Історія математики
I . Введення
В історії математики розглянутий нами період
існування Олександрійської школи носить назву «Першої Олександрійської
школи ». З початку нашої ери на основі робіт олександрійських математиків
починається бурхливий розвиток ідеалістичної філософії: знову відроджуються ідеї
Платона і Піфагора, і ця філософія неплатників і неопіфагорейцев швидко
знижує наукове значення робіт нових представників математичної думки. Але
вага ж математична думка не завмирає, а час від часу проявляється в
роботах окремих математиків. Другий період, в який протікала робота
Олександрійської школи, носить назву «Другий Олександрійської школи».
II . Герон Олександрійський
До числа представників Олександрійської
школи на початку другого періоду її існування треба віднести Герона
Олександрійського, який жив, імовірно, у I ст. до н. е.. Герон був видатним
грецьким інженером і вченим. Він відомий багатьма своїми винаходами, роботами
геодезичного характеру, а також математичними роботами, що відносяться
головним чином до питань геометричній метрики. З його робіт, що мають
значення для математики, можна відзначити «Метрика» та «Про діоптр». У «Метрика»
наводяться правила і вказівки для точного і наближеного обчислення площ і
об'ємів різних фігур і тіл; серед них є і формула для визначення
площі трикутника за трьома його сторонам, що ввійшла в математику під ім'ям
формули Герона. Крім того, у цій роботі вказуються приклади рішення квадратних
рівнянь і наближеного обчислення квадратних і кубічних коренів.
Характерною особливістю «Метрики», що виділяє її з ряду інших робіт
грецьких геометрів, що передували Герона, є та обставина, що в
ній зазвичай правила даються без доказів, а лише з'ясовуються на окремих прикладах.
Це значно знижує переваги роботи і, поза сумнівом, є ознакою
недостатньої наукової підготовки її
автора. Але в області практичних, додатків математики Герон перевершує багатьох
своїх попередників. Найкращою ілюстрацією цього є його робота «Про
діоптр ». У цій праці викладаються методи різних робіт геодезичного
характеру, причому мірничий зйомка проводиться за допомогою винайденого
Героном приладу діоптрій. Цей прилад є прообразом сучасного теодоліта.
Головною його частиною служила лінійка з укріпленими на кінцях її візирями. Ця
лінійка оберталася по колу, який міг займати і горизонтальне і вертикальне
положення, що давало можливість намічати напрямки як в горизонтальній,
так і у вертикальній площині. Для правильності встановлення приладу до нього
приєднувалися схил і рівень. Користуючись цим приладом і вводячи фактично в
вживання прямокутні координати, Герон міг вирішувати на місцевості різні
завдання: виміряти відстань між двома точками, коли один з них або обидва
недоступні спостерігачеві; провести пряму, перпендикулярну до недоступною прямої
лінії; знайти різницю рівнів між двома пунктами; виміряти площу найпростішої
фігури, не вступаючи на що вимірюється майданчик.
Твори Герона давали його
сучасникам багатий матеріал, практичне використання якого цілком
задовольняло питань будівництва та землеробства, а тому ці твори
користувалися великим успіхом протягом багатьох століть.
III . Нікомах, Менелай
Наприкінці I ст. н. е.. треба
відзначити появу праць неопіфагорейца Нікомаха. Його робота «Введення
в арифметику »є першою працею з арифметики, викладеним незалежно від
геометрії, і тому вона надавала свій вплив на вивчення арифметики не менше
тисячі років. Тим часом ця робота не містить в собі нічого особливо
оригінального. Основною її ідеєю є класифікація чисел, причому вона проводиться
на засадах, цілком спираються на числову містику. У числову класифікацію
Нікомаха входять також і багатокутні числа за зразком піфагорейський. Найбільш
цікавим у «Арифметиці» Нікомаха є розділ підсумовування числових рядів.
