Інтерпретації існування в математиці

Гутнер Г.

1 Основні стратегії докази існування

Важливим завданням, яку ми повинні вирішити, проводячи дослідження онтології математичного дискурсу, полягає у з'ясуванні тих традиційних способів, якими математика встановлює існування своїх предметів. Для цього слід звернути увагу на математичні пропозиції, які стверджують про що-небудь, що воно "існує". Розгляд доказів таких пропозицій дозволяє зрозуміти, в якому значенні вжито в ньому це слово. Спосіб докази існування прояснює, перш за все, інтерпретацію існування в тому чи іншому затвердження.

Якщо спробувати розібрати основні математичні тексти (тобто тексти, вироблені математиками різного класу і рівня і читаються в співтоваристві, що має до математики якесь відношення), то при самому поверхневому аналізі можна побачити три способи докази існування і, відповідно, три способи визначити онтологічний статус предмета дослідження.

Перший (і, можливо, найбільш поширений) спосіб докази полягає в безпосередньому побудові об'єкта, в існуванні якого належить переконатися. В якості класичних областей застосування такого роду доказів прийнято вказувати евклідову геометрію, алгебру і, почасти, теорію чисел [18]. Однак, важливо розуміти, що його вживання цілком природно і для цілком "нефінітних" областей, наприклад, для функціонального аналізу. Щоб звернути увагу на деякі важливі особливості такого способу докази, доречно звернутися до прикладу. Одна з відомих теорем функціонального аналізу стверджує, що для будь-якого стискає відображення довільного повного метричного простору в себе існує єдина нерухома точка цього відображення. Це твердження доводиться так: у метричному просторі вибирається довільна точка, дане стискають відображення застосовується спочатку до цієї точки, потім до вийшло в результаті його застосування образу цієї точки, потім до образу образу і т.д. З'ясовується, що виникає при цьому послідовність має межу і цей межа - точка простору, що не змінюється при застосуванні до неї даного відображення.

Як у формулюванні цієї теореми, так і в її доведенні фігурують лише загальні терміни. Доказ, однак, проведено так, що всі загальні терміни в ньому можна замінити на одиничні. Так, задавши певний повне метричний простір (припустимо, фіксований відрізок прямій лінії), тобто вказавши цілком певний одиничний предмет, що володіє всіма необхідними властивостями, і задав якесь конкретне стискають відображення на ньому, ми можемо, користуючись прописаної в доказі схемою, вказати на деякий, також цілком певний, одиничний предмет, що володіє всіма необхідними властивостями (тобто є нерухомою точкою відображення). Вказівка одиничного предмета - найважливіший момент такого роду міркувань. Хоча саме воно і проводилося як би абстрактно, тобто безвідносно будь-яких одиничний, проте можливість роботи з ними і становить його реальний зміст. Будь-хто, що входить в міркування індивідуальний предмет отримує в ході його повну визначеність (ясність онтологічного статусу) в силу його відмінність від будь-якого іншого предмета, зазначеного будь-яким іншим способом. Отже, про який-небудь предмет можна сказати, що він існує, якщо кінцева наведена схема, яка, будучи застосована до вказаною цілком певного об'єкту (або кінцевого набору об'єктів), приводить до побудови розглянутого предмета. Той факт, що схема, на яку ми посилалися в нашому прикладі, містила побудова нескінченної послідовності, ще не порушує конструктивності визначення існування. Границя послідовності є цілком певний об'єкт, побудова якого, при заданій збіжної послідовності, зовсім не вимагає таких позамежних абстракцій, як актуальний пред'явлення всієї нескінченної послідовності. З'ясувати, наприклад, що послідовність xn = 1/2n збігається до 0, можна за допомогою легко завершує процедуру. Останнє вірно, звичайно, не для будь-якій послідовності. Але в розібраному нами прикладі таку послідовність вказати можна. (Наприклад, якщо задати відображення, яке кожній точці відрізка буде ставити у відповідність точку, розташовану в два рази ближче до фіксованого кінця відрізка.) Але саме ця можливість і важлива для визначення існування в конструктивному сенсі. Слово "існує" в рамках розглянутої нами інтерпретації має бути прочитано саме як "існує одиничний предмет, на який можна безпосередньо вказати ".

