Оператор зрушення

Введення

Тема для написання дипломної роботи була вибрана не випадково. Теорія лінійних операторів - це цікава й важлива область, яка дозволяє не тільки активно застосовувати вже наявні знання з аналізу, але й дізнатися багато нового.

У даній роботі розглядаються лінійні оператори одностороннього і двостороннього зсуву. Вводяться основні поняття: спектр, резольвента, спектральний радіус оператора. Розглядаються завдання, в ході вирішення яких з'ясовуються деякі властивості спектрів операторів зсуву. Визначається клас зважених зрушень, виводиться співвідношення для норми і спектрального радіусу оператора зваженого зсуву.

Відомо, що якщо розглядати поле дійсних чисел за умови, що аксіома Архімеда не виконується, то отримаємо нове, розширене поле, в якому існують нескінченно великі і нескінченно малі елементи. На підставі цього розширення можна побудувати весь математичний аналіз - нестандартний аналіз.

Природно, частина основних понять і властивостей лінійних операторів було б цікаво визначити і довести і в нестандартному аналізі, що й було зроблено в роботі.

Зокрема, був встановлений наступний факт: хоча стандартний оператор зсуву не має власних векторів, але його нестандартне розширення має «майже власні» вектори, тобто вектори, в певному сенсі нескінченно близькі до власних.

Частина 1. Оператор зсуву в гільбертовому просторі

§ 1. Основні поняття й факти теорії лінійних операторів

1. Визначення та приклади лінійних операторів

Хай Е та Е1 - два лінійних нормованих простору над полем комплексних чисел. Лінійним оператором, що діє з Е в Е1 називається відображення ( що задовольняє умові

для всіх.

Сукупність DA всіх тих, для яких відображення А визначено, називається областю визначення оператора А; взагалі кажучи, не передбачається, що DA = E, однак ми завжди будемо вважати, що DA є лінійне різноманіття, тобто, якщо х, у DA, то й за будь-яких.

Визначення 1. Оператор називається неперервним в точці х0 DA, якщо для будь-який околиці V точки у0 = Ах0 існує така околицю U точки х0, що Ах V, як тільки х. Оператор А називається неперервним, якщо він безперервний у кожній точці х DA.

Оскільки Е та Е1 - нормовані простору, то це визначення рівнозначне наступного: оператор А називається безперервним, якщо виконується наступне умова: (.

Приклади лінійних операторів

Нехай А - лінійний оператор, відображає n-мірний простір Rn c базисом е1, ..., ЕN в m-мірне простір Rm з базисом f1, ..., fm. Якщо х - довільний вектор з Rn, то і, в силу лінійності оператора А.

Таким чином, оператор А заданий, якщо відомо, в які елементи він переводить базисні вектори е1, ..., ЕN. Розглянемо розкладання вектора Аеi по базису f1, ..., fm. Маємо. Отже, оператор А визначається матрицею коефіцієнтів аij. Образ простору Rn і Rm являє собою лінійний простір, розмірність якого дорівнює, очевидно, рангу матриці, тобто у усякому разі не перевершує n (властивість рангу матриці). Відзначимо, що в скінчено просторі всякий лінійний оператор автоматично неперервний.

Розглянемо Гільбертів простір Н і в ньому деякий підпростір Н1. Розклавши Н в пряму суму підпростори Н1 і його ортогонального доповнення, тобто представивши кожен елемент у вигляді (покладемо РH = h1. Цей оператор Р природно назвати оператором проектування, проектують весь простір Н на Н1. Очевидно, що Р є лінійним і безперервним оператором.

Розглянемо в просторі неперервних функцій на відрізку [a; b] з нормою оператор, який визначається формулою

, (1)

де k (s, t) - деяка фіксована безперервна функція двох змінних. Функція неперервна для будь-якої неперервної функції, так що оператор (1) дійсно переводить простір неперервних функцій в себе. Його лінійність очевидна. Можна також довести, що він безперервний.

Той же оператор можна розглянути на безлічі неперервних функцій С2 [a, b] з нормою, де він також неперервний.

