Закони Кеплера

Мазуров Олексій,
11 «Б».

Важливу роль у формуванні уявлення про будову Сонячної системизіграли також закони руху планет, які були відкриті Іоганном
Кеплером (1571-1630) і стали першими природничо законами в їхсучасному розумінні. Роботи Кеплера створили можливість для узагальненнязнань з механіки тієї епохи у вигляді законів динаміки і закону всесвітньоготяжіння, сформульованого пізніше Ньютоном. Багато вчених аж допочатку XVII ст. вважали, що рух небесних тіл має бути рівномірним івідбуватися за «найдосконалішою» кривий-кола. Лише Кеплеру вдалосяподолати цей забобон і встановити дійсну формулу планетнихорбіт, а також закономірність зміни швидкості руху планет при їхрусі навколо Сонця.
У своїх пошуках Кеплер виходив з переконання, що «світом править число»,висловленого ще Піфагором. Він шукав співвідношення між різнимивеличинами, що характеризують рух планет, - розміри орбіт, періодобігу, швидкість. Кеплер діяв фактично наосліп, чистоемпірично. Він намагався зіставити характеристики руху планет ззаконами музичної гами, довжиною сторін описаних і вписаних в орбітипланет багатокутників і т. д.
Кеплеру необхідно було побудувати орбіти планет, перейти від екваторіальнійсистеми координат, що вказує положення планети на небесній сфері, досистемі координат, що вказують її положення в площині орбіти. Вінскористався при цьому власними спостереженнями планети Марс, а такожбагаторічними визначеннями координат і конфігурацій цієї планети,проведеними його вчителем Тихо Браге.
Орбіту Землі Кеплер вважав (у першому наближенні) колом, що несуперечило спостереженнями. Для того щоб побудувати орбіту Марса, вінзастосував спосіб, показаний на рис.1.
Нехай, нам відомо кутова відстань Марса від точки весняногорівнодення під час одного з протистоянь планети - його прямесходження? 1, яке виражається кутом? Т1М1, де Т1-положення Землі наорбіті на цей момент, а М1 -положення Марса. Очевидно, що через 687 діб (такий зоряний періодзвернення Марса) планета прийде в ту ж точку орбіти. Якщо визначитипряме сходження планети на цю дату, то, як видно з рис.1, можнавказати положення планети в просторі, точніше, у площині її орбіти.
Земля в цей час знаходиться в точці Т2, і, отже, кут? Т2М2 єне що інше, як пряме сходження Марса -? 2. Повторивши подібні операціїдля декількох інших протистоянь Марса, Кеплер отримав ще цілий рядточок і, провівши по них плавну криву, побудував орбіту цієї планети.
Вивчивши розташування отриманих точок, він виявив, що швидкість рухупланети по орбіті змінюється, але при цьому радіус-вектор планети за рівні проміжки часу описує рівні площі.
Згодом ця закономірність отримала назву другого закону Кеплера.
Це закон, який часто називають законом площ, ілюструєтьсямалюнком 2. Радіус-вектором називають змінний за своєю величиною відрізок,сполучає Сонце і ту точку орбіти, в якій знаходиться планета. Аа1,
ВВ1, СС 1 - дуги, що проходить планета за рівні проміжкичасу. Площі заштрихованих фігур рівні.

Відповідно до закону збереження енергії, повна механічна енергія замкнутоїсистеми тіл, між якими діють сили тяжіння, залишається незмінноюза будь-яких рухах тел цієї системи. Тому сума потенційної ікінетичної енергій планети, яка рухається навколо Сонця, залишаєтьсянезмінною у всіх точках орбіти і дорівнює повній енергії. У міру їїнаближення до Сонця зростає швидкість - збільшується кінетичнаенергія, але внаслідок зменшення відстані до Сонця зменшується енергіяпотенційна.
Встановивши закономірність зміни швидкості руху планет, Кеплерзадався метою визначити, за якою кривої відбувається їхній рух навколо
Сонця. Він був поставлений перед необхідністю зробити вибір одного з двохможливих рішень: вважати, що орбіта Марса є коло,і припустити, що на деяких ділянках руху планети обчисленікоординати розходяться з дійсними (через помилки спостережень) на 8 ',або вважати, що спостереження таких помилок не містять, а орбіта планети неє колом. Будучи впевненим у точності спостережень Тихо Браге,
Кеплер вибрав друге рішення і встановив, що найкращим чином положення
Марса на орбіті збігаються з еліпсів, при цьому Сонце не розташовується вцентрі еліпса. У результаті було сформульовано закон, який називаєтьсяпершим законом Кеплера.

Кожна планета обертається навколо Сонця по еліпса, в одному з фокусів якого знаходиться Сонце.

Як відомо, еліпсів називається крива, в якої сума відстаней відбудь-якої точки P до його фокусів є величина постійна. На малюнку 3позначені: O-центр еліпса; S і S1-фокуси еліпса; AB-його велика вісь.
Половина цієї величини (a), яку зазвичай називають великої півосі,характеризує розмір орбіти планети. Найближча до Сонця точка A називаєтьсяперигелій, а найбільш віддалена від нього точка B-афелій. Відмінність еліпса відкола характеризується величиною його ексцентрісітета: e = OS/OA. У томувипадку, коли ексцентриситет дорівнює 0, фокуси і центр зливаються в одну точку-еліпс перетворюється в коло.
Примітно, що книга, в якій в 1609 р. Кеплер перші два відкритихним закону, мала назву «Нова астрономія, або Фізика небес, викладена вдослідженнях планети Марс ... ».
Обидва цих закону, опубліковані в 1609, розкривають характер рухукожної планети окремо, що не задовольнило Кеплера. Він продовживпошуки «гармонії» в русі всіх планет, і через 10 років йому вдалосясформулювати третій закон Кеплера.

Квадрати зоряних періодів обертання планет відносяться між собою як куби великих піввісь їх орбіт.

Формула, що виражає третій закон Кеплера, така:

де T1 і T2-періоди обертання двох планет; А1 і А2 - великі півосіїх орбіт.
Ось що писав Кеплер після відкриття цього закону: «Те, що 16 років тому явирішив шукати, нарешті знайдено, і це відкриття перевершило всі мої самісміливі очікування ».
Дійсно, третій закон заслуговує найвищої оцінки. Адже віндозволяє обчислити відносні відстані від планет до Сонця, використовуючипри цьому вже відомі періоди їх обертання навколо Сонця. Не потрібновизначати відстань від Сонця кожної з них, досить вимірятивідстань від Сонця хоча б однієї планети. Розмір великої півосі земноїорбіти - астрономічна одиниця (а. е.) - стала основою для обчислення всіхінших відстаней в Сонячній системі.

-----------------------< br>S

Рис. 1. Побудоваорбіти Марса Кеплером

? 1

? 2

Ріс.2.Первий закон Кеплера.

Рис.3. Властивостіеліпса

T12

A13

A23