Звичайно ж математичне міркування не обмежується такими, зав'язаними на цілком певний одиничний предмет, побудовами. Математичний аналіз постійно має справу з такими предметами, які не можуть бути цілком визначені з допомогою кінцевої процедури побудови. Найбільш характерний приклад -- ірраціональне число, яке визначається або як послідовність раціональних чисел, або як перетин на множині раціональних чисел. У будь-якому випадку таке визначення предмета передбачає пред'явлення якийсь нескінченної сукупності і про його існування вже неможливо говорити в розглянутому вище сенсі. Тим більше це неможливо, якщо мова йде про послідовності або про нескінченні множини дійсних чисел. Названі предмети, тим не менше, досить активно вивчаються в аналізі. У математиці прийнято два способи говорити про існування цих неконструіруемих предметів.

Перший неконструктивний спосіб інтерпретації існування пов'язаний із законом виключеного третього. На ньому засновані всі докази від протилежного. Наведемо ще один приклад. Одна з центральних теорем аналізу стверджує, що якщо послідовність монотонна і обмежена, то вона має межу. Доказ цього факту часто проводять, припустивши, що дана послідовність нефундаментальна (тобто не задовольняє критерію Коші). З цього припущення легко виводиться, що послідовність у такому випадку і не обмежена, що суперечить умовам теореми. Далі ж на підставі закону виключеного третього затверджується фундаментальність розглянутої послідовності, а відповідно і наявність межі. Ніяких вказівок на яке-небудь конкретне число, що може бути межею послідовності, так само як і на спосіб його обчислення, немає ні у формулюванні, ні в доказі теореми. Ми, звичайно, можемо побачити тут якусь схему, яка може бути застосована до заданої послідовності, тобто до певного одиничного предмету. Але до побудови іншого одиничного предмета (в існування якого і потрібно упевнитися) запропонована схема не приведе. Це предмет залишиться предметом гіпотетичним. Немає ніяких реальних критеріїв для того, щоб відрізнити його від будь-кого іншого. Брауер, про погляди якого на проблему існування ми будемо більш докладно говорити в подальшому, вважав, що філософським підставою для такого типу міркувань є реалізм (або "платонізм"), неправомірно перенесений на математичні об'єкти [65]. Стверджуючи, що нескінченна послідовність (яку ми не побудували і не можемо побудувати) повинна бути або фундаментальної, або нефундаментальной, ми віримо в якийсь дійсний стан справ, що існує незалежно від нас в якомусь ідеальному світі. Наше судження про це стан справ може бути істинним чи хибним, сама ж реальність, ніяк не пов'язана з нашими власними діями. Брауер вважав неправомірним використання закону виключеного третього тому, що на його переконання математичні об'єкти та їх відношення не є незалежна від суб'єкта реальність, про яку можна лише істинно або хибно судити, а є продукт власної діяльності суб'єкта. Можна не брати таку точку зору, але важко, мабуть, заперечувати, що онтологічний статус предмета, визначений таким чином, залишається досить сумнівним. Ми починаємо оперувати з предметом, присутність якого безпосередньо не засвідчено. Можна сказати, що такий предмет не існує в справжньому значенні, а як ніби існує. Не маючи можливості пред'явити його в нашому міркуванні, ми розмірковуємо так, як якби він існував (як якби був побудований). Встановивши існування за допомогою закону виключеного третього, часто імітують безпосередню вказівку на цей предмет, вводячи для нього ім'я, що бере участь далі в усіх міркуваннях. Інший спосіб розуміння існування відносно предметів математики також пов'язаний швидше з припущенням про існування (за Принаймні, якщо порівнювати його з конструктивним пред'явленням індивіда). Введення цілих класів предметів здійснюється за допомогою розумового ходу, подібного тому, який був зроблений при введенні негативних чисел для обліку витрат і боргів у різних фінансових операціях або введенні ірраціональних (а потім і комплексних) чисел при рішенні алгебраїчних рівнянь. Кожного разу в міркування вводиться певний квазі-об'єкт, який не вказується конструктивно. Про нього лише говориться, що він може брати участь у різних маніпуляціях з числами нарівні з числами "справжніми" (наприклад, раціональними). Для нього придумується спеціальний значок, який підставляється у формули. Причому результатом застосування до нього цих формул виявляється цілком певний, що обчислюється число. Сам же цей квазі-об'єкт по суті виявляється ототожнений з тим значком, який підставляється замість нього в формулу.

