Оператор
зрушення
Введення
Тема для написання дипломної роботи була
вибрана не випадково. Теорія лінійних операторів - це цікава й важлива
область, яка дозволяє не тільки активно застосовувати вже наявні знання з
аналізу, але й дізнатися багато нового.
У даній роботі розглядаються
лінійні оператори одностороннього і двостороннього зсуву. Вводяться основні
поняття: спектр, резольвента, спектральний радіус оператора. Розглядаються
завдання, в ході вирішення яких з'ясовуються деякі властивості спектрів
операторів зсуву. Визначається клас зважених зрушень, виводиться співвідношення
для норми і спектрального радіусу оператора зваженого зсуву.
Відомо, що якщо розглядати поле
дійсних чисел за умови, що аксіома Архімеда не виконується, то
отримаємо нове, розширене поле, в якому існують нескінченно великі і
нескінченно малі елементи. На підставі цього розширення можна побудувати весь математичний
аналіз - нестандартний аналіз.
Природно, частина основних понять і
властивостей лінійних операторів було б цікаво визначити і довести і в
нестандартному аналізі, що й було зроблено в роботі.
Зокрема, був встановлений наступний
факт: хоча стандартний оператор зсуву не має власних векторів, але його
нестандартне розширення має «майже власні» вектори, тобто вектори, в
певному сенсі нескінченно близькі до власних.
Частина 1.
Оператор зсуву в гільбертовому просторі
§ 1. Основні
поняття й факти теорії лінійних операторів
1. Визначення та приклади лінійних
операторів
Хай Е та Е1 - два лінійних нормованих
простору над полем комплексних чисел. Лінійним оператором, що діє з Е
в Е1 називається відображення (
що задовольняє умові
для всіх.
Сукупність DA всіх тих, для яких
відображення А визначено, називається областю визначення оператора А; взагалі
кажучи, не передбачається, що DA = E, однак ми завжди будемо вважати, що DA
є лінійне різноманіття, тобто, якщо х, у DA, то й за будь-яких.
Визначення 1. Оператор називається неперервним в точці х0 DA, якщо для
будь-який околиці V точки у0 = Ах0 існує така околицю U точки х0, що Ах V, як тільки
х. Оператор А
називається неперервним, якщо він безперервний у кожній точці х DA.
Оскільки Е та Е1 - нормовані
простору, то це визначення рівнозначне наступного: оператор А називається
безперервним, якщо виконується наступне умова: (.
Приклади лінійних операторів
Нехай А - лінійний оператор,
відображає n-мірний простір Rn c базисом е1, ..., ЕN в m-мірне
простір Rm з базисом f1, ..., fm. Якщо х - довільний вектор з Rn, то і, в силу лінійності оператора А.
Таким чином, оператор А заданий, якщо
відомо, в які елементи він переводить базисні вектори е1, ..., ЕN. Розглянемо
розкладання вектора Аеi по базису f1, ..., fm. Маємо.
Отже, оператор А визначається матрицею коефіцієнтів аij. Образ
простору Rn і Rm являє собою лінійний простір, розмірність
якого дорівнює, очевидно, рангу матриці, тобто у
усякому разі не перевершує n (властивість рангу матриці). Відзначимо, що в
скінчено просторі всякий лінійний оператор автоматично неперервний.
Розглянемо Гільбертів простір Н
і в ньому деякий підпростір Н1. Розклавши Н в пряму суму підпростори
Н1 і його ортогонального доповнення, тобто представивши кожен елемент у вигляді (покладемо
РH = h1. Цей оператор Р природно назвати оператором проектування,
проектують весь простір Н на Н1. Очевидно, що Р є лінійним і
безперервним оператором.
Розглянемо в просторі неперервних
функцій на відрізку [a; b] з нормою оператор, який визначається формулою
, (1)
де k (s, t) - деяка фіксована
безперервна функція двох змінних. Функція неперервна для будь-якої неперервної функції, так що
оператор (1) дійсно переводить простір неперервних функцій в себе.
Його лінійність очевидна. Можна також довести, що він безперервний.
Той же оператор можна розглянути на
безлічі неперервних функцій С2 [a, b] з нормою, де він також
неперервний.
