Міжнародний університет природи, суспільства і людини

"Дубна"

Кафедра вищої математики

Кафедра системного аналізу та управління

Курсова робота з теорії ймовірностей і математичної статистики на тему:

Залежність кількості лейкоцитів у крові людини від рівня радіації студентки 2 курсу групи 2101

Березиною Ірини Володимирівни

Керівники: проф. Чавлейшвілі М. П. асистент Крейдер О. А. асистент Возвишаева Н. А.

Дубна, 2003

Зміст
Введення ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3
Вихідні дані ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4
Постановка завдання ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 7
Теоретична основа ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... 8
Теорія ймовірностей ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .11
Математична статистика ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .14
Висновок ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 24
Список літератури ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 25
Додаток ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 26

Введення

У цій роботі буде проводитися дослідження числалейкоцитів у крові людини від рівня радіації. Це дослідження будепроводитися даних на основі вихідних, за допомогою методу найменшихквадратів, перевірки статистичних гіпотез а також за допомогою різнихгеометричних побудов. На основі отриманих результатів буде зробленийвисновок про існування залежності.

Вихідні дані

За Х прийнятий рівень радіації, за Y - кількість лейкоцитів у кровілюдини.
| X | Y |
| 0,626667 | 4527,237 |
| 0,653333 | 5108,709 |
| 0,646667 | 5207,555 |
| 0,773333 | 5458,406 |
| 0,78 | 5507,011 |
| 0,74 | 5673,077 |
| 0,8 | 5728,142 |
| 0,853333 | 5812,477 |
| 0,866667 | 5965,568 |
| 0,96 | 6149,168 |
| 0,92 | 6255,463 |
| 0,9 | 6329,594 |
| 1,093333 | 6332,226 |
| 0,86 | 6337,099 |
| 0,82 | 6385,752 |
| 0,953333 | 6391,242 |
| 0,926667 | 6595,454 |
| 0,96 | 6738,951 |
| 0,946667 | 6838,889 |
| 0,786667 | 7091,043 |
| 0,993333 | 7097,944 |
| 0,986667 | 7253,375 |
| 1,093333 | 7318,543 |
| 1,02 | 7379,69 |
| 1,046667 | 7391,09 |
| 1,026667 | 7408,133 |
| 1,14 | 7467,515 |
| 1,086667 | 7515,751 |
| 1,093333 | 7574,012 |
| 1,04 | 7608,591 |
| 1,006667 | 7717,174 |
| 1,013333 | 7803,208 |
| 1,04 | 7881,098 |
| 1,206667 | 8250,378 |
| 1,12 | 8464,471 |
| 1,266667 | 8506,901 |
| 1,266667 | 8506,901 |
| 1,266667 | 8506,901 |
| 1,12 | 8525,006 |
| 1,053333 | 8539,606 |
| 1,306667 | 8639,868 |
| 1,353333 | 8804,893 |
| 1,206667 | 8873,718 |
| 1,333333 | 8960,734 |
| 1,4 | 8975,02 |
| 1,213333 | 9260,916 |
| 1,166667 | 9332,443 |
| 1,453333 | 9469,077 |
| 1,573333 | 9539,758 |
| 1,4 | 9683,772 |
| 1,306667 | 9694,652 |
| 1,493333 | 9978,551 |
| 1,5 | 10012,91 |
| 1,4 | 10035,87 |
| 1,473333 | 10137,97 |
| 1,513333 | 10150,81 |
| 1,513333 | 10150,81 |
| 1,44 | 10156,15 |
| 1,586667 | 10166,75 |
| 1,473333 | 10172,3 |
| 1,453333 | 10327,17 |
| 1,566667 | 10370,44 |
| 1,613333 | 10484,95 |
| 1,58 | 10546,77 |
| 1,553333 | 10639,61 |
| 1,72 | 10710,06 |
| 1,78 | 10894,36 |
| 1,54 | 10904,36 |
| 1,673333 | 11133,19 |
| 1,7 | 11426,35 |
| 1,66 | 11483,3 |
| 1,833333 | 11530,38 |
| 1,8 | 11636,61 |
| 1,72 | 11685,42 |
| 1,646667 | 11755,89 |
| 1,653333 | 11829,51 |
| 1,78 | 11888,4 |
| 1,84 | 12092,16 |
| 1,846667 | 12168,77 |
| 1,866667 | 12438,43 |
| 2,033333 | 12787,44 |
| 1,933333 | 13261,7 |
| 2,033333 | 13298,56 |
| 1,946667 | 13381,07 |
| 2,013333 | 13643,99 |
| 2,073333 | 13826,9 |
| 2,146667 | 14134,15 |
| 2,36 | 14770,7 |
| 2,26 | 14869,74 |
| 2,44 | 15085,68 |
| 2,286667 | 15170,25 |
| 2,533333 | 15448,3 |
| 2,52 | 15974,4 |
| 2,273333 | 16240,57 |
| 2,193333 | 16377,2 |
| 2,673333 | 16409,9 |
| 2,566667 | 16562,52 |
| 2,553333 | 17086,62 |
| 2,5 | 17102,3 |
| 2,673333 | 17181,38 |

