світі, звичайно називають предметним мовою. Мова, яка використовується для опису предметного мови, іменують метамовою.
Ясно, що, якщо мова та метамова розмежовуються зазначеним чином, твердження «Я брешу» вже не може бути сформульовано. Воно говорить про хибність того, що говорив російською мовою, і, отже, відноситься до метамови і має бути висловлено на англійській мові. Конкретно воно повинно звучати так: «Everything I speak in Russian is false» ( «Все сказане мною російською хибно»); в цьому англійською затвердження нічого не говориться про нього самого, і ніякого парадоксу не виникає.
Розрізнення мови і метамови дозволяє усунути парадокс «брехуна». Тим самим з'являється можливість коректно, без протиріччя визначити класичне поняття істини: істинним є висловлювання, відповідне описуваної їм дійсності.
Поняття істини, як і всі інші семантичні поняття, має відносний характер: воно завжди може бути віднесено до певної мови.
Як показав польський логік АТарскій, класичне визначення істини має формулюватися в мові більш широкому, ніж ту мову, для якого воно призначене. Іншими словами, якщо ми хочемо зазначити, що означає зворот «висловлювання, істинне в даному мовою», потрібно, крім виразів цієї мови, користуватися також висловами, яких у ньому немає.
Тарський ввів поняття семантично замкнутого мови. Такий мова включає, крім своїх виразів, їх імена, а також, що важливо підкреслити, висловлювання про істинність формулируемого в ньому пропозицій. Межі між мовою і метамовою в семантично замкнутому мовою не існує. Засоби його настільки багаті, що дозволяють не тільки щось стверджувати про позамовні реальності, але й оцінювати істинність таких тверджень. Цих коштів достатньо, зокрема, для того, щоб відтворити в мові антиномію «Брехун». Семантично замкнутий мова виявляється, таким чином, внутрішньо суперечливим. Кожен природний мова є, очевидно, семантично замкнутим.
Єдино прийнятний шлях для усунення антиномії, а отже, і внутрішньої суперечливості, згідно Тарського, - відмова від вживання семантично замкнутого мови. Цей шлях прийнятний, звичайно, тільки у випадку штучних, формалізованих мов, що допускають ясне підрозділ на мова та метамова. У природних ж мовами з їх неясною структурою і можливістю говорити про все на одному і тому ж мовою такий підхід не дуже реальний. Ставити питання про внутрішню несуперечності цих мов не має сенсу. Їх багаті виражальні можливості мають і свою зворотну сторону - парадокси.
Існують і інші рішення парадоксу брехуна, наприклад, рішення Оккама і рішення Буридан:
Отже, є висловлювання, які говорять про свою власну істинності чи хибності. Ідея, що такого роду висловлювання не є осмисленими, дуже стара. Її відстоював ще давньогрецький логік Хрісіпп. У середні століття англійський філософ і логік У. Оккам заявляв, що твердження «Будь-яке висловлювання хибно» безглуздо, оскільки воно говорить серед іншого і про свою власну хибність. З цього твердження прямо випливає протиріччя. Якщо будь-яке висловлювання неправдиво, і це відноситься і до самого цим твердженням, але те, що воно помилково, означає, що не всяке висловлювання є хибним. Аналогічно іде справа й з твердженням "Усяке висловлення істинно». Воно також має бути віднесено до безглуздим і також веде до протиріччя: якщо кожне висловлення правдиве, то правдивим є і заперечення самого цього висловлення, тобто висловлювання, що не всяке висловлювання істинне.
Чому, однак, висловлення не може осмислено говорити про свою власну істинність або хибність? Уже сучасник Оккама, французький філософ XIV ст. Ж. Буридан, не був згоден з його рішенням. З точки зору звичайних уявлень про безглуздість, вирази типу «Я брешу», «Будь-яке висловлювання істинно (помилково)» і т.п. цілком осмислені. Про що можна подумати, про те можна висловитися, - такий загальний принцип Буридан. Людина може думати про істинність твердження, що він вимовляє, значить, він може і висловитися про це. Не всі твердження, що говорять про самих себе, відносяться до безглуздим. Наприклад, твердження «Ця пропозиція написано по-російськи» є щирим, а твердження «У цій пропозиції десять слів» неправдою. І обидва вони зовсім осмислені. Якщо припускається, що твердження може говорити і про самого себе, то чому воно не здатне зі змістом говорити і про таке своє властивості, як істинність?
Сам Буридан вважав вислів «Я брешу» не безглуздим, а помилковим. Він обгрунтовував це так. Коли людина стверджує якусь пропозицію, він стверджує тим самим, що воно правдиве. Якщо ж пропозиція говорить про себе, що воно саме є хибним, то воно являє собою тільки скорочену формулювання більш складного виразу, який стверджує одночасно і свою істинність, і свою хибність. Це вираз суперечливо і, отже, помилково. Але воно ніяк не безглуздо.