Тут ми зустрічаємо, наприклад, вказівка на те, що кубічні числа представляють
собою суми послідовних непарних чисел. Так, 13 = 1; 23 =
3 + 5; 33 = 7 + 9 + 11; 43 = 13 + 15 + 17 + 19 і т. д.
Современником Нікомаха треба
вважати астронома і геометра Менелая Олександрійського, який написав
трактат про сферичних трикутниках, що з'явилися в свій час як би фундаментом
сферичної геометрії. У цій же праці Менелая знаходиться його знаменита
теорема, згідно з якою «якщо якась пряма лінія перетинає три
сторони трикутника або їх продовження, то добуток трьох відрізків, не
мають спільних точок, так само твору трьох інших відрізків ».
IV . Клавдій Птолемей
До II ст. відноситься діяльність Клавдія
Птолемея. Оп працював головним чином в області астрономії, причому його
астрономічні спостереження відносяться до часу між 125 і 151 р. (Як
астроном Птолемей розробив геоцентричну систему світу, згідно з якою
Земля нерухомо спочиває в центрі світу, а всі небесні світила рухаються навколо
неї. Ця система була спростована Н. Коперником в його геліоцентричної
системі світу, яка вважає, що центром Всесвіту є Сонце, навколо
якого звертаються Земля й інші планети, причому всі планети обертаються навколо
своїх осей.) У своїх роботах він мимоволі стикався з поняттями
тригонометричного характеру, а тому йому вдалося внести значний внесок і
у розвиток тригонометрії. У своїх роботах астрономічних Птолемей вже не
поділяв годинник на денні та нічні, як це робили єгиптяни, а вважав їх рівними
за своєю тривалістю. Коло він поділяв на 360 градусів і кожен
градус ділив ще навпіл. Діаметр ж кола він ділив на 120 градусів,
вважаючи, таким чином, що довжина кола в 3 рази більше її діаметра; при
цьому кожен градус діаметру підрозділяють на 60 рівних частин, а кожну з цих
частин знову поділяв на 60 частин. У більш пізній час ці підрозділи
градуси отримали у римлян найменування partes minutae primae і partes minutae sekundae, що в перекладі означає «частини
менші першого »і« частини менші друга ». Від цих латинських слів нами і
запозичені назви для одиниць виміру кутів і часу - хвилина і секунда.
Головна робота Птолемея називалася «Велике
математична побудова астрономії в XIII книгах »або скорочено« Мегісте »(у
пер. з грец. «Найбільша»). В історію вона ввійшла під назвою «Альмагест»,
яке дали їй згодом араби.
У «Альмагест» Птолемей
обчислює величини хорд всіх дуг від 0 ° до 180о, причому значення хорд
дані для дуг через кожну 1/2 °. Для виконання цієї роботи Птолемей вводить свою
теорему, яка в історії математики носить назву теореми Птолемея і формулюється
так: добуток довжин діагоналей вписаного в коло чотирикутника одно
сумі творів довжин його протилежних сторін. З цієї теореми Птолемей
підучив слідства, що дозволяють з даного діаметру кола та за двома хорд,
стягує дуги a і b, обчислити хорди, що стягують дуги a + b і a - b. Користуючись отриманими співвідношеннями,
а також використовуючи вміння обчислювати боку вписані в коло правильних фігур
(трикутника, квадрата, п'ятикутника, шестикутника і десятіугольніка),
Птолемей і склав свою таблицю хорд, яке було попередником сучасних таблиць
синусів.
В історії математики Птолемей
відомий також тим, що він перший засумнівався в очевидності постулату Евкліда про
паралельних прямих і робив спроби довести його справедливість, тим самим
поклавши початок довгого ряду подібних спроб пізніших геометрів, поки Лобачевський
не показав безуспішність таких доказів, роз'яснивши їх неможливість.
V . Папп
Останньою великою геометром
Олександрійських шкіл слід визнати геометра III ст. Паппа. Йому
належало, як вважають значне число творі, з яких збереглося
лише «Математичне збори», та й то не в повному вигляді (з восьми книг цього
збірки повністю втрачена перша і не вистачає частини другої).