Що ж дозволяє вважати такі квазі-об'єкти існуючими. Тут виявляється доречна та інтерпретація існування, на якій наполягав Пуанкаре: критерієм існування є свобода від протиріччя. Всі ті формули, в які підставляються введені для таких предметів значки, не повинні суперечити один одному. Більш ясним цей критерій стає при зверненні до аксіоматичної побудови математики. Паункаре писав: "Якщо ми маємо ... систему постулатів, і якщо ми можемо довести, що ці постулати не містять в собі протиріччя, то ми маємо право розглядати їх як визначення одного з тих понять, які фігурують у цій системі пропозицій "([48] с.373). Ще ясніше така інтерпретація стає видно, якщо вдатися до більш пізньої термінології. Предмет існує, якщо він виявляється умови у несуперечливою теорії. Такий підхід до проблеми існування відразу ж ставить проблему несуперечності. Ми обговоримо це докладніше, коли будемо розглядати погляди Гільберта.

Нашою найближчою завданням буде поглиблення названих тут інтерпретацій існування. Кожна з них має досить солідну філософсько-математичну базу. Побудова такої бази вимагає виявлення ряду передумов, неявно присутніх в будь-якому математичному дискурсі. Свідоме прописування такого роду передумов (тобто робота, яку можна назвати вже чисто філософської) не раз робилося провідними математиками. До аналізу поглядів деяких з них ми зараз звернемося.

2 Концепція існування у Кантора

У роботах Георга Кантора є ряд пасажів, в яких він досить точно пояснює, що слід вважати існуючим в математиці. Звернемо увагу, перш за все, на наступний вислів.

"По-перше, ми можемо вважати цілі числа дійсними (тут, очевидно, мається на увазі "дійсно існуючими" - Г.Г.) доти, доки вони займають на основі визначень цілком певне місце в нашому розумі, цілком ясно відрізняються від всіх інших складових частин нашого мислення, знаходяться до них у певних відносинах і, таким чином, визначеним видозмінюють субстанцію нашого духу. "Такого роду реальність Кантор називає "інтрасуб'ектівной" або "іманентної", яку він відрізняє від реальності "транссуб'ектівной" або "транзіентной". Остання приписується числах "остільки, оскільки їх доводиться розглядати як вираження чи відображення процесів у зовнішньому світі, протистоїть інтелекту ". Зовнішній світ, що важливо, включає як "тілесну", так і "духовну природу". "Для мене - пише далі Кантор - не підлягає ніякому сумніву, що обидва ці види реальності завжди збігаються в тому сенсі, що яке-небудь поняття, прийняте за існуюче в першому відношенні, має у відомих, навіть нескінченно багатьох відношеннях транзіентной реальністю. "([31], c.79)

Отже "транзіентная реальність", будучи трансцендентним інтелекту зовнішнім світом, все ж таки абсолютно адекватно представлена певними поняттями. Ця визначеність і повинна служити свого роду критерієм існування. Оскільки основні зусилля Кантора спрямовані на обгрунтування реальності об'єктів створюваної ним теорії нескінченних множин, то мова повинна йти головним чином про визначеність цих множин та їх елементів. Якщо нам вдасться встановити їх ясну "відмінність від всіх інших складових частин нашого мислення ", то ми можемо бути впевнені, що вони цілком адекватно представляють предмети зовнішнього світу (причому, швидше "духовної" ніж "тілесною" природи - оскільки мова йде про нескінченні множини). Тому математика "при розвитку своїх ідей повинна вважатися єдино лише з іманентної реальністю своїх понять і зовсім не зобов'язана перевіряти також їх транзіентную реальність "(с. 79-80; курсив Кантора). Тут доречно наступне міркування, що проводиться Кантором дещо раніше. "Різноманіття (сукупність, безліч) елементів, що належать будь-якій сфері понять, я називаю цілком визначеним, якщо на основі його визначення і внаслідок логічного принципу виключеного третіх стає можливим розглядати внутрішньо визначеним як те, є чи не є його елементом будь-який об'єкт з цієї сфери понять, так і те, рівні чи ні один одному два належать безлічі об'єкта, незважаючи на формальні відмінності в способах їх завдання. " ([31], c. 50-51; Курсив Кантора).