Аргументація Буридан і зараз іноді вважається переконливою.
Є й інші напрямки критики того рішення парадоксу «Брехун», яке було в деталях розвинене Тарський. Чи справді в семантично замкнутих мовами - а такі адже всі природні мови - немає ніякого протиотруту проти парадоксів цього типу?
Якби це було так, то поняття істини можна було б визначити строгим чином тільки в формалізованих мовах. Тільки в них вдається розмежувати предметний мова, якою міркують про навколишній світ, і метамова, на якому говорять про цю мову. Ця ієрархія мов будується за зразком засвоєння іноземної мови за допомогою рідного. Вивчення такої ієрархії призвело до багатьох цікавих висновків, і в певних випадках вона істотна. Але її немає в природній мові. Дискредитує чи це його? І якщо так, то в якій саме мірі? Адже в ньому поняття істини все-таки вживається, і звичайно без всяких ускладнень. Чи є введення ієрархії єдиним способом виключення парадоксів, подібних до «брехуна?»
У 30-і роки відповіді на ці питання представлялися безсумнівно ствердною. Однак зараз колишньої одностайності вже немає, хоча традиція усувати парадокси даного типу шляхом «розшаровування» мови залишається панівною.
Останнім часом все більше уваги привертають егоцентричні вирази. У них зустрічаються слова, подібні «я», «це», «тут», «тепер», і їх істинність залежить від того, коли, ким, де вони вживаються. У затвердження «Це висловлювання є хибним» зустрічається слово «це». До якого саме об'єкта він належить? «Брехун» може говорити про те, що слово «це» не відноситься до сенсу цього твердження. Але тоді до чого воно відноситься, що означає? І чому цей сенс не може бути все-таки позначений словом «це»?
Не вдаючись в деталі, варто відзначити тільки, що в контексті аналізу егоцентричних виразів «Брехун» наповнюється зовсім іншим змістом, ніж раніше. Виявляється, він вже не застерігає від змішування мови і метамови, а вказує на небезпеки, пов'язані з неправильним вживанням слова «це» і подібних до нього егоцентричних слів.
Проблеми, що пов'язували протягом століть з «брехуном», радикально змінювалися в залежності від того, чи розглядалося він як приклад двозначності, або ж як вираз, схожий на як зразок змішування мови і метамови, або ж, нарешті, як типовий приклад невірного вживання егоцентричних виразів. І немає впевненості в тому, що з цим парадоксом не опиняться зв'язаними в майбутньому й інші проблеми.
Відомий сучасний фінський логік і філософ Г. фон Врігт писав у своїй роботі, присвяченій «Брехун», що цей парадокс ні в якому разі не повинен розумітися як локальне, ізольоване перешкоду, устранімим одним винахідливим рухом думки. «Брехун» торкається багатьох найбільш важливі теми логіки і семантики. Це і визначення істини, і тлумачення суперечності і докази, і ціла серія важливих відмінностей: між пропозицією і виражається їм думкою, між вживанням вираження і це нагадував, між змістом імені та позначається їм об'єктом.
"Парадокс брехуна" (як це не дивно), дуже близький за своєю логічною формою і характером логічної помилки багатьом іншим "парадоксів", які прийнято вважати цілком самостійними. До них належить і знаменитий "парадокс Рассела".
III. Парадокс Рассела
Самим знаменитим з відкритих вже в минулому столітті парадоксів є антиномія, виявлена Б. Расселом і повідомлена їм у листі до Г. Фергі. Рассел відкрив свій парадокс, що відноситься до галузі логіки та математики, в 1902р. Цю ж антиномію обговорювали одночасно в Геттінгені німецькі математики 3. Цермело (1871 - 1953) і Д. Гільберт. Ідея носилася в повітрі, і її опублікування справило враження бомби, що розірвалася. Цей парадокс викликав в математиці, на думку Гільберта, ефект повної катастрофи. Нависла загроза над найпростішими і важливими логічними методами, самими звичайними і корисними поняттями. Виявилося, що в теорії множин Кантора, яка із захопленням була прийнята більшістю математиків, є дивні суперечності, від яких неможливо, або, принаймні, дуже важко, позбутися. Парадокс Рассела (точніше, Рассела - Цермело) особливо яскраво виявив ці протиріччя. Над його дозволом, так само, як і над вирішенням інших знайдених парадоксів канторовской теорії множин, працювали найвидатніші математики тих років.