«Математичне збори» Паппа
має для історії математики велике значення: воно містить огляд праць попередників
Паппа, розвиває деякі їхні ідеї, коментує ці праці. Завдяки цьому для
нас збереглися відомості про багатьох математичних роботах древніх, які не
дійшли в оригіналах до нашого часу. Крім того, в роботі Паппа є і
деякі нові та оригінальні відкриття. Так як Папп не завжди називає
авторів наведених їм теорем, то нам важко судити, які належать теореми
йому самому і які - іншим авторам. Але по відношенню до деяких з них вважають
безсумнівним, що вони належать Папп. Багато хто з цих теорем мають
значний теоретичний і практичний інтерес. Теорема Паппа про інволюції
точок читається так: «Якщо на двох прямих, що лежать в одній площині, взяти по
три точки: на перший прямий точки 1, 5 і 3, а на другому-2, 4 і 6, то точки
перетину пар прямих 1-2 і 4-5, 2-3 і 5-6, 3-4 та 6 - 1 лежать на одній прямій МN (рис. 1).
Велике застосування має теорема, яка згодом була
перевідкриття Паулем Гюльденом (1577-1643), а тому і носить ім'я
останнього: об'єм тіла, утвореного обертанням плоскої фігури навколо
який-небудь що лежить в її площині прямої, дорівнює добутку площі фігури
на довжину кола, описаної при обертанні її центром ваги. Цікава
запропонована і вивчена Паппо спіраль, яка описується точкою, що рухається
уздовж дуги чверті кола, коли ця дуга обертається близько діаметру. З
інших теорем, доведених Паппо, наведемо ще такі: «Центр ваги
трикутника належить також іншому трикутнику, вершини якого лежать на
сторонах даного і поділяють ці сторони в одному і тому ж відношенні »;« Пряма,
з'єднує протилежні кінці паралельних діаметрів двох кіл, які мають
зовнішнє торкання, проходить через точку дотику ». Папп приписується також
рішення задачі про проведення через тієї точки, що лежать на одній прямій, трьох
прямих, що утворюють трикутник, вписаний в даний коло.
VI . Діофант
До числа олександрійських вчених
відносяться алгебраїст Діофант, що жив, імовірно, у III ст. Жив він
84 роки. Остання зведення взято з епіграми якогось Метродора,
вміщеній у так званій «Грецької антології». Зміст епіграми таке:
«Діофант прожив 1/6 своєму житті
в дитинстві, 1/12 в юності, наступну потім 1/7 частину свого життя був холостяком;
через 6 років після одруження у нього народився син, який помер на 4 роки раніше
свого батька і дожив до віку, удвічі меншої ніж літа його батька ».
Діофант написав твір,
названу ним «Арифметика». Цей твір різко відрізняється за своїм характером від
відомих нам інших математичних робіт стародавніх греків. Головна відмінність
полягає в тому, що викладення його відбувається суто аналітичним шляхом, хоча і
вводиться іноді геометрична термінологія. «Арифметика» Діофанта включає в
себе головним чином питання алгебри та теорії чисел. Треба відзначити, що Діофант
не викладав узагальнених методів для вирішення тих чи інших питань, а до вирішення
кожного окремого питання підходить з особливим методом. Це виявляє величезні
математичні здібності Діофанта, але сильно знижує наукову цінність його
праці-З 13 книг «Арифметики» до нашого часу збереглося тільки 6. У них
Діофант розглядає рішення рівнянь 1-й і 2-го ступеня, причому основне
увагу звертає на невизначені рівняння.