4. Один з найважливіших для аналізу
прикладів лінійних операторів - оператор диференціювання. Його можна
розглядати в просторі C [a, b]: Df (t) =. Цей оператор
D визначений не на всьому просторі неперервних функцій, а лише на лінійному
різноманітті функцій, що мають неперервну похідну. Оператор D лине, але не
неперервний. Це видно, наприклад, з того, що послідовність збігається до 0 (у метриці З [a, b]), а
послідовність не сходиться.
Оператор диференціювання можна
розглядати як оператор, який діє з простору D1 безперервно
диференційовних функцій на [a, b] з нормою в простір З [a, b]. У цьому випадку оператор
D лине і безперервний і відображає всі D1 на всі З [a, b].
Розгляд оператора
диференціювання як оператора, що діє з D1 в С [a, b], не зовсім зручно,
тому що, хоча при цьому ми і отримуємо неперервний оператор, визначений на всьому
просторі, але не до будь-якої функції з D1 можна застосовувати цей оператор двічі.
Зручніше розглядати оператор диференціювання у ще вужчому
просторі, ніж D1, а саме в просторі нескінченно диференційовних функцій на відрізку
[a; b], в якому топологія задається лічильної системою норм. Оператор
диференціювання переводить весь цей простір у себе, і, як можна перевірити,
він безперервний на цьому просторі.
2. Обмеженість і норма лінійного
оператора
Визначення 2. Лінійний оператор,
чинний з Е в Е1, називається обмеженою, якщо він визначений на всьому Е і
кожне обмежене безліч переводить знову в обмежений. Між
безперервністю і обмеженістю лінійного оператора існує тісний зв'язок,
тобто справедливі наступні твердження:
Теорема 1. Для того, щоб лінійний
оператор був неперервним, необхідно і достатньо,
щоб він був обмежений.
1. Нехай оператор А необмежений.
Тоді існує М Е --
обмежене безліч, таке, що безліч АМ Е1 НЕ
обмежена. Отже, в Е1 знайдеться така околицю нуля V, що жодне
з множин АМ НЕ
міститься в V. Але тоді існує така послідовність хn M, що ні
один з елементів Ахn НЕ
належить V і отримуємо, що в Е, але не збігається до 0 в Е; це суперечить
безперервності оператора А.
2. Якщо оператор А не безперервний у
точці 0, то в Е1 існує така послідовність, що Ахn НЕ
прагне до 0. При цьому послідовність обмежена, а послідовність не обмежена. Отже, якщо оператор А не
безперервний, то А і не обмежений. Твердження доведено.
Якщо Е та Е1 - нормовані
простору, то умова обмеженості оператора А, що діє з Е в Е1,
можна сформулювати так: оператор А називається обмеженим, якщо він переводить
будь-яку кулю в обмежений безліч.
У силу лінійності оператора А це
умову можна сформулювати так: оператор А обмежений, якщо існує С = const
, Що для будь-якого Е:.
Визначення 3. Найменша з чисел С,
задовольняють цьому нерівності, називається нормою оператора А і позначається
.
Теорема 2 [1]. Для будь-якого
обмеженого оператора А, що діє з нормованого простору в
нормований.
3. Сума і добуток лінійних
операторів. Простір лінійних неперервних операторів
Визначення 4. Нехай А і В - дві
лінійних оператора, що діють з лінійного топологічного простору Е в
простір Е1. Назвемо їх сумою А + В оператор С, що ставить у відповідність елементу
елемент у = Ах + Вх,.
Можна перевірити, що С = А + В - лінійний
оператор, безперервний, якщо А і В безперервні. Область визначення DC оператора
З є перетин областей визначення операторів А і В.
Якщо Е та Е1 - нормовані
простору, а оператори А і В обмежені, то С теж обмежений, причому
(2)
Справді, для будь-яких х, отже,
виконується нерівність (2).
Визначення 5. Нехай А і В - лінійні
оператори, причому діє А з Е в Е1, а В діє з Е1 в Е2.
Твором ВА операторів А і В називається оператор С, що ставить в
відповідність елементу елемент з Е2.
