Грецька математика

1. Народження математики в Елладі

Поява цієї науки в 6 столітті до н.е. до цих пір здається дивом. Протягом 20 або 30 попередніх століть народи Стародавнього Сходу зробили чимало відкриттів в арифметиці, геометрії та астрономії. Але єдину математичну науку вони не створили, та й не намагалися її створити. Еллінам ж це вдалося з першої спроби, протягом одного століття. Що підготувало їх до такого подвигу "

На півтораста років раніше - у середині 8 століття до н.е. - Елліни пережили культурну революцію. Під впливом фінікійців вони винайшли свій алфавіт, включивши в нього голосні літери. Тоді ж були записані поеми Гомера. Вони стали першим підручником культури, доступним кожному Елліну - навіть неграмотному. Адже вірші неважко вивчити напам'ять! У ту ж епоху почалися Олімпійські ігри. На цих "з'їздах доброї волі" раз на 4 роки зустрічалися і дружньо спілкувалися найактивніші й освічені громадяни з усіх міст Еллади. Число таких міст з середини 8 століття почало швидко зростати, за рахунок заморської колонізації.

Убога грунт Еллади приводила до перенаселення кожного швидко розвивається міста. Тоді кілька десятків або сотень сімей разом переправлялися за море і селилися на березі - поряд з місцевими "варварами". У них елліни купували зерно і різне сировина, в обмін на продукти свого ремесла. Розвідавши навколишні моря і землі, елліни знайомилися з культурою сусідніх народів, вчилися у них і самі намагалися їх просвітити. Все це відбувалося у формі народної самодіяльності, без наказу влади. Жителі міської республіки - поліса - щодня обговорювали на вулицях і площах всі хвилюючі їх питання: від видів на врожай і настрої навколишніх варварів до заморських вістей, привезених заїжджим купцем.

Найкращі цікаві вісті приходили з царств Близького Сходу: з Єгипту та Ассирії, а після загибелі асирійському держави - з поділили її володіння Вавілонії і Мідії. В середині 6 століття до н.е. всі ці землі потрапили під владу нового народу -- персів, які встановили міцний мир у своєї величезної імперії. Тепер багато допитливі елліни змогли безпечно подорожувати по країнах Перської держави: одні - з торговельними цілями, інші - в надії долучитися до мудрості древніх єгиптян і вавілонян.

Будинку такий мандрівник порушував жадібне цікавість співгромадян. Але не в усьому йому вірили на слово. Наприклад, він казав, ніби в Єгипті стоять рукотворні пагорби з каменю -- гробниці древніх царів, заввишки в 200 або 300 ліктів кожна. Невже він сам виміряв їх висоту "Як він це зробив" Нехай доведе, що його слова -- правда!

І ще: він сказав, що мудрі єгиптяни вміють передбачити термін майбутнього затемнення Місяця або Сонця. Нехай пояснить, як вони це роблять! І коли ми побачимо чергове затемнення в нашому місті "

Мабуть, першим греком, який навчився переконливо відповідати на такі питання, став Фалес з міста Мілету; він жив між 625 і 547 роками до н.е. Відомо, що в 585 році до н.е. Фалес вперше передбачив еллінам сонячне затемнення. Пізніше елліни Фалеса визнали одним із семи великих мудреців засновників грецької культури і науки.

Чи зробив Фалес якісь нові відкриття в математиці "Може бути, і ні. Не виключено, що все що приписуються йому теореми були раніше відомі, як факти, єгиптянам і вавилонянам. Але заслуга Фалеса в тому, що він перетворив ці відомості і рецепти в доведені теореми. Фалес приробив до наукових фактів "коріння", провідні до найпростіших твердженнями - тим, які доступні інтуїції звичайної людини. Слухаючи міркування Фалеса, будь-який громадянин Мілету міг прийти до думки, що не обов'язково приймати на віру всю стародавню мудрість. Кожне відкриття мудреців можна перевірити і повторити, дотримуючись нескладних правил умовиводів. Самі ці правила знайомі будь-якому городянину з досвіду політичних суперечок у народних зборах.