Алгебра Діофанта повинна бути
віднесена до так званого періоду «синкопованих алгебри», тобто до того
часу, коли в алгебр переходили від суто риторичного викладу (тобто
словесного) до використання більш коротких записів за допомогою скорочених слів і
деяких символів. Так, для зображення невідомого числа Діофант вводить
позначення S ', а коли це невідоме вживається у множині, то
згадане позначення подвоюється. Для кожної ступеня невідомого вводилися
відповідні синкопованих позначення. Для позначення віднімання
вживається знак, а для рівності - буква I. Зменшуємо писалося раніше мінусує,
а числові коефіцієнти - після невідомих. Безпосереднє дотримання однієї
запису за одною означало дію додавання.
Негативні числа Діофанта
відомі не були, але коли доводилося множити різницю двох чисел на різницю
двох інших чисел, то Діофант користувався, правилом: «віднімаємо число, будучи
помножена на обдираєте, дає додається, а, будучи помножена на додає,
дає віднімати ».
При рішенні рівнянь Діофант
визнавав лише позитивні раціональні відповіді, і до того ж для квадратного
рівняння він завжди знаходив тільки одна відповідь, якщо рівняння мало два
раціональних і позитивних кореня. Яким методом він вирішував квадратні
рівняння, невідомо, так як у збереглися до нашого часу книгах цього
пояснення не дано. Для рішення рівняння 1-го ступеня Діофант вдавався до
прийомів, описаним їм так: «Якщо тепер в якій-небудь задачі ті
ж мірою невідомого зустрічаються в обох частинах рівняння, але з різними
коефіцієнтами, то ми повинні віднімати рівні з рівних, поки не отримаємо одного
члена, який дорівнює одному числу. Якщо в одній або в обох частинах є члени
мінусує, то ці члени повинні бути додані до обох частинах так, щоб у
обох частинах були тільки додає. Потім знову потрібно віднімати рівні від
рівних, поки не залишиться лише по одному члену з кожної сторони ». Таким шляхом
Діофант досягав того, чого ми добиваємося перенесенням відомих членів в одну
бік рівності, а невідомих - в інший, приведенням подібних членів і
поділом на коефіцієнт при невідомому. При цьому треба відзначити, що Діофант,
як і всі древні математики, уникав дії поділу, замінюючи його повторним
вирахуванням.
VII . Теона і Гипатія
Вченими, завершили цикл
математиків Олександрійської школи, були Теона (IV ст.) і його дочка Гипатія
(370-415).
Теона виконав велику роботу,
коментуючи праці Евкліда і Птолемея. Що ж до гепатит, то, за відгуками
істориків, вона володіла великими знаннями в галузі математики та філософії і
коментувала праці Архімеда. Діофанта і Аполлонія. Вона є першим
відомої в історії математики жінкою-математиком. Їй належать також
філософські праці по тлумаченню Платона, Арістотеля я інших грецьких
філософів. До нашого часу не збереглося жодного з праць гепатит.
Висока вченість і красномовство, якими володіла Гипатія, її діяльну участь
у громадських справах міста створили їй популярність в Олександрії, але разом з
тим викликали ненависть з боку християнських релігійних фанатиків до наукового
«Язичником». У 415 р. вона за підбурювання єпископа Кирила була розшарпаний
натовпом християнських бузувірів. Послідовники й учні гепатит, яким вдалося
врятуватися від переслідування, бігли до Афін.
VIII . Занепад Олександрійської школи
останніми представниками олександрійських математиків, які внесли у математику
нові ідеї. Надалі значення олександрійських вчених знижується все більш і
більше. Це пояснюється як внутрішніми, так і зовнішніми умовами роботи в
Олександрійській школі. Державний лад, в умовах якого розвивалися
науки в Афінських і Олександрійських школах, лад, заснований на рабську працю,
не міг сприяти подальшому росту наукових знань. У перші роки існування
Олександрійської школи Птолемея були створені дуже сприятливі умови для
наукової роботи, тому що це було вигідно для правлячих класів: треба було
створити сильний і багата держава, що приносить і особисту вигоду Птолемея.