Таблиця 1. Вихідні дані

Постановка завдання

У даній роботі на підставі наявних даних провести статистичнийаналіз генеральної сукупності заданих чисел. Роблячи цей аналіз,використовувати різні числові функції, а також і графічні: діаграму ігістограми розсіяння, регресії. За кореляційної таблиці підрахуватидеякі характерні величини. На підставі цього перевірити статистичнігіпотези, погодити вихідні дані з теорією.

Теоретична основа

З давніх часів людина удосконалював себе, як фізично, так ірозумово, постійно створюючи й удосконалюючи знаряддя праці. Постійнанедостача енергії змушувала людину шукати й знаходити нові джерела,впроваджувати їх, не піклуючись про майбутнє. У пориві за відкриттями наприкінці XIX ст.двома вченими: П'єром Кюрі і Марією Склодовської-Кюрі було відкрите явищерадіоактивності. Саме це досягнення поставило існування всієї планетипід загрозу. За 100 з гаком років людина наробив стільки дурниць, скількине робив за все своє існування. Давно вже пройшла Холодна війна, ми вжепережили Чорнобиль і багато засекречені аварії на полігонах, однакпроблема радіаційної погрози нікуди не пішла і до цього дня служить головноюзагрозою біосфері.

Радіація відіграє величезну роль у розвитку цивілізації на даномуісторичному етапі. Завдяки явищу радіоактивності був зробленийістотний прорив в області медицини й у різних галузяхпромисловості, включаючи енергетику. Але одночасно з цим стали всевиразніше виявлятися негативні сторони властивостей радіоактивних елементів:з'ясувалося, що вплив радіаційного випромінювання на організм може матитрагічні наслідки. Подібний факт не міг пройти повз увагугромадськості. І чим більше ставало відомо про дію радіації налюдський організм і навколишнє середовище, тим суперечливіше ставалидумки про те, наскільки велику роль повинна грати радіація в різнихсферах людської діяльності.

Вплив радіації на організм може бути різним, але майже завждивоно негативно. У малих дозах радіаційне випромінювання може статикаталізатором процесів, що призводять до раку або генетичних порушень, а ввеликих дозах часто приводить до повної або часткової загибелі організмувнаслідок руйнування кліток тканин.

Складність у відстеженні послідовності процесів, викликанихопроміненням, пояснюється тим, що наслідки опромінення, особливо приневеликих дозах, можуть проявитися не відразу, і найчастіше для розвитку хворобипотрібні роки або навіть десятиліття. Крім того, внаслідок різноїпроникаючої здатності різних видів радіоактивних випромінювань вони роблятьнеоднаковий вплив на організм: (-частки найбільш небезпечні, однак для
(-випромінювання навіть лист паперу є нездоланною перешкодою; (-випромінюванняздатне проходити в тканині організму на глибину один-два сантиметри;найбільш невинне (-випромінювання характеризується найбільшою проникаючоюздатністю: його може затримати лише товста плита з матеріалів, що маютьвисокий коефіцієнт поглинання, наприклад, з бетону чи свинцю.