4. Один з найважливіших для аналізу прикладів лінійних операторів - оператор диференціювання. Його можна розглядати в просторі C [a, b]: Df (t) =. Цей оператор D визначений не на всьому просторі неперервних функцій, а лише на лінійному різноманітті функцій, що мають неперервну похідну. Оператор D лине, але не неперервний. Це видно, наприклад, з того, що послідовність збігається до 0 (у метриці З [a, b]), а послідовність не сходиться.

Оператор диференціювання можна розглядати як оператор, який діє з простору D1 безперервно диференційовних функцій на [a, b] з нормою в простір З [a, b]. У цьому випадку оператор D лине і безперервний і відображає всі D1 на всі З [a, b].

Розгляд оператора диференціювання як оператора, що діє з D1 в С [a, b], не зовсім зручно, тому що, хоча при цьому ми і отримуємо неперервний оператор, визначений на всьому просторі, але не до будь-якої функції з D1 можна застосовувати цей оператор двічі. Зручніше розглядати оператор диференціювання у ще вужчому просторі, ніж D1, а саме в просторі нескінченно диференційовних функцій на відрізку [a; b], в якому топологія задається лічильної системою норм. Оператор диференціювання переводить весь цей простір у себе, і, як можна перевірити, він безперервний на цьому просторі.

2. Обмеженість і норма лінійного оператора

Визначення 2. Лінійний оператор, чинний з Е в Е1, називається обмеженою, якщо він визначений на всьому Е і кожне обмежене безліч переводить знову в обмежений. Між безперервністю і обмеженістю лінійного оператора існує тісний зв'язок, тобто справедливі наступні твердження:

Теорема 1. Для того, щоб лінійний оператор був неперервним, необхідно і достатньо, щоб він був обмежений.

1. Нехай оператор А необмежений. Тоді існує М Е -- обмежене безліч, таке, що безліч АМ Е1 НЕ обмежена. Отже, в Е1 знайдеться така околицю нуля V, що жодне з множин АМ НЕ міститься в V. Але тоді існує така послідовність хn M, що ні один з елементів Ахn НЕ належить V і отримуємо, що в Е, але не збігається до 0 в Е; це суперечить безперервності оператора А.

2. Якщо оператор А не безперервний у точці 0, то в Е1 існує така послідовність, що Ахn НЕ прагне до 0. При цьому послідовність обмежена, а послідовність не обмежена. Отже, якщо оператор А не безперервний, то А і не обмежений. Твердження доведено.

Якщо Е та Е1 - нормовані простору, то умова обмеженості оператора А, що діє з Е в Е1, можна сформулювати так: оператор А називається обмеженим, якщо він переводить будь-яку кулю в обмежений безліч.

У силу лінійності оператора А це умову можна сформулювати так: оператор А обмежений, якщо існує С = const , Що для будь-якого Е:.

Визначення 3. Найменша з чисел С, задовольняють цьому нерівності, називається нормою оператора А і позначається  .

Теорема 2 [1]. Для будь-якого обмеженого оператора А, що діє з нормованого простору в нормований.

3. Сума і добуток лінійних операторів. Простір лінійних неперервних операторів

Визначення 4. Нехай А і В - дві лінійних оператора, що діють з лінійного топологічного простору Е в простір Е1. Назвемо їх сумою А + В оператор С, що ставить у відповідність елементу  елемент у = Ах + Вх,.

Можна перевірити, що С = А + В - лінійний оператор, безперервний, якщо А і В безперервні. Область визначення DC оператора З є перетин областей визначення операторів А і В.

Якщо Е та Е1 - нормовані простору, а оператори А і В обмежені, то С теж обмежений, причому

(2)

Справді, для будь-яких х, отже, виконується нерівність (2).

Визначення 5. Нехай А і В - лінійні оператори, причому діє А з Е в Е1, а В діє з Е1 в Е2. Твором ВА операторів А і В називається оператор С, що ставить в відповідність елементу елемент з Е2.