Таким чином, Фалес перетворив давню і священну вченість в предмет сумнівів і доказових спорів. Досвідчені в спортивних змаганнях, елліни не знали до того часу складних інтелектуальних ігор, на зразок шахів. З легкої руки Фалеса, геометрія стала першою такою грою. Незабаром вона стала в Елладі почесним і захоплюючим заняттям, як би національним видом спорту - нарівні з політикою. В геометрії з'явилися "гросмейстери", які перевершили досягнення Фалеса і почали відкривати такі математичні істини, які не снилися давніх мудреців.

Першим у низці цих героїв опинився Піфагор з острова Самос: він жив приблизно з 580 по 500 рік до н.е. Близько 540 року до н.е. Піфагор заснував у грецькому місті Кротоні на узбережжі Південної Італії перший "математичний клуб", більше схожий на таємне релігійне братство.

2. Перша наукова школа Еллади

Стоячи біля витоку грецької науки, Піфагор був змушений займатися всім відразу: арифметикою і геометрією, астрономією і музикою. І мета він собі поставив богатирську: розібратися в будові Всесвіту і людського суспільства (від руху зірок до політичної боротьби), а на основі такого знання виправити все, що відбувається в світі не найкращим чином. Вирішити друга частина цього завдання Піфагор не зумів. На старості років він загинув у міській усобиць, намагаючись встановити в Кротоні "республіку вчених". Але в прагненні пізнання Всесвіту через математику Піфагор зробив величезний крок вперед. Він першим помітив, що сила і єдність науки грунтуються на роботі з ідеальні об'єкти. Наприклад, пряма лінія - це НЕ тятива натягнутого цибулі і не промінь світла: адже вони мають невелику товщину, а лінія товщини не має. Те ж відноситься до геометричної площини і поверхні води в спокійному озері, або до числа 5 і п'яти пальців на руці. Ідеальні об'єкти (будь то числа або фігури) зустрічаються тільки в математичне міркування - зате там без них не обійтися. Тільки для них вірні суворі наукові висновки! Тому математика є як би "другу зором "людини: вона відкриває розуму ідеальні об'єкти, тоді як звичайні почуття говорять нам про властивості природних тел. Але якщо так, то які з двох зоряний важливіше "Піфагор не сумнівався на цей рахунок. Звичайно, ідеальні об'єкти важливіше природних тіл, оскільки про них ми знаємо все - і знаємо напевно. Недосконалі природні тіла є лише грубуватим подобою ідеальних математичних сутностей. Але де можна побачити ці сутності в чистому вигляді "

Звичайно, на небі! Адже видно, що зірки і планети - це ідеальні точки, а Місяць і Сонце -- ідеальні кулі. Земля, мабуть, теж куля - але далекий від ідеального. А все зірки розташовані на поверхні величезною прозорої сфери, яка рівномірно обертається навколо Землі. Сонце, Місяць і п'ять планет рухаються по небу інакше -- отже, вони не прикріплені до зіркової сфері, а лежать на особливих сферах. Якщо б ще вдалося зрозуміти зв'язки між вісьмома небесними сферами: виміряти їх радіуси, або хоча б відносини цих радіусів ...

Така перша наукова модель світу, запропонована Піфагором. Відповідно до неї, всі природні тіла і процеси суть спотворені подібності ідеальних тіл і рухів - а закономірності ідеальних об'єктів виражаються за допомогою чисел. Коротше кажучи: числа правлять світом через властивості геометричних фігур! Але якщо так, то будь-які властивості чисел набувають особливого (навіть містичне) значення. Є числа парні - а є непарні; є прості, і є складові. І ще є дробу - тобто, відносини натуральних чисел; їх Піфагор з обережності називав не числами, а "величинами". Про те, що можливі навіть ірраціональні числа, Піфагор довгий час не підозрював ...