Також розрізняється чутливість окремих органів до радіоактивноговипромінювання. Тому, щоб одержати найбільш достовірну інформацію проступеня ризику, необхідно враховувати відповідні коефіцієнтичутливості тканин при розрахунку еквівалентної дози опромінення:

0,03 - кісткова тканина

0,03 - щитовидна залоза

0,12 - червоний кістковий мозок

0,12 - легені

0,15 - молочна залоза

0,30 - інші тканини

1,00 - організм в цілому .

Імовірність ушкодження тканин залежить від сумарної дози і від величинидозування, тому що завдяки репараційні здібностям більшість органівмають можливість відновитися після серії дрібних доз.

Якщо надходження радіоактивних речовин було одноразовим, токонцентрація їх у крові спочатку зростає до максимуму, а потім упротягом 15-20 доби знижується.

При підвищенні рівня радіації підвищується рівень лейкоцитів у крові.

Лейкоцити, або білі кров'яні тільця, - це безбарвні клітини,містять ядра різноманітної форми. В 1 мм куб крові здорової людиниміститься близько 6-8тис лейкоцитів. При розгляді в мікроскоп мазказабарвленої крові можна помітити, що лейкоцити мають різноманітну форму.
Розрізняють дві групи лейкоцитів: зернисті і незерністие. У першу вцитоплазмі містяться дрібні зерна (гранули), фарбують різнимибарвниками в синій, червоний чи фіолетовий колір. У незерністих формлейкоцитів таких зерен немає. Серед незерністих лейкоцитів розрізняютьлімфоцити (круглі клітини з дуже темними, округлими ядрами) і моноцити
(клітини більшої величини, з ядрами неправильної форми). Зернисті лейкоцитипо-різному ставляться до різних барвників. Якщо зерна цитоплазми кращефарбуються основними (лужними) фарбами, то такі форми називаютьбазофілами, якщо кислими - еозинофілами (еозин - кислий барвник), а якщоцитоплазма забарвлюється нейтральними фарбами - нейтрофілами. Міжокремими формами лейкоцитів існує певне співвідношення.
Співвідношення різних форм лейкоцитів, виражене у відсотках, називаютьлейкоцитарної формулою. При деяких захворюваннях спостерігаються характернізміни співвідношення окремих форм лейкоцитів. У разі глистова інвазіїзбільшується кількість еозинофілів, при запаленнях зростає числонейтрофілів, при туберкульозі часто відзначають збільшення кількостілімфоцитів. Часто лейкоцитарна формула змінюється протягом захворювання. Угострий період інфекційного захворювання, при тяжкому перебігу хвороби,еозинофіли можуть не виявитися в крові, а з початком одужання, ще довидимих ознак поліпшення стану хворого, вони чітко видно підмікроскопом. Кількість лейкоцитів у крові може змінюватися. Після прийому їжі,важкої м'язової роботи вміст цих клітин у крові збільшується.
Особливо багато лейкоцитів з'являється в крові при запальних процесах.
Лейкоцитарна формула також має свої вікові особливості: високазміст лімфоцитів і мала кількість нейтрофілів у перші роки життяпоступово вирівнюється, досягаючи до 5-6 років майже однакових величин.
Після цього відсоток нейтрофілів неухильно зростає, а відсоток лімфоцитівзнижується. Основна функція лейкоцитів - захист організму відмікроорганізмів, чужорідних білків, сторонніх тіл, що проникають у кров ітканини. Лейкоцити мають здатність самостійно рухатися, випускаючиложноножкі (псевдоподии). Вони можуть залишати кровоносні судини, проникаючичерез судинну стінку, і пересуватися між клітинами різних тканинорганізму. При уповільненні руху крові лейкоцити прилипають до внутрішньоїповерхні капілярів і у величезному кол-ве залишають судини, протискуючисьміж клітинами ендотелію капілярів. По шляху свого проходження вонизахоплюють і піддають внутрішньоклітинного перетравлення мікробів і іншісторонні предмети. Лейкоцити активно проникають через неушкоджені судинністінки, легко проходять через мембрани, переміщаються в сполучної тканинипід дією різних хімічних речовин утворюються в тканинах. Укровоносних судинах лейкоцити пересуваються уздовж стінок. Іноді навітьпроти течії крові. Швидкість руху не всіх клітин однакові. Найбільшшвидко рухаються нейтрофіли - близько 30 мкм в 1 хв, лімфоцити і базофілипересуваються повільніше. При захворюваннях швидкість руху лейкоцитів, якправило, зростає. Це пов'язано з тим, що проникли в організмхвороботворні мікроби в результаті життєдіяльності виділяють отруйні длялюдини речовини - токсини. Вони-то і викликають прискорений рухлейкоцитів.