З'ясовувати чи належить цей предмет вказаною численности, а також встановлювати його тотожність з іншим предметом на підставі закону виключеного третього, можна лише припустивши у нього наявність певних властивостей. Останнє означає, що предмет розглядається як сутність, яка може виступати в якості суб'єкта судження. Такий предмет має бути введений в міркування за допомогою родо-видового визначення, тобто знову ж таки через зазначення його істотних властивостей. Отже Кантор схильний розглядати безліч саме як клас сутностей об'єднаних на основі певної спільності ознак. Оскільки в його теорії самі безлічі можуть розглядатися як елементи інших множин, то значить і самі ці класи слід вважати сутностями. Будь-яка сутність-безліч задається за допомогою набору визначальних властивостей своїх елементів, через які встановлюються також і властивості самої цієї сутності.

Об'єкти своєї теорії Кантор вводить за допомогою відволікання загальних ознак, притаманних класу подібних предметів. Саме так він визначає поняття потужності і порядкового типу. Обидві названі характеристики він розглядає як загальну властивість множин "виникає шляхом абстрагування від всіх особливостей". Зокрема Кантор пише: "Тим, що ми мислимо тільки про те, що є спільним для всіх множин, що належать одному і тому ж класу, ми отримуємо поняття потужності або валентності "([31], c. 248; курсив Кантора). Так само пише він і про порядкові типи: "Я розглядаю цілі числа та порядкові типи як універсалії, які відносяться до множинам і виходять з них, коли абстрагуються від властивостей елементів "(c. 269). З останнього уривка очевидно, що Кантор намагається розглядати трансфінітние числа за аналогією з кінцевими цілими числами. Останні дійсно можна розглядати як результат абстрагування від особливих властивостей кінцевих множин. Так число чотири є те спільне, що притаманне чотирьох яблук, чотирьох ніжок стільця, чотирьох кутах квадрата і т.д. - Це дуже традиційне уявлення, висхідний від Аристотеля. Кантор ж схильний розглядати будь-яку кількість як сутність. Воно повинно вважатися існуючим, якщо кожен його елемент цілком визначений. Тоді і саме безліч цілком визначено і його істотна ознака (тобто йогопорядкове число) також розглядається як цілком певний. Кантор, очевидно, схильний субстантівіровать і ці істотні ознаки. Він навіть намагається описати їх у арістотелівські категоріях матерії і форми, стверджуючи, що сукупність елементів безлічі слід розглядати як матерію порядкового числа, а порядок, що існує між цими елементами, як форму (c. 270-271). (Див. примітку 1)

3 Брауеровская інтерпретація існування

Вище ми виділили таке розуміння існування предмету в математиці, що засноване на можливості безпосередньо вказати на цей предмет за допомогою певної завершеної процедури. Іншими словами, предмет існує тоді, коли може бути сконструйований. Твердження, що така інтерпретація існування є атрибутом інтуіціоністской школи (істотною ознакою, що відрізняє її від інших шкіл) давно стало загальним місцем. Виразна формула -- "esse = construi" - розглядається (і, очевидно, не без підстави) як девіз всього цього напрямку. Важливо, втім, мати на увазі, що наведена фраза належить Карла Поппера, дуже критично ставляться до інтуіціонізму ([46], c. 473-479). Як би точно ні характеризувало попперовское вираз інтуіціоністское розуміння існування, воно потребує серйозного поглиблення.