Звичайно, настільки чудову модель треба перевірити на практиці. Піфагор займався цією справою все життя. Почав він з великою удачі: виявив зв'язок між висотою звуку і довжиною того інструмента (флейти, або струни), який видає звук. Виявилося, що благозвучність (симфонія) виникає, коли довжини різних струн відносяться між собою, як близькі цілі числа: 2/1, 3/2, 4/3 і так далі.

З цього факту Піфагор зробив сміливий висновок: весь світ впорядкований за допомогою дробів! Наприклад, окружність має довжину, в 22/7 рази перевищує її діаметр. Правда, не ясно, як це довести ... Зате зрозуміло, як обчислити відношення довжини діагоналі квадрата або куба до довжини ребра цієї фігури. Це можна зробити на основі знаменитої теореми Піфагора!

Згідно з нею, сума площ квадратів, побудованих на катета прямокутного трикутника, дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі цього трикутника. Піфагор виконав необхідні обчислення і отримав дивовижний результат: ставлення діагоналі квадрата до його стороні не може бути одно ніякої дробу!

Піфагор був приголомшений. Отже, навіть серед ідеальних тел геометрії не панує повна симфонія! Цей факт потрібно приховати від невігласів до того часу, коли знавці розберуться до кінця в гармонії математичного світу! Так і було зроблено. Тому вчення Піфагора не відбилося в будь-якій книзі, а передавалося з вуст в уста - із суворим забороною бути відвертий з чужинцями.

Після смерті Піфагора союз його учнів розпався, і перша наукова школа Еллади перестала існувати. Підійшовши впритул до відкриття ірраціональних чисел, піфагорійці НЕ зуміли зробити останній крок. Вони також не встигли створити стереометрію -- геометрію фігур в просторі, серед яких особливо виділяються правильні многогранники. Скільки їх в природі "Куб, тетраедр і октаедр були давно явні, піфагорійці додали до них Додекаедр, але ікосаедр не помітили. А без стереометрії не виходить зручна астрономія! Створити все це зуміли тільки вчені з Афінської школи.

3. Афінське співдружність учених: школа Платона

В Афінах з 511 року до н.е. процвітала демократична республіка. Тут не було ніяких секретів, обговоренню було піддано все: від повідомлень про те, що з неба випав залізний дощ, до переказів про те, як фінікійці за три роки пропливли навколо Африки і повернулися в Середземне море повз геркулесових стовпах (так елліни називали гори по берегах протоки Гібралтар). Найвищий сяють культурного життя і наукових суперечок залучав до Афін найталановитіших учених Еллади. Серед них був Анаксагор - останній вихованець наукової школи Мілету. Він жив приблизно в 500-428 роках до н.е. і близько 460 року до н.е. переїхав в Афіни, де став другом прославленого політика Перікла.

За складом розуму Анаксагор був протилежний Піфагору: не математик, а фізик, що віддає перевагу вимірювання і розрахунки строгим логічним доказам. Він не вірив ні в яких богів, крім (можливо) Світового Розуму, а всі небесні тіла вважав подібними Землі (тобто - не ідеальними). Наприклад, Сонце - це розпечений камінь, а метеорити - осколки Сонця, що впали на Землю. Місяць ж - холодний куля, освітлюваний Сонцем і рівний йому: це помітно під час сонячних затемнень. А як можна обчислити діаметр Сонця чи Місяця "

Дуже просто: потрібно запитати купців, що прибувають в Афіни незабаром після сонячного затемнення! У яких містах Еллади бачили повне затемнення, а в яких - часткове " Відстані між містами нам відомі; по них ми розрахуємо розмір місячної тіні на Землі, що дорівнює діаметру Місяця або Сонця! Сказано - зроблено. На основі опитувань і розрахунків Анаксагор уклав, що діаметр Місяця або Сонця приблизно дорівнює діаметру півострова Пелопоннес, де розташована Спарта. Так вперше стереометрія була успішно застосована в астрономії і стала самостійною наукою - Хоча не настільки повної і суворої, як планіметрія. Наприклад, зв'язок між площею круга і об'ємом кулі залишалася не відома ще 200 років - поки її не з'ясував Архімед.