Область визначення DC оператора С = ВА складається з тих х DA, для яких Ах DB. Ясно, що оператор З лине. Він безперервний, якщо А і В безперервні.

Якщо А і В - обмежені оператори, діючі в нормованих просторах, то й оператор С = ВА - обмежений, причому

(3)

Дійсно,, отже, виконується (3).

Сума і добуток трьох і більше операторів визначаються послідовно. Обидві ці операції асоціативних.

Твір оператора А на число до (позначається кА) визначається як оператор, який елементу х ставить у відповідність елемент ках.

Сукупність Z (E, E1) усіх неперервних лінійних операторів, визначених на всьому Е і відображають Е в Е1 (де Е та Е1 -- фіксовані лінійні нормовані простору), утворює, по відношенню до введеним операцій додавання і множення на число, лінійний простір. При це Z (E, E1) - нормований пространстово (з тим визначенням норми оператора, яке було дано вище).

4. Зворотний оператор

Нехай А - лінійний оператор, чинний з Е в Е1, і DA область визначення, а RA - область значень цього оператора.

Визначення 6. Оператор А називається оборотним, якщо для будь-якого у RA рівняння Ах = у має єдине рішення.

Якщо А звернемо, то будь-якого елементу у RA можна поставити у відповідність єдиний елемент х DA, що є рішенням рівняння Ах = у. Оператор, що здійснює це відповідність, називається зворотним до А і позначається А-1.

Теорема 3 [1]. Оператор А-1, зворотний лінійного оператора А, також лине.

Доказ.

Досить перевірити виконання рівності

.

Покладемо Ах1 = у1 і Ах2 = у2, в силу лінійності А маємо

(*)

За визначенням зворотного оператора А-1у1 = х1 і А-1у2 = х2, помножимо обидва рівності і відповідно на:

.

З іншого боку з рівності (*) випливає, отже,.

Теорема доведена.

Теорема 4 [3]. (Теорема Банаха про зворотному операторі)

Нехай А - лінійний обмежений оператор, взаємно однозначно відображає Банахів простір Е на Банахів простір Е1. Тоді зворотний оператор А-1 обмежений.

Теорема 5 [3]. Нехай Е - Банахів простір, I - тотожний оператор в Е, а А - такий обмежений лінійний оператор, що відображає Е в себе, що. Тоді оператор (IA) -1 існує, обмежений і представляється у вигляді.

Доказ.

Так як, то ряд сходиться. А так як для всіх, то ряд також сходиться. Простір Е повно, значить, із збіжності ряду випливає, що сума ряду являє собою обмежений лінійний оператор. Для будь-якого n маємо:, переходячи до межі і враховуючи, що, отримуємо, отже.

Теорема доведена.

5. Спектр оператора. Резольвента.

Усюди, де мова йде про спектр оператора, вважаємо, що оператор діє в комплексному просторі.

У теорії операторів та її застосуваннях першорядну роль грає поняття спектра оператора. Розглянемо це поняття спочатку стосовно до операторів в скінчено просторі.

Нехай А - лінійний оператор в n-мірному просторі ЕN. Число називається власним значенням оператора А, якщо рівняння має ненульові рішення. Сукупність усіх власних значень називається спектром оператора А, а всі інші значення - регулярними.

Інакше кажучи, є регулярна точка, якщо оператор звернемо. При цьому оператор -1, як і будь-який оператор в скінчено просторі, обмежений, тому в скінчено просторі існує дві можливості:

рівняння має нульове рішення, тобто є власне значення для А, оператор -1 при цьому не існує;

існує обмежений оператор -1, тобто є регулярна крапка.

в нескінченновимірних просторі існує третя можливість:

оператор -1 існує, тобто рівняння має лише нульове рішення, але цей оператор не обмежений.