Конструктивність математичних об'єктів не з'являється в математиці інтуіціоністской школи як щось само собою зрозуміле. Принаймні для Брауера (про який ми і будемо говорити в подальшому) вона виявляється необхідним наслідком аналізу когнітивної діяльності людини. Структура математичного міркування (як його представляє Брауер) відбиває насамперед цю діяльність, більше того, є найбільш чистим її виразом.

Брауеровская математика (як і вся математика інтуіціоністской школи) найчастіше розглядається у контексті кризи підстав, викликаного виявленням відомих парадоксів і антиномій. Тому у вимозі конструктивності математичних об'єктів бачать, головним чином, спробу усунути з математики саму можливість протиріччя. Однак сам Брауер, очевидно, йде набагато далі цієї спроби. У цілому ряді його робіт виявляється не стільки математичний, скільки суто філософський інтерес автора. У всякому разі в тих статтях, на які ми маємо намір надалі спиратися, Брауер заклопотаний не обгрунтуванням коректності математичних процедур, а дослідженням когнітивної діяльності думки як такої. При цьому він має явний намір заснувати принцип існування в математиці на вихідних структурах думки. Їм робиться спроба трансцендентального аналізу, покликаного обгрунтувати основні математичні поняття як похідні від форм інтелектуальної діяльності.

Брауер представляє когнітивну активність людини у вигляді послідовності ясно відмітних один від одного сприймань. У роботі "Про підстави математики "він писав так:" Людина спостерігає у світі послідовності подій, причинні ланцюги, що розгортаються в часі. Основним феноменом цього спостереження є сама інтуїція часу, в якій відбувається повторення сприйнять або дій. Ця інтуїція виявляється як послідовність моментів, розбивають життя на послідовність речей, якісно відмітних один від одного "([65], c. 99). Чи не саме по собі сприйняття визначає структуру думки. Брауер виділяє дещо, зване "елементарний акт думки", який описує як "поділ моментів життя на якісно різні частини, які, будучи розділені лише часом, можуть бути знову об'єднані ". (Див. примітку 2) З цього, не дуже ясного висловлювання можна зробити висновок, що акт думки не є просте дію або сприйняття, пов'язане з певним моментом часу. Елементарний акт думки полягає саме в розрізненні моментів. Іншими словами елементарний акт думки виробляє виділення деяких відмінних один від одного індивідів, причому відмінність їх визначається що розділяють їх тимчасовими проміжками. Проводиться, таким чином, організація часу, в якому, як в деякій аморфної середовищі, виділяються фіксовані дискретні моменти. Це означає, що діяльність думки визначена двома основними інтуїції: дискретна послідовність і безперервна середу (лінійний континуум).

Природним прикладом такої розчленований діяльності є поділ відрізка прямої лінії при нанесенні на нього послідовності точок. Сама побудова відрізка, відрізняються від інших відрізків, його виділення як окремого сприйняття можна вважати елементарним актом думки. Але серія інших елементарних актів, які перебували у розподілі збудованого відрізку, дозволяє розрізняти в його межах інші сприйняття, частини цього відрізка. Самі сприйняття, (Див. примітку 3) будучи обмежені якимись кордонами (кінці відрізка) можуть бути безмежно подільні. Ми вважаємо, що саме це мав на увазі Брауер, коли писав: "Можливість уявного об'єднання декількох одиниць, пов'язаних деяким проміжком, ніколи не вичерпується вставленим нових одиниць "([55], c. 245). У результаті процедури поділу відрізка ми структуруємо раніше нерозчленованим єдність і створюємо певну дискретну послідовність у межах безперервної середовища. Таким чином ми все більше визначаємо цю саму середу, встановлюючи відносини її частин.

Дві основні інтуїції думки знаходяться, отже, у стані постійного взаємного визначення та доповнення. Дискретна послідовність моментів структурує аморфну середу, щось постійно недоопределенное, яке залишається між названими моментами. (Див. примітку 4) Наведений нами геометричний приклад є парадигмальний для опису будь-якої когнітивної діяльності. Остання, як видно, полягає в розрізненні моментів сприйнять в безперервній тимчасової середовищі і розчленовування і уточнення самих сприймань.