Ми знаємо тепер, що Анаксагор помилився в оцінці діаметра Місяця приблизно в 5 разів, а в оцінці розміру Сонця - ще більше, оскільки Сонце далі від Землі, ніж Місяць. Однак математична основа методу Анаксагора бездоганна - якщо врахувати зону часткового (а не тільки повного) сонячного затемнення. Але сучасників Анаксагора хвилювали інші проблеми. Астроном зазнав осуду благочестивих афінських громадян. Як він сміє вимірювати розміри бога Геліоса (Сонця) і богині Гекати (Місяця) "Це - блюзнірство і богохульство! Астрономи притягнули до суду, і навіть заступництво Перікла не допомогло; Анаксагор вважав за краще покинути Афіни. Незабаром після його вигнання в Афінах народився хлопчик Аристокл; пізніше він став учнем Сократа і отримав прізвисько Платон - "Широкоплечий".

Платон жив у 427-347 роках до н.е. чудова: це правий кінець відрізку довжини 1. Інші чудові точки - кінці відрізків, порівнянних з одиничним відрізком. Їх ми називаємо раціональними числами.

Але, відповідно до Піфагору, є відрізки, не співмірні з одиничним відрізком. Їх довжини (які ми називаємо ірраціональними числами) теж можна порівнювати між собою. Наприклад, порівнянна чи діагональ одиничного куба з діагоналлю одиничного квадрата "Виявляється, немає - тому, що їхнє ставлення (рівне .. 6) -- ірраціональне число. Таким чином, ірраціональні числа розпадаються на класи чисел, порівнянних одна з одною. Один з таких класів породжений числом .. 2, другий - числом .. 3, третя - числом .. 6. А що далі "Можна довести, що для будь-якого простого числа Р число .. Р ірраціонально; першим це зробив ровесник і однокашник Евдокса - афінянин Теетет. Трохи пізніше інший афінянин - Евклід - довів, що безліч простих чисел нескінченна. Значить, множина всіх чисел (або всіх відрізків) схоже на нескінченний архіпелаг. Лише одна його острів складається з раціональних чисел! Так малий виявився "сімфонічний" світ Піфагора в рамках величезної математичної Всесвіту ...

Більшість геометрів Еллади злякалися наглої нескінченності і не стали вивчати її властивості. Тільки Теетет зауважив, що у безлічі ірраціональних островів є свій порядок. До одних островів можна дістатися з раціональної гавані з допомогою лінійки та циркуля - за один хід, або за кілька ходів. До інших островів так дістатися не можна: з цієї причини деякі завдання на побудову неможливо розв'язати. Наприклад, побудувати бісектриси кута зовсім легко; побудувати правильний п'ятикутник набагато складніше, а розділити довільний кут на три рівні частини не вдається. Ми знаємо зараз причину такої різниці: перші два завдання зводяться до розв'язання квадратних рівнянь, а трісекція кута вимагає рішення кубічного рівняння. Але елліни не знали таких понять, як многочлен або алгебраїчне рівняння. Вони не володіли навіть позиційної системою числення. Без такого апарату грецька арифметика (на відміну від геометрії) не мала опори в наочному уяві вчених, і не могла допомогти геометрії при вирішенні її найважчих завдань.