Теорія ймовірностей

Теорія ймовірностей - наука, що вивчає закономірності імовірніснівипадкових подій. Знання цих закономірностей дозволяє передбачити, якці події будуть протікати. Знання і методи теорії ймовірностейвикористовуються в різних галузях природознавства і техніки.

Числові характеристики випадкової величини

Випадкова величина - це величина, яка в результаті випробуванняприйме одне і тільки одне можливе значення, наперед невідоме ізалежне від випадкових причин, які заздалегідь не можуть бути відомі.

Випадкові величини поділяються на дискретні і безперервні.
Дискретної випадковою величиною називають випадкову величину, якаприймає окремі, ізольовані можливі значення з певнимиймовірностями. Безперервної випадковою величиною називають випадкову величину,яка може приймати всі значення з деякого кінцевого абонескінченного проміжку. Законом розподілу дискретної випадковоївеличини називають відповідність між можливими значеннями та їхймовірностями. Законами розподілу неперервних випадкових величинназивають щільності розподілів.

Математичне сподівання

Випадкові величини мають числові характеристики, однією з якихє математичне очікування. Математичним очікуванням дискретноївипадкової величини називають суму творів всіх її можливих значеньна їх ймовірності. Математичне сподівання приблизно дорівнює середньомузначенням випадкової величини. Припустимо, що випадкова величина Х можеприймати значення x1, x2, ..., xn, вірогідності яких відповіднорівні p1, p2, ..., pn. Тоді математичне сподівання М (X) випадкової величини Xвизначається рівністю

M (X) = x1p1 + x2p2 + ... + xnpn.

Якщо дискретна випадкова величина Х приймає рахункове безлічможливих значень, то можна записати:

Для даних, зазначених у цій роботі, математичне сподівання дорівнює (pnприймається рівним 0,01)

M (X) = 1,467;

M (Y) = 9979,058266.

Моди. Медіани

Мода випадкової величини (Mo) - це число з найбільшою ймовірністю.

Медіана випадкової величини (Me) - це її середнє значення.

Для даних, зазначених у цій роботі, моди і медіани рівні

Mo (X) = 1,093333333;

Mo (Y) = 8506,90117;

Me ( X) = 1,42;

Me (Y) = 9689,211947.

Дисперсія

Для визначення дисперсії необхідно ввести поняття відхиленнявипадкової величини від її математичного сподівання.

Нехай X - випадкова величина і М (Х) - її математичне сподівання.
Розглянемо в якості нової випадкової величини різниця Х - М (Х). Цюрізниця і називають відхиленням, тобто різниця між випадковою величиною іїї математичним очікуванням. При визначенні дисперсії використовуєтьсянаступне властивість відхилення: y = px2 + qx + r.

Дисперсія випадкової величини Х називають математичне очікуванняквадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання:

D (X) = M [X - M (X)] 2.

Також дисперсію розраховують за формулою: < p> D (X) = M (X2) - [M (X)] 2.

Для даних, зазначених у цій роботі дисперсія дорівнює:

D (X) = 0 , 279473288;

D (Y) = 10499319,67.

.

Середнє квадратичне відхилення

Для оцінки розсіювання можливих значень випадкової величини навколо їїсереднього значення крім дисперсії служать і інші характеристики, такі яксередньоквадратичне відхилення. Середнє квадратичне відхиленнявипадкової величини X називають квадратний корінь з дисперсії:

Для даних, зазначених у цій роботі відхилення одно:

((X) = 0,528652332;

((Y) = 3240,26537.