Введемо наступну термінології. Число ми назвемо регулярним для оператора А, чинного в (комплексному) лінійному нормованому просторі Е, якщо оператор -1, званий резольвентой оператора А, визначений на всьому Е і безперервний. Сукупність всіх інших значень називається спектром оператора А. Спектр належать всі власні значення оператора А, тому що якщо х = 0 при деякому, то -1 не існує. Їх сукупність називається точковим спектром. Решта спектру, тобто сукупність тих, для яких -1 існує, але не безперервний, називається безперервним спектром. Отже, будь-яке значення є для оператора А або регулярним, або власним значенням, або точкою безперервного спектру. Можливість наявності у оператора безперервного спектра - істотна відмінність теорії операторів в нескінченновимірних просторі від скінчено випадку.

Теорема 6 [3]. Якщо А-обмежений лінійний оператор в банаховому просторі і, то - регулярна крапка.

Доказ.

Тому що, очевидно, то. При цей ряд сходиться (теорема 4), тобто оператор має обмежений зворотний. Інакше кажучи, спектр оператора А міститься в колі радіуса з центром в нулі.

Теорема доведена.

Приклад. ? всьому просторі Н.

Теорема 7. Спектр унітарного оператора - це безліч, яке лежить на одиничному колі.

Доказ. Доказ проведемо в два етапи:

Доведемо, що спектр унітарного оператора U міститься в одиничному колі.

Розглянемо зворотний оператор і покажемо, що він теж унітарний. Доведемо, що, якщо належить спектру оператора U, то належить спектру зворотного оператора і навпаки.

Для доказу I етапу застосуємо теорему 4: якщо А - обмежений лінійний оператор в нормованому просторі та, то - регулярна крапка. Інакше кажучи, спектр оператора А міститься в колі радіуса з центром в нулі. А норма унітарного оператора U, як було показано, дорівнює 1 (). Отже, спектр унітарного оператора міститься в одиничному колі.

Перейдемо до II етапу. Доведемо, що оператор, зворотний до унітарної оператору, також унітарний оператор. Покажемо, що він задовольняє умові ізометрії: для всіх. Покладемо Ux = y, тоді, і, тобто для всіх.

Доведемо, що, якщо точка є регулярною для оператора U, то точка є регулярною для зворотного оператора U-1. Точка, є регулярної для оператора U, якщо виконується умова:

(*).

Оператор U-1 є зворотним для оператора U, значить, для них правильно U-1U = I = UU-1. Використовуючи це, рівність (*) можна переписати:

, або

.

Використовуємо властивість зворотних операторів: оператор, зворотний твору операторів, дорівнює добутку зворотних операторів до даних, узятих в протилежному порядку, тобто для двох операторів А і В маємо. Тоді рівність можна переписати у вигляді:

.

Обчислимо окремо твір:

.

У підсумку, тобто є регулярною для зворотного оператора U-1.

Візьмемо безліч точок. Тоді точки виду лежать поза одиничного кола і все є для оператора регулярними, так як він унітарний і його норма дорівнює 1. Але оскільки оператор - зворотний до оператора, то точки, що входять в, по попереднього міркування є для нього регулярними. Отже, спектр оператора U - це безліч, яке лежить на одиничному колі.

Важливим прикладом ізометричного оператора є оператор зсуву.

Визначення 10. Оператор, заданий в просторі послідовностей, називається оператором зсуву, якщо він кожну послідовність виду (х1, х2, ..., хn ...) переводить в послідовність виду (0, х1, х2, ..., хn ...), тобто виконується рівність: (х1, х2, ..., хn ...) = (0, х1, х2, ..., хn ...).

Можна також розглядати оператор зсуву, який діє в просторі послідовностей, нескінченних в обидва сторони. Елемент цього простору можна представити в такому вигляді: (... х-2, х-1, х0, х1, х2, ...).

Визначення 11. Оператор називається оператором двостороннього зсуву, якщо він кожну послідовність, нескінченну в обидві сторони, зрушує вправо, тобто виконується рівність:.

Уточнимо, про які просторах послідовностей буде йти мова:

1) l2 - простір односторонніх послідовностей комплексних чисел з натуральної нумерацією, для яких ряд  - Сходиться. Скалярний добуток у цьому просторі визначається формулою.

2) l2 (-