Зміст
Введення
1. Життя і діяльність Лейбніца
2. Вклад Лейбніца у розвиток символічної логіки
Висновок
Список використаної літератури
Введення
Лейбніц не тільки є однією з центральних фігур у розвитку логіки. Його логічне спадщина - вражаючий феномен в історії думки. Мабуть, ніхто після Арістотеля не формулював таких масштабних ідей, найважливіших для розуміння змісту і формального апарату логіки, її ролі в людському знанні. А його орієнтація на математизації, алгебраізацію і аксіоматизації логіки випередила час мінімум на півтора століття.
У творчому доробку Лейбніца логіка займає особливе місце. Щастя і світ залежать від розуму і ясності мислення, - писав він у «Аврору». Тому логічні проблеми для великого філософа - не окремий сюжет, не логіка ради логіки, що представляє приватний інтерес, самодостатня «гра розуму». Навпаки - логіка для нього становить головний нерв інтелектуального пошуку, будучи не тільки формою ( «упаковкою») готового знання, а й головним інструментом розробки проблем теології, природознавства, юриспруденції, пізнання взагалі. Тому логічні ідеї пронизують практично всі інтелектуальне спадщина Лейбніца, так чи інакше, порушуються у всіх його роботах від ранньої дисертації до «Монадологія» і «Нових дослідів про людський розум».
Життя і діяльність Лейбніца
Лейбніц Готфрід Вільгельм (1.7.1646 - 14.11.1716) - німецький математик, фізик і філософ, організатор і перший президент Берлінської АН (1700), чл. Лондонського королівського о-ви (1673), чл. Паризької АН (1700). Нар. в Лейпцигу. У 1661 Лейбніц вступив на юридичний факультет Лейпцігського ун-та. Крім юридичних наук вивчав філософію і математику. В ун-ті ознайомився з роботами Аристотеля і Р. Декарта. Захистив дисертацію на ступінь бакалавра (1663), магістра філософії (1664) і доктора права (1666). Був на юридичній та дипломатичній службі при дворі Майнцський курфюрста. З Майнца він виїжджав з дипломатичною місією в Париж. Творча діяльність Лейбніца розгорнулася саме в цей період в Парижі, де він багато працював і особисто познайомився з багатьма математиками, зокрема з X. Гюйгенсом, під керівництвом якого вивчав роботи Г. Галілея, Р. Декарта, П. Ферма, Б. Паскаля і самого Гюйгенса. У 1673 з Парижа Лейбніц виїжджає до Лондона для демонстрації своєї лічильної машини в королівському о-ві. Там він познайомився з І. Барроу, а також з працями І. Ньютона, "Логаріфмотехнікой" Г. Меркатора. Повернувшись в 1676 в Париж, Лейбніц розробляє важливі питання диференціального обчислення. У тому ж році Лейбніц їде в Ганновер, де працює спочатку бібліотекарем, а потім історіографом двору Ганноверського герцога. Однак діяльність Лейбніц виходила далеко за межі офіційних обов'язків. Він займається і питаннями хімії, геології, конструює вітряної двигун для насосів, викачують воду з шахт. Особливо плідною була наукова діяльність Лейбніца в галузі математікі1.
У 1666г. Лейбніц опублікував свою першу математичну роботу "Роздуми про комбінаторної мистецтві". Сконструйована їм рахункова машина виконувала не тільки додавання і віднімання, як це було у Б. Паскаля, але й множення, ділення, піднесення до степеня і витяг квадратного і кубічного коренів. Понад 40 років Лейбніц присвятив удосконаленню свого твору. Лейбніц заклав також основи символічної логіки. Розроблені ним логіка класів та обчислення висловлювань на алгебраїчної формі лежать в основі сучасної математичної логіки. Досліджував властивості деяких кривих (зокрема, ланцюгової лінії), займався розкладу функцій в ряди, ввів поняття визначника і висунув деякі ідеї, що стосуються теорії визначників; згодом їх розвивав А. Вандермонда, О. Коші, К. Гаус і остаточно розробив К. Якобі . Найважливішою заслугою Лейбніца є те, що він одночасно з І. Ньютоном, але незалежно від нього, завершив створення диференціального і інтегрального числення. Вивчення робіт Б. Паскаля і власні дослідження привели Лейбніца в 1673-1674гг. до ідеї характеристичного трикутника, який тепер використовується при введенні понять похідної та диференціалу в кожному підручнику диференціального обчислення. Лейбніц зробив і подальший крок у створенні нового обчислення - встановив залежність між прямою і зворотною задачах про дотичних. Через рік він прийшов до висновку, що з "зворотного методу дотичних виходить квадратура всіх фігур". У жовтні 1675г. Лейбніц вже користується позначенням Sl для суми нескінченно малих і операцію, протилежну підсумовування, позначає, підписує букву d під змінної (x/d), а потім поруч з нею dx. Знак інтеграла в сучасній формі вперше зустрічається в роботі Лейбніца "Про прихованої геометрії ..." (1686г). Лейбніц вирішив проблему дотичних за допомогою диференціального числення, сформулював правила диференціювання твори, ступеня, неявної функції. Ці результати Лейбніц опублікував тільки в 1684г. у статті "Новий метод максимум і мінімумів", вперше назвавши свій алгоритм диференціальних числення. У 1693г. Лейбніц опублікував перші зразки інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою нескінченних рядів. Лейбніц ввів багато математичних термінів, які тепер міцно увійшли в наукову практику: функція, диференціал, диференціальне числення, диференціальне рівняння, алгоритм, абсциса, ордината, координата, а також знаки диференціала, інтеграла, логічну символіку.