Математика являє собою найбільш чисте і, мабуть, найбільш розгорнуте вираз такої діяльності. Френкель і Бар-Хілел призводять наступне вислів Брауера: "Початкова інтуїція математики і всякої інтелектуальної діяльності являє собою основу всіх спостережень за якимись б то не було змінами, оскільки при цих змінах ігноруються всі якісні властивості "([55], c. 240; курсив наш - Г.Г.).

Відволікання від усякого чуттєвого змісту дискретної послідовності розрізняє актів думки і створює уявлення цілого числа, точніше, послідовності цілих чисел, рахунки. При цьому континуум, який Брауер також називає основною інтуїцією, виявляється як би в підлеглому положенні. Він повинен бути визначений в ході розгортання дискретної (числовий) послідовності.

Числова послідовність виявляється для Брауера основним математичним об'єктом. Конструювання, яке, згідно з зауваженням Поппера, є єдиним онтологічно значущою для математики процесом, слід розглядати саме як конструювання числових послідовностей. Втім, таке конструювання часто є не самоціллю, а швидше за способом визначення безперервного протяжного предмета. Останній, звичайно, не є реальність, дана до всякого побудови. Він - середу, а не річ. Існує те, що відбувається в цьому середовищі, точніше, що створюється суб'єктом, що діє в межах, визначених цим середовищем. Створюється ж їм дискретна числова послідовність. Основним ставленням для будь-якій послідовності є ставлення 'до-після' (відношення порядку). Це відображає провідну роль інтуїції часу в математиці. Структура відмінності, що вноситься суб'єктом у середу, є тимчасової структурою. Основним розрізненням, що існують між створюваними елементами, є розрізнення в часі. Визначеність предмета виникає, однак ще за однієї умови, що й робить, на наш погляд, остаточно ясною роль конструктивності. Необхідно взяти до уваги ще одну важливу характеристику когнітивної діяльності, на яку вказує Брауер. "Людське поведінка включає спробу утримувати досить довгу ланцюг 'речей' з тим, щоб мати можливість перейти в думках від останньої до більш ранньої. Результатом такої дії є виявлення правила, закону, формує послідовність "([65], с. 99).

Коль скоро когнітивна діяльність має на увазі утримання в думці деякого єдності, чогось цілого, що сталися в послідовних сприйняттях (або дії), то математика повинна, висловлюючи цю здатність, конструювати єдиний предмет з багатьох елементів послідовності. "Людське розуміння засноване на конструюванні звичайних математичних систем так, що кожен індивідуальний елемент життя пов'язаний з відповідним елементом системи "(Там же). Конструкція, таким чином, виявляється необхідна тому, що створює єдність багатьох конструктивних елементів (розрізнення моментів або сприйняття). Конструювання, отже, лежить в основі людського розуміння всякого предмета взагалі. Завдяки створеної конструкції, предмет постає людині як існуючий. Особливо це важливо якщо мова йде про довжину предмет, представлення якого пов'язане з дленіем, з безперервно триваючим сприйняттям. Сенс конструювання тоді полягає у створенні цілісної структури помітних елементів у текучої і невизначеною середовищі.

Брауер, отже, була реалізована трансцендентальна установка, причому в тому вигляді, в якому вона прописана у Канта. До онтологічної проблематики він підходить з боку аналізу міркування і з'ясовує як повинен бути влаштований предмет, щоб фігурувати в міркуванні як існуючого. Більш того, Брауер з'ясовує, що предмет має бути для цього створено в результаті конструктивної діяльності, що розгортається в часі. Така конструктивна діяльність зводиться до створення єдиної структури - саме так зрозумілий математичний об'єкт може розглядатися як існуючий. Єдина структура, з іншого боку, розгортається відповідно до закону, правилу, що встановлюється для ряду "речей" або істотне. Мабуть важко інтерпретувати це правило інакше, як дія здатності судження, як встановлення узагальнюючої гіпотези для сукупності установлених раніше фактів.