Моменти

Моменти служать для більш докладної характеристики випадкової величини.
Вони діляться на початкові і центральні. Початкові моменти характеризуютьсаму випадкову величину, а центральні - відхилення випадкової величини від
М (Х).

Початковий момент n-го порядку - математичне очікування від n-го ступенявипадкової величини; позначається:

? n = M (Xn).

Центральний момент n-го порядку - математичне очікування величини (X -
M (X)) n; позначається:

? N = M [(X - M (X)) n].

Зокрема,
? 1 = M (X);? 1 = 0;
? 2 = M (X2);? 2 = D (X).

Для даних, зазначених у цій роботі, початкові і центральні моменти 1 -
3 порядків дорівнюють:
| | X | Y |
|? 1 | 1,467 | 9979,058266 |
|? 2 | 2,428767556 | 109975930,4 |
|? 3 | 4,45698776 | 1,3234 E 12 |
| | | |
|? 1 | 0 | 0 |
|? 2 | 0,279473288 | 10499319,67 |
|? 3 | 0,082210874 | 18491004059 |

Математична статистика

Математична статистика - це наука, яка займається отриманням,обробкою і аналізом даних, які характеризують кількісні закономірностіжиття суспільства в нерозривному зв'язку з їх якісним змістом.
Статистика, у вузькому сенсі - це сукупність даних про будь-якому процесіабо явищі. Основним завданням математичної статистики є з'ясуванняімовірнісних властивостей сукупності: розподілу, числових характеристик іт. д. із застосуванням методів теорії імовірності, що дозволяють оцінитинадійність і точність висновків, зроблених на підставі обмеженогостатистичного матеріалу (вибірки) Сукупність об'єктів, або сукупністьзначень якогось ознаки об'єктів, називається генеральною сукупністю.
Зазвичай з генеральної сукупності роблять вибірку, тобто досліджують деякіїї об'єкти. Вибірковою сукупністю або просто вибіркою називаютьсукупність випадково відібраних об'єктів. За допомогою вибірки оцінюютьгенеральну сукупність за ймовірним властивостями. Щоб оцінки булидостовірними, вибірка повинна бути представницької, тобто її ймовірнівластивості повинні співпадати або бути близькими до властивостей генеральноїсукупності. Часто під генеральною сукупністю розуміють і досліджуванувипадкову величину. Для дослідження випадкової величини при постійнихумовах виконуються випробування. Сукупність отриманих значень такожназивається вибіркою і обробляється статистично. Методи статистичноїобробки вибірки аналогічні в обох випадках. При дослідженні об'єктівможна фіксувати або вимірювати значення одного або декількох ознак,тобто мова може йти про одномірної або багатовимірної вибірках.

Кореляційний аналіз

Кореляційна таблиця

Дві випадкові величин?? можуть бути пов'язані або функціональної, абостатистичної залежністю, або бути незалежними. Сувора функціональназалежність реалізується рідко в реальному житті, тому що обидві величини абоодин з них можуть бути піддані ще дії випадкових факторів, причомусеред них можуть бути і загальні для обох величин. У цьому випадку виникаєстатистична залежність. Статистичної називають залежність, приякій зміна однієї з величин призводить до зміни розподілу інший. УЗокрема, статистична залежність виявляється в тому, що при змініоднієї з величин змінюється середнє значення іншої; в цьому випадкустатистичну залежність називають кореляційної.

Припустимо, що розглядаються випадкові величини Х і У пов'язанікореляційної залежністю. Тому що при великій кількості спостережень одне і теж значення x може зустрітися nx раз, і значення y - ny раз, одна й та самапара чисел (х, у) - nxy раз.підраховують частоти nx, ny, nxy. Всі згруповані дані записують увигляді таблиці, яку називають кореляційної.
|"____"__________ 200__ | Березіна І. В. | |
| м. | | |
| Дата | ПІБ | Оцінка | Підпис |
|"____"__________ 200__ | Асс. Возвишаева | | |
| м. | Н.А. | | |
|"____"__________ 200__ | Крейдер О.А. | | |
| м. | | | |

-----------------------