Розвиток техніки військової справи,
астрономії, географії, торгової справи і промисловості вимагав та швидкого
розвитку математики, а тому математика і мала всі дані для свого росту і
вшир і вглиб. Але коли матеріальні потреби правлячих класів були
задоволені досягнутими успіхами наук, то не стало і стимулу для заохочення
подальшого зростання наукових знань. Такі внутрішні умови, що викликали занепад математичних
наук в Олександрії. Але, крім них, існували й умови зовнішнього характеру.
Вже задовго до початку нашої ери стало все більш позначатися домагання Риму на
оволодіння територією, на якій була розташована Олександрія. У 47 р. до н.
е.., під час війни Юлія Цезаря проти Олександрії, була спалена її
чудова бібліотекука. Потім вона була відновлена, але, як Рим
остаточно оволодів Олександрією, почалася жорстока ворожнеча між християнами і
язичниками. Релігійна ворожнеча відгукнулася й на науці, тому що, по-перше, в
науку стала проникати християнська містика (що відгукнулося, наприклад, на
творіннях Нікомаха), а, по-друге, християнські фанатики стали переслідувати все
язичницьке, в тому числі й «язичницьку» науку. З наказу патріарха Теофіла в
391 р. в Олександрії було зруйновано храм бога Серапіса, а разом з храмом загинула
і бібліотека. Дні Олександрійської школи були пораховані.
Такий був кінець Олександрійської
математичної школи.
Останній короткочасний
розквіт математичних наук у Греції наголошується в V - VI ст. в Афінах. Афінська школа
цієї епохи працювала головним чином над тлумаченням робіт математиків колишніх
століть: Евкліда, Архімеда і ін Але і ця школа в 529 р. була закрита за
розпорядженням імператора Юстиніана як «поганська мерзоту».
IX . Висновок
З наведеного вище нарису
розвитку математичних знань у Древній Греції можна бачити, що за більш ніж
полуторатисячелетній період часу математична наука в Греції мала
значні досягнення. Це відноситься головним чином до елементарної
геометрії, яка в працях Фалеса, Піфагора, Платона і особливо Евдокса,
Евкліда і Архімеда придбала той зміст, який зберігається і в даний
час. У цій області грецькі математики зуміли побудувати цілком науковий
основу і дали строго дидактичне виклад теорії. Від греків ми отримали і
основи всієї геометричної термінології. Що ж до інших розділів
математики (арифметики, алгебри та тригонометрії), то в них були закладені
деякі основи науки, але повного розвитку ці розділи у греків не отримали.
Як ми бачили раніше, греки у своїх арифметичних дослідженнях відривалися від
практичного рахунку, суворо відокремлюючи арифметику від логістики, і це в
значною мірою гальмувало розвиток арифметики, так як ніяка наука не може
розвиватися у відриві від практики. Розвитку алгебри перешкоджало те, що ще
недостатньо увійшли до вживання символічні записи, натяк на які ми
вперше зустрічаємо в працях Діофанта, користувався лише окремими символами
і скороченнями запису. Своє значення алгебра отримала багато пізніше, коли в
зв'язку з розвитком символіки змогла допомогти і практичним розрахунками, і науковим
узагальнень. По відношенню до тригонометрії ми можемо сказати, що в Греції
тригонометрія не отримала самостійного значення, а була лише
допоміжним обчислювальним апаратом для астрономічних спостережень.
Однак якщо розглядати
розвиток у Стародавній Греції елементарної математики в цілому, то ми повинні
визнати, що зобов'язані грекам дуже великими досягненнями на цьому шляху.
Список літератури
Рибніков К. А. История математики: Підручник. - М.:
Изд-во МГУ, 1994. - 496 с.
Вигодський М. Я. Арифметика і алгебра в стародавньому світі.
М.: Наука, 1967
Будівництво Д. Короткий нарис історії математики. М.; Л.:
Наука, 1990
Колмогоров А. Н. Математика// Вікіпедія. 2-е изд. Т. 26,
464 - 483
Для підготовки даної роботи були використані
матеріали з сайту http://www.refcentr.ru/