Вклад Лейбніца у розвиток символічної логіки
Більшість логічних творів Лейбніца не друкувалося за його життя. Вони були витягнуті з його колосального рукописного архіву та опубліковані різними видавцями через багато часу після його смерті. У цьому томі містяться лише деякі з них,, як нам видається, найбільш показові для його творчості. При цьому цілісність загального враження створюють роботи досить різного властивості. Одні щодо закінчені, містять розроблені фрагменти логічних систем. Інші обмежуються викладом або обговоренням основ таких систем. Треті не містять будь-яких підсумків, незакінчені, що обриваються на півслові, цікаві як свідчення невпинного биття думки Лейбніца, пошуку їм шляхів і засобів реалізації своїх задумів. Разом з тим, написані в різний час, вони відображають і різні підходи Лейбніца до логіки, до побудови Calculus ratiocinator - обчислення міркувань, над яким він розмірковував все життя, але якого йому так і не вдалося создать2.
В основі логічних досліджень Лейбніца лежала мотивована його раціоналістичними установками програма представлення людського знання у вигляді якогось універсального символічної мови. У рамках такого символізму Лейбніц мислив звести всі людські міркування до формального вирахуванню, що служило б засобом як докази встановлених істин, так і відкриття нових, наскільки це можна зробити виходячи з того, що вже відомо, у випадку ж якщо наявні відомості недостатні, цей метод повинен був наближений Давати відповідь і визначати у відповідності з вихідними даними, що є найбільш вірогідним. У такому універсальному символічному мовою, свого роду загальної алгебри, міркували б за допомогою обчислень, а замість того щоб сперечатися, казали б: «порахуємо».
Створення цього методу, або «універсальної характеристики», як назвав його Лейбніц, передбачало розробки в цілому ряді напрямків. По-перше, треба було вміти розкладати всі складні поняття на прості, що становлять певний «алфавіт людських думок», і на цій основі отримувати точні визначення всіх понять. І кожен, хто знайомиться з працями Лейбніца, не може не звернути увагу на його постійне прагнення аналізувати і визначати всілякі поняття. По-друге,, треба було знайти відповідні символи, або «характери»,, які могли б представляти і заміщати поняття, або терміни, природної мови. По-третє, треба було сформулювати організують принципи цього загального символізму - правила вживання і комбінацій символів. Цей грандіозний метафізичний проект, який Лейбніц неодноразово обговорює у своїх роботах, не був-та й не міг бути - здійснений в тому вигляді, в якому він малювався його уяві. Але він підказав ті шляхи дослідження, які призвели Лейбніца до ряду важливих математичних відкриттів, у тому числі до відкриття почав математичної логіки.
У наш час, коли є розроблена система математичної, чи символічної, логіки, в історікологіческіх дослідженнях стало переважати прагнення відшукувати в логічному спадщині минулого перш за все елементи таких поглядів, які узгоджуються з її поняттями і положеннями. Сучасність відкидає в минуле свою тінь. У давніх стоїків вбачають розвинену систему пропозіціональной логіки, у середньовічних схоластиків - теорію логічного слідування і теорію семантичних парадоксів, не чужа при цьому і реконструкції дійшов до нас історичного матеріалу. Однак власне математична логіка починається з Лейбніца. Його ставлення до логіки принципово інше, ніж навіть його безпосередніх попередників - Т. Гоббса, І. Юнга, А. Гейлінкса. Лейбніц продумано і цілеспрямовано застосовував математичні методи в логіці і ретельно будував конкретні логічні обчислення, і саме ця його робота, а не лише формулювання тих чи інших логічних принципів і прихильність до «лулліеву мистецтву» дає підставу назвати його творцем математичної логіки. Звичайно всі ці дослідження стимулював проект «універсальної характеристики». Але було б помилкою думати, що надія здійснити його надовго пережила Лейбніца.