Відразу ж стало очевидним, що ні в логіці, ні в математиці за всю довгу історію їхнього існування не було вироблено рішуче нічого, що могло б послужити основою для усунення антиномії. Явно опинився за необхідне відхід від звичних способів мислення. Але з якого місця і в якому напрямку? Наскільки радикальним повинен був стати відмова від усталених способів теоретизування? З подальшим дослідженням антиномії переконання в необхідності принципово нового підходу неухильно зростала. Через півстоліття після її відкриття фахівці з підстав логіки і математики Л. Френкель і І.Бар-Хілел вже без будь-яких застережень стверджували: «Ми вважаємо, що будь-які спроби вийти з положення за допомогою традиційних (тобто мали ходіння до XX століття) способів мислення , до цих пір незмінно провалюються, явно недостатні для цієї мети ». Сучасний американський логік X. Каррі писав трохи пізніше про це парадокс: «У термінах логіки, відомої в XIX ст., Положення просто не піддавалося поясненню, хоча, звичайно, у наш освічений вік можуть знайтися люди, які побачать (або подумають, що побачать), в чому ж складається помилка ».
Парадокс Рассела в первісній його формі пов'язане з поняттям множини, або класу. Можна говорити про множинах різних об'єктів, наприклад, про безліч всіх людей або про безліч натуральних чисел. Елементом перший безлічі буде всякий окрема людина, елементом другого - кожне натуральне число. Можливе також самі безлічі розглядати як деякі об'єкти і говорити про множини множин. Можна ввести навіть такі поняття, як множина всіх множин або безліч всіх понять. Щодо будь-якого довільно взятого безлічі видається осмисленим запитати, чи є воно своїм власним елементом чи ні. Безліч, що не містять себе в якості елемента, назвемо звичайними. Наприклад, безліч всіх людей не є людиною, так само як безліч атомів - це не атом. Незвичними будуть множини, які є власними елементами. Наприклад,безліч, що об'єднує всі множини, є безліч і, отже, містить само себе в якості елемента.
Розглянемо тепер безліч всіх звичайних множин. Оскільки воно безліч, про нього теж можна питати, звичайне воно чи незвичайне. Відповідь, однак, виявляється бентежить. Якщо воно звичайне, то, згідно зі своїм визначенням, має містити само себе в якості елемента, оскільки містить всі звичайні множини. Але це означає, що воно є незвичайним безліччю. Допущення, що наше безліч являє собою звичайне безліч, приводить, таким чином, до протиріччя. Значить, воно не може бути звичайним. З іншого боку, воно не може бути також незвичайним: незвичайне безліч містить само себе в якості елемента, а елементами нашого безлічі є тільки звичайні множини. У підсумку приходимо до висновку, що безліч всіх звичайних множин не може бути ні звичайним, ні незвичайним безліччю.
Отже, множина всіх множин, які не є власними елементами, є свій елемент в тому і тільки тому випадку, коли воно не є таким елементом. Це явне протиріччя. І отримано воно на основі самих правдоподібних припущень і за допомогою безперечних ніби кроків. Суперечність говорить про те, що такого безлічі просто не існує. Але чому воно не може існувати? Адже воно складається з об'єктів, що задовольняють чітко визначеним умові, причому сама умова не здається якимось винятковим або неясним. Якщо настільки просто і ясно заданий безліч не може існувати, то в чому, власне, полягає відмінність між можливими і неможливими множинами? Висновок про не існування розглянутого безлічі звучить несподівано і викликає занепокоєння. Він робить наше загальне поняття безлічі аморфним і хаотичним, і немає гарантії, що воно не здатне породити якісь нові парадокси.
Парадокс Рассела чудовий свою крайню спільністю. Для його побудови не потрібні будь-які складні технічні поняття, як у випадку деяких інших парадоксів, досить понять «багато» і «елемент безлічі». Але ця простота якраз і говорить про його фундаментальності: він зачіпає найглибші підстави наших міркувань про множинах, оскільки говорить не про якихось спеціальних випадках, а про множинах взагалі.
Інші варіанти парадоксу Парадокс Рассела не має специфічно математичного характеру. У ньому використовується поняття множини, але не зачіпаються якісь особливі, пов'язані саме з математикою його властивості.
Це стає очевидним, якщо переформулювати парадокс у чисто логічних термінах. Про кожного властивості можна, ймовірно, питати, застосовні воно до самого себе чи ні. Властивість бути гарячим, наприклад, непріложімо до самого себе, оскільки само не є палким; властивість бути конкретним теж не відноситься до самого себе, бо це абстрактне властивість. Але ось властивість бути абстрактним, будучи абстрактним, застосовні до самого себе. Назвемо ці незастосовні до самих себе властивості непріложімимі. Застосуй