4 Інтерпретація існування у філософії математики Гільберта

Розуміння існування математичного предмета в рамках формального напрямку в математики видається, на перший погляд, зовсім протилежним інтуіціоністскому. У книзі Френкеля і Бар-Хілелом ([55], c. 322), стверджується, що Гільберт швидше за все солідаризувався б у цьому питанні з Пуанкаре, ототожнюючи існування зі свободою від протиріччя. Наступний пасаж із роботи Гільберта "Про поняття числа" уточнює і підтверджує цю точку зору.

"У доказі несуперечності встановлених аксіом я вбачаю разом з тим і доказ існування сукупності дійсних чисел або -- вживаючи вираз Кантора - доказ того, що система дійсних чисел є 'консистентним' (готовим) безліччю ... "І далі: "... під безліччю дійсних чисел ми повинні, відповідно до цієї точці зору, розуміти не сукупність усіляких законів, яким будуть слідувати елементи фундаментальних послідовностей, а скоріше - як це було викладено вище - систему речей, взаємини яких задаються за допомогою раніше вказаної кінцевої і замкнутої системи аксіом. "([15], c. 320).

Звернемо, перш за все, увагу на серйозність розбіжності Гільберта з Брауер. Він (Гільберт) абсолютно недвозначно говорить про безліч дійсних чисел, як про існуючому об'єкті. Таке припущення абсолютно неможливо для Брауера, оскільки безліч дійсних чисел, зрозуміле до того ж як сукупність "речей", повністю виключається будь-якої інтуїцією і не може бути розроблений таким чином. Ми очевидно маємо справу з принципово іншої філософської установкою, що виражається, зокрема, у спробі інакше (чому базуючись на понятті конструктивності) визначити онтологічний статус предмета.

З іншого сторони, однак, не потрібно глибокого проникнення в суть формальної математики, щоб побачити безліч рис, що зближують її з інтуіціоністской. Перш за все, звертає на себе увагу слово "фінітного", використане самим Гільбертом в якості основної характеристики свого методу міркування. Сам цей термін, явно вказує на завершеність здійснюваних процедур (тобто, по суті, на конструктивність), міг би бути застосований і до інтуіціоністской математики. Якщо ж говорити про спроби визначення фінітного, починалися саме в рамках гільбертовской школи, то вони часом викликають повне відчуття того, що мова йде про основні посилках інтуіціонізма. Френкель і Бар-Хілел, наприклад, в якості остаточної формули фінітного методу міркування приводять наступну цитату з Ж. Ербрана (відомого математика - Учня Гільберта): "Завжди розглядається лише кінцеве і певне кількість предметів і функцій, функції ці точно визначені, причому визначення дозволяє зробити однозначний обчислення їх значень; ніколи не стверджується існування якого-небудь об'єкта без вказівки способу побудови цього об'єкта; ніколи не розглядається (як цілком визначене) безліч всіх предметів X будь-якої нескінченної сукупності "([55], c.321). Напевно будь-який представник інтуіціоністского або конструктивного напряму впізнав би в наведеному уривку опис свого власного методу міркування. Мова проте йде про основні принципи формального методу. Зазначимо, до речі, що наведене визначення явно суперечить цитованого вище міркування Гільберта про існування множини всіх дійсних чисел. Останнє аж ніяк не є об'єктом, для якого можна вказати спосіб побудови, однак Гільберт вважає його існуючим. Пояснюється таке протиріччя лише тим, що наведене тут опис належить не Гільберт, а математику, який міг у чомусь розходиться зі своїм учителем? Чи слова Ербрана про існування потрібно розуміти дещо інакше, ніж ті ж самі слова, написані інтуіціоністом?

У книзі Гільберта і Бернайса [18] також є опис фінітного методу міркування. Важливим уточненням по відношенню до визначення Ербрана є, перш за все, вказівка на наочність фінітного об'єкта. Кращим прикладом, який ілюструє цю наочність, є міркування, що проводиться в формальної алгебри ([18], c. 56-58). Маючи запас літер (змінних) і спеціальних знаків, ми, діючи в рамках цієї дисципліни, конструюємо об'єкти (поліноми), керуючись заздалегідь заданими правилами. Починаючи з найпростіших об'єктів, що складаються з однієї літери, ми можемо побудувати безліч різноманітних і дуже складних об'єктів. У рамках, обумовлених правилами процедур, можуть доводитися різні затвердження і встановлюватися властивості конструюються об'єктів. Але яким би не було проведене міркування, його справедливість може бути перевірена наочно, оскільки воно завжди безпосередньо представлено перед очима. Дізнатися що-небудь про предмет означає побудувати його, будь-який предмет алгебри виникає під руками дослідника і процедура його виникнення повністю доступна спостереження. Фінітного міркування характеризується в [18] як "пряме змістовне міркування, що проходить у вигляді уявних експериментів над наочно уявити об'єктами. "(с. 59).