Область визначення DC оператора С = ВА
складається з тих х DA, для
яких Ах DB. Ясно, що
оператор З лине. Він безперервний, якщо А і В безперервні.
Якщо А і В - обмежені оператори,
діючі в нормованих просторах, то й оператор С = ВА - обмежений,
причому
(3)
Дійсно,,
отже, виконується (3).
Сума і добуток трьох і більше
операторів визначаються послідовно. Обидві ці операції асоціативних.
Твір оператора А на число до
(позначається кА) визначається як оператор, який елементу х ставить у
відповідність елемент ках.
Сукупність Z (E, E1) усіх неперервних
лінійних операторів, визначених на всьому Е і відображають Е в Е1 (де Е та Е1 --
фіксовані лінійні нормовані простору), утворює, по відношенню до
введеним операцій додавання і множення на число, лінійний простір. При
це Z (E, E1) - нормований пространстово (з тим визначенням норми
оператора, яке було дано вище).
4. Зворотний оператор
Нехай А - лінійний оператор,
чинний з Е в Е1, і DA область визначення, а RA - область значень цього
оператора.
Визначення 6. Оператор А називається
оборотним, якщо для будь-якого у RA рівняння
Ах = у має єдине рішення.
Якщо А звернемо, то будь-якого елементу у RA можна
поставити у відповідність єдиний елемент х DA,
що є рішенням рівняння Ах = у. Оператор, що здійснює це відповідність,
називається зворотним до А і позначається А-1.
Теорема 3 [1]. Оператор А-1, зворотний
лінійного оператора А, також лине.
Доказ.
Досить перевірити виконання
рівності
.
Покладемо Ах1 = у1 і Ах2 = у2, в силу
лінійності А маємо
(*)
За визначенням зворотного оператора
А-1у1 = х1 і А-1у2 = х2, помножимо обидва рівності і відповідно на:
.
З іншого боку з рівності (*)
випливає,
отже,.
Теорема доведена.
Теорема 4 [3]. (Теорема Банаха про
зворотному операторі)
Нехай А - лінійний обмежений
оператор, взаємно однозначно відображає Банахів простір Е на Банахів
простір Е1. Тоді зворотний оператор А-1 обмежений.
Теорема 5 [3]. Нехай Е - Банахів
простір, I - тотожний оператор в Е, а А - такий обмежений лінійний
оператор, що відображає Е в себе, що. Тоді
оператор (IA) -1 існує, обмежений і представляється у вигляді.
Доказ.
Так як, то ряд сходиться. А так як для всіх, то ряд також сходиться. Простір Е повно, значить,
із збіжності ряду випливає, що сума ряду являє
собою обмежений лінійний оператор. Для будь-якого n маємо:, переходячи до
межі і враховуючи, що, отримуємо,
отже.
Теорема доведена.
5. Спектр оператора. Резольвента.
Усюди, де мова йде про спектр
оператора, вважаємо, що оператор діє в комплексному просторі.
У теорії операторів та її застосуваннях
першорядну роль грає поняття спектра оператора. Розглянемо це поняття
спочатку стосовно до операторів в скінчено просторі.
Нехай А - лінійний оператор в
n-мірному просторі ЕN. Число називається власним значенням оператора А,
якщо рівняння має
ненульові рішення. Сукупність усіх власних значень називається спектром
оператора А, а всі інші значення - регулярними.
Інакше кажучи, є регулярна точка, якщо оператор звернемо. При цьому оператор -1, як і
будь-який оператор в скінчено просторі, обмежений, тому в скінчено
просторі існує дві можливості:
рівняння має нульове рішення, тобто є власне значення для А, оператор -1 при цьому не
існує;
існує обмежений оператор -1, тобто є регулярна крапка.
в нескінченновимірних просторі
існує третя можливість:
оператор -1 існує,
тобто рівняння має лише нульове рішення, але цей оператор
не обмежений.
Введемо наступну термінології. Число ми назвемо регулярним для оператора А,
чинного в (комплексному) лінійному нормованому просторі Е, якщо
оператор -1,
званий резольвентой оператора А, визначений на всьому Е і безперервний.