Ще І. Кант у своїй роботі 1755 «Нове освітлення перших принципів метафізичного пізнання» дотепно зауважив, що бачить у цьому задумі великого філософа лише щось подібне заповітом того батька з байки Езопа, який перед смертю розповів дітям, що нібито закопав у полі скарб , не зазначивши, однак, точного місця, і цим спонукав синів до невпинній перекопування землі, завдяки чому вони, хоча і обмануті у своїх сподіваннях відшукати скарб, розбагатіли, тому що поліпшили родючість грунту.
Цикл логічних робіт Лейбніца відкривається творами, датованими квітнем 1679 Їх п'ять. Всі вони не закінчені. Усі вони присвячені пошуків шляхів реалізації ідеї характеристики ». Ідея полягала в тому, щоб кожному терміну (пропозиції, силогізму) приписувати певне число, дотримуючись умову, щоб терміну, складеному з інших термінів, відповідало число, утворене твором чисел цих термінів. Далі, встановивши загальну властивість таких «характерів» (і використовуючи лише такі числа, які відповідають цій властивості), можна було б встановлювати, коректні чи ті чи інші висновки за формою. У роботах квітня 1679 Лейбніц відчував як «характерів» прості числа. Їх він приписував простим термінів, а твори відповідних простих чисел - складним термінів, складеним з простих. Об'єктом програми «характеристики» були форми арістотелівської логіки, традицію якій він високо шанував і прагнув продовжити.
У «Елементи універсальної характеристики» Лейбніц пропонує наступні правила застосування числових позначень до категоричним пропозицій: для справжнього общеутвердітельного пропозиції необхідно, щоб число суб'єкта точно ділилося на число предиката; для щирого частноутвердітельного пропозиції достатньо, щоб пли число суб'єкта точно ділилося на число предиката, або число предиката - на число суб'єкта; для щирого общеотріцательного пропозиції необхідно, щоб ні число суб'єкта точно не ділилося на число предиката, ні число предиката - на число суб'єкта; для щирого частноотріцательного пропозиції необхідно, щоб число суб'єкта точно не ділилося на число предиката.
Пропозиції записуються у вигляді рівностей і зображуються узагальненими формулами, де символи оptimi мають певні чисельні значення. Але ця числова інтерпретація не є задовільною. Він виправдовує висновки обігу та логічного квадрата »вже на першій фігури силогізму - лише модус Barbara. Пізніше Лейбніц по-іншому сформулює умова істинності общеотріцательного і частноутвердітельного пропозицій: для общеотріцательною - число суб'єкта точно ділиться на число, що позначає заперечення предиката, для частноутвердітельного - точно не ділиться. Каменем спотикання для числовий інтерпретації стала проблема вираження заперечення і негативних термінів. У роботах «Елементи універсального обчислення» та «Дослідження універсального обчислення» Лейбніц розглядає можливості їх характеристичного вираження за допомогою зворотних математичних операцій, але так і не знаходить задовільного решенія3.
У роботі «Елементи обчислення» викладається інтенсіональні трактування відносин між поняттями і відповідно суб'єктно-предикативний структури речень. На відміну від екстенсіонального підходу схоластичної логіки, де поняття розглядалися за обсягом (наприклад, общеутвердітельное пропозицію розумілося як вираження того, що безліч індивідів, що відповідають поняттю суб'єкта, включається як частина в безліч, що охоплені предикатом), Лейбніц видове поняття розглядає як більш змістовне ціле, ніж родове, що включає родове поняття в якості своєї частини. Це цілком відповідало основній установці його «характеристики» представляти всі терміни як складені з простіших термінів і відповідно поняття - як комбінації більш загальних понять, а також його філософського переконання, що загальні поняття не залежать від існування індивідуальних предметів і можуть належати на відміну від них різних можливих світів.