Якби, займаючись математикою, ми могли б постійно залишатися в рамках фінітного міркування, то природно було б розуміти існування математичного об'єкта в сенсі його конструктивності. Проте предмети математики дуже часто не є фінітного об'єктами. В [18] приводиться цілий ряд прикладів того, як в математиці виникають предмети, які неможливо сконструювати і які не можуть бути представлені наочно. Вже арифметика вимагає використання нефінітних міркувань, вдаючись до "tertium non datur" для обгрунтування висловлювань про цілих числах. Число, про властивості якого ми судимо на підставі закону виключеного третього, не представлено наочно, і може не бути доступно конструювання за допомогою кінцевої процедури (с. 62-64).

Математичний аналіз, в його класичному викладі, практично повністю заснований на міркуваннях про нефінітних предметах. Нефінітним є дійсне число (про що ми говорили вище), яке визначається через нескінченну сукупність цілих чисел (с. 64-67). Але аналіз не обмежується розглядом нескінченної сукупності цілих чисел - він звертається до предметів "ще більш нефінітним "(якщо можна так висловитися), розглядаючи нескінченні сукупності дійсних чисел як актуально даних предметів. Міркування, що використовуються при цьому, ніяк не можуть апелювати до наочності. Природно, що звернення до конструктивності, як критерієм існування, виявляється безглуздим для математичного аналізу. Говорячи точніше, цей критерій змушує вважати названі (нефінітние) предмети свого роду химерами, дивними вигадками математиків, які просто не існують.

Такий жорсткий висновок і був, власне, зроблений інтуіціоністской школою, реалізація програми якої полягала в значному урізуванні всієї математики. Намір Гільберта було прямо протилежним: обгрунтувати коректність тих частин математики, для яких істотно звернення до принципово нефінітним предметів. Мабуть це й зумовило його звернення до тієї інтерпретації існування, яка була в свого часу запропонована Пуанкаре. Розроблений Гільбертом аксіоматичний підхід дозволяв досить ясно сформулювати, що означає свобода від протиріччя в як критерій існування (див. вище - про існування сукупності дійсних чисел). Доказ існування, таким чином перетворювалося на доказ несуперечності системи аксіом. Те, як Гільберт припускав доводити несуперечність, надає поняттю фінітного зовсім новий зміст.

Суть стратегії Гільберта зводилася до того, щоб, формалізувати основні методи міркування у математики, встановити їх несуперечність шляхом аналізу самого міркування (См, наприклад, [11], [12], [14], [18], [50], [55], [62]). Об'єктом вивчення стали не математичні предмети, а міркування про ці предмети. Але міркування в математики, як і всяке людське міркування взагалі, навіть будучи звернена до нескінченного предмету, само залишається кінцевим. Тому наука, що вивчає міркування, названа Гільбертом метаматематиці, за визначенням має справу тільки з фінітного об'єктом. Сама математика може скільки завгодно оперувати з нескінченністю. Але це її оперування буде завжди виражено у вигляді кінцевого тексту, записаного за певними правилами. Вимога наочності виявляється тут особливо важливим. Ми можемо бути впевнені в вироблюваних нами математичних міркуваннях, якщо доведена їх несуперечність. Доказ ж несуперечності, вироблене на метауровне, може і має бути наочним, безпосередньо очевидним. Об'єкт, конструюються в ході метарассужденія, виникає в нас на очах і його властивості (зокрема, властивість несуперечності) виявляється наочно уявленим і безпосередньо підприємством, що перевіряється. Тут особливу роль відіграє знакова природа математичної міркування.