Сукупність всіх інших значень називається спектром оператора А. Спектр
належать всі власні значення оператора А, тому що якщо х = 0 при
деякому, то -1 не
існує. Їх сукупність називається точковим спектром. Решта
спектру, тобто сукупність тих, для яких -1 існує,
але не безперервний, називається безперервним спектром. Отже, будь-яке значення є для оператора А або регулярним, або
власним значенням, або точкою безперервного спектру. Можливість наявності у
оператора безперервного спектра - істотна відмінність теорії операторів в
нескінченновимірних просторі від скінчено випадку.
Теорема 6 [3]. Якщо А-обмежений
лінійний оператор в банаховому просторі і, то - регулярна
крапка.
Доказ.
Тому що, очевидно, то. При цей ряд сходиться (теорема 4), тобто оператор має обмежений зворотний. Інакше кажучи,
спектр оператора А міститься в колі радіуса з центром в нулі.
Теорема доведена.
Приклад. ?
всьому просторі Н.
Теорема 7. Спектр унітарного
оператора - це безліч, яке лежить на одиничному колі.
Доказ. Доказ
проведемо в два етапи:
Доведемо, що спектр унітарного
оператора U міститься в одиничному колі.
Розглянемо зворотний оператор і
покажемо, що він теж унітарний. Доведемо, що, якщо належить спектру оператора U, то належить спектру зворотного оператора і
навпаки.
Для доказу I етапу застосуємо
теорему 4: якщо А - обмежений лінійний оператор в нормованому просторі
та, то - регулярна
крапка. Інакше кажучи, спектр оператора А міститься в колі радіуса з центром в нулі. А норма унітарного оператора
U, як було показано, дорівнює 1 (). Отже,
спектр унітарного оператора міститься в одиничному колі.
Перейдемо до II етапу. Доведемо, що
оператор, зворотний до унітарної оператору, також унітарний оператор. Покажемо,
що він задовольняє умові ізометрії: для всіх. Покладемо
Ux = y, тоді, і, тобто для всіх.
Доведемо, що, якщо точка є регулярною для оператора U, то точка є регулярною для зворотного оператора
U-1. Точка, є
регулярної для оператора U, якщо виконується умова:
(*).
Оператор U-1 є зворотним для
оператора U, значить, для них правильно U-1U = I = UU-1. Використовуючи це, рівність (*)
можна переписати:
, або
.
Використовуємо властивість зворотних
операторів: оператор, зворотний твору операторів, дорівнює добутку
зворотних операторів до даних, узятих в протилежному порядку, тобто для двох
операторів А і В маємо. Тоді
рівність можна переписати у вигляді:
.
Обчислимо окремо твір:
.
У підсумку, тобто є регулярною для зворотного оператора
U-1.
Візьмемо безліч точок. Тоді точки
виду лежать поза одиничного кола і все є для
оператора регулярними, так як він унітарний і його норма
дорівнює 1. Але оскільки оператор - зворотний до оператора, то точки, що входять в, по
попереднього міркування є для нього регулярними. Отже, спектр
оператора U - це безліч, яке лежить на одиничному колі.
Важливим прикладом ізометричного
оператора є оператор зсуву.
Визначення 10. Оператор, заданий в
просторі послідовностей, називається оператором зсуву, якщо він кожну
послідовність виду (х1, х2, ..., хn ...) переводить в послідовність виду (0,
х1, х2, ..., хn ...), тобто виконується рівність: (х1, х2, ...,
хn ...) = (0, х1, х2, ..., хn ...).
Можна також розглядати оператор
зсуву, який діє в просторі послідовностей, нескінченних в обидва
сторони. Елемент цього простору можна представити в такому вигляді: (... х-2, х-1,
х0, х1, х2, ...).
Визначення 11. Оператор називається оператором двостороннього зсуву,
якщо він кожну послідовність, нескінченну в обидві сторони, зрушує вправо,
тобто виконується рівність:.
Уточнимо, про які просторах
послідовностей буде йти мова:
1) l2 - простір односторонніх
послідовностей комплексних чисел з натуральної нумерацією, для яких ряд
- Сходиться.
Скалярний добуток у цьому просторі визначається формулою.
2) l2 (-