Найбільш цікавим винаходом Лейбніца є модель сіллогістікі, яка грунтується на відповідності між термінами і впорядкованими парами взаємно простих натуральних чисел. Вона викладена ним у праці «Правила, за якими можна за допомогою чисел судити про правильність висновків, про форми і модус категоричних силогізмів». Згідно цієї інтерпретації, суб'єкт пропозиції зображується однією парою взаємно простих чисел (+ я-Ь), предикат - інший (+ с-d). Общеутвердітельное пропозицію істинно тоді і тільки тоді, коли + а ділимо на + с і-b ділимо на-d. В іншому випадку істинно частноотріцательное. Частноутвердітельное пропозицію істинно тоді і тільки тоді, коли - а та-d,-b і + с, є взаємно простими числами. В іншому випадку істинно общеотріцательное. Виявляється, що якщо термінів правильних силогістичних умовиводів так приписати пари взаімнопростих чисел, щоб вони висловлювали істинність посилок, то вони висловлять і істинність висновку. Лейбніц перевірив винайдену ним модель на законах логічного квадрата й звернення. В інших працях він застосував її до декількох модусу силогізму. Можна показати, що цієї інтерпретації задовольняють усі правильні модуси силогізму. Проте в моделі здійсненні і неправильні модуси. Наведемо приклад самого Лейбніца (модус АОО третій фігури): Кожен благочестивий є щасливий + = 10 -3 +5 -1 Деякий благочестивий не є багатий +10 -3 +8-11 Наст. Деякий багатий не є щасливий +8 -11 +5 -1
Тут узяті такі пари чисел, які виражають істинність як посилок, так і ув'язнення. Тим часом цей силогізм неправильний: такий висновок з необхідністю з посилок не слід. Можливо підібрати пари чисел, які покажуть хибність цього висновку: Всякий благочестивий є щасливий +12 -5 +4 -1 Деякий благочестивий не є багатий +12 -5 +8-11 Наст. Деякий багатий не є щасливий +8-11 +4 -1
Ця обставина, звичайно, не спростовує модель Лейбніца. Аналогічна ситуація має місце і при інтерпретації силогізмів на кругових схемах, які, до речі, Лейбніц застосовував задовго до Ейлера. Для правильних силогізмів розташування кіл однозначно визначає висновок, для неправильних - наочно показує можливість суперечать один одному висновків. Подібної наочності немає у разі арифметичної моделі Лейбніца. Справа в тому, що для неправильного силогізму повинна існувати трійка впорядкованих пар взаємно простих чисел, яка, виражаючи істинність його посилок, виявляє хибність ув'язнення. Але цю трійку треба відшукати серед незліченної кількості, що включає й такі трійки, кіт?? рие представляють неправильний силогізм як правильний. У разі формального докази, а саме такий доказ Лейбніц визнає істинно логічним, завдання зводиться до того, щоб знайти такі дві трійки впорядкованих пар взаємно простих чисел, які підтвердили б дві що суперечать один одному ув'язнення. Знайти методом проб. Таким чином, для перевірки силогізмів модель виявилася неефективною. Може бути, тому Лейбніц у подальшому до неї вже не повертався.
Висновок
Лейбніц вказав шлях для перекладу логіки зі словесного царства, повного невизначеностей, в царство математики, де відносини між об'єктами або висловлюваннями визначаються абсолютно точно. Він запропонував використовувати в логіці математичну символіку і вперше висловив думку про можливість застосування в ній двійкової системи числення, яка пізніше знайшла застосування а автоматичних обчислювальних машинах.
У своїх логічних дослідженнях Лейбніц передбачив багато чого з того, що згодом склало фундамент символічної логіки. Можна навіть сказати, що своїми дослідженнями він передбачив саму цю логіку. Він не тільки сформулював ряд її принципів і законів, а й виробив поняття формалізованого логічного мови і, долаючи невдачі і труднощі, врешті-решт дав приклади його побудови. Логіки XVIII століття (X. Вольф, І. Зегнер, Г. Плуке, І. Ламберт, Ф. Кастильон), які виступили з ідеями, аналогічними тим, які розвивав Лейбніц, в принципі не пішли далі того, на чому він зупинився. Лейбніц перший спробував аріфметізіровать логічний висновок, приписати різним логічним об'єктах різні натуральні числа, щоб виявити відповідність законів логіки законами чисел. Йому ж належить і глибока ідея алгебраізаціі логіки, вперше систематично реалізована лише півтора століття по тому і до сих пір є одним з основних джерел нових логічних досліджень. Його роботи близькі сучасній логіці і за стилем мислення, і за прийомами постановки і вирішення завдань.
Список використаної літератури
1. Математика. Хрестоматія з історії, методології, дидактики. М., 2001
2. Панов В. Ф. Математика древня і юна. М., 2004
3. Суботін А.Л. Логічні праці Лейбніца.1984.
4. Філософський століття. Альманах. «Г. В. Лейбніц і Росія ». Матеріали Міжнародної конференції. Санкт-Петербург, 26-27 червня 1996 р./Відп. редактори Т. В. Артемьева, М. І. Микешин. - СПб: СПб НЦ, 1996. - 223 с.
5. Юшкевич А. П. Математика в її історії. М. 1996
1 Юшкевич А. П. Математика в її історії. М. 1996. С.75
2 Суботін А.Л. Логічні праці Лейбніца.1984.С.32
3 Суботін А.Л. Логічні праці Лейбніца.1984.С.37




8