Нам зараз здається дивним, що Евдокс не розвинув теорію чисел в більш простому напрямі. Адже він фактично відкрив числовий промінь. Чому він не відкрив числову пряму, ввівши нуль і від'ємні числа "Мабуть, Евдокс потрапив у полон до придуманого ним самим визначенням: числа суть довжини відрізків. Що таке відрізок довжини (-2) "Чим він відрізняється від відрізка довжини 2" На такий питання Евдокс було б нічого відповісти. Інша річ, якби негативні числа вже були в ходу у математиків Еллади. Наприклад, таке число може позначати борг купця - якщо позитивне число зображує його майно. Тоді майно жебрака доведеться зобразити нулем! Але на жаль - це "купецьке" уявлення про числа склалося десь на Близькому Сході через 5-6 століть після відкриттів Евдокса ...

4. Математична Всесвіт Евкліда

У порівнянні з Платоном і його сучасниками, наступному поколінню математиків довелося жити в іншому світі. У 338 році до н.е. цар Філіпп Македонський розгромив ополчення грецьких полісів; закінчилася епоха демократії, почалася імперська епоха. Син Філіпа - Алекандр завоював весь Близький Схід, аж до Індії. Спадкоємці Олександра прагнули утримати здобуте не тільки силою меча, а й впровадженням грецької культури у розуми нових підданих. Підготовлені Аристотелем, ці нові царі - Птолемей в Єгипті, Селевк в Сирії та Ірані, Антигон в Малій Азії -- вважали грецьку науку найважливішою частиною еллінської культури. Тому в нових грецьких столицях на Сході відразу з'явилися загальнодоступні бібліотеки, а при них - перший "науково-дослідні інститути". Найвідомішим установою цього роду став Музей ( "храм всіх муз") в Олександрії Краю. Тут зібралися найсильніші вчені грекоязичного світу, і почався новий розквіт науки. Найпомітніше розходження в положенні науки "при царів "і" при демократії "- в тому, що досягнення вчених перестали турбувати столичну натовп. Наука (як і політика) зробилася "спортом для обраних", хоча школярів продовжували вчити геометрії та арифметики. Але більша частина вчителів тепер не займалася науковою творчістю; тому потрібні гарні підручники. З цією метою Аристотель написав "Фізику", "Екологія" і "Органон", а Евклід - знамениту книгу "Початки", перша і кращу енциклопедію елементарної математики.

Якби Евклід захотів тільки створити хороший шкільний підручник - він легко досяг би цієї мети. Але через сто років його ім'я забулося б, заслоненное іменами нових авторів. Ми знаємо, що вийшло інакше: книга Евкліда прожила 20 століть, перш ніж у неї з'явилися гідні суперниці. Справа в тому, що Евклід зумів навести порядок під усьому світі ідеальних математичних об'єктів - подібно до того, як Піфагор наводив порядок в реальному світі за допомогою ідеальних понять. І поки "зоопарк" цих понять не розширився більш ніж удвічі в порівнянні з епохою Евкліда - не було потреби в інших книгах на ту ж тему. Тільки в кінці 18 століття Ейлер додав до "Початкам" Евкліда свої "Основи" - перший енциклопедію нової алгебри та математичного аналізу.

Ми дуже багато знаємо про Ейлера; чому ми так мало знаємо про особу Евкліда "Він народився в Афінах, вчився в Академії. На початку 3 століття до н.е. переїхав до Александрії і там працював в Музеї. Напевно у нього було багато учнів. Але ніхто не залишив про вчителя таких соковитих оповідань, які збереглися про Платона або Аристотеля. Відомо лише, що на запитання царя Птолемея: чи не можна простіше пояснити зміст геометрії тим, хто не сильний у цій науці "- Евклід різко відповів: "В геометрії немає царської дороги!"

Ризиковано робити глибокі висновки з однієї фрази, але ясно, що Аристотель ніколи не говорив таких слів цареві Філіпу Македонському. Можливо, Евклід був демократ за переконання і не схвалював того факту, що геометрія стала "придворної" наукою "Може бути, не випадково він вжив слова" царська дорога "" Так називали систему відмінних доріг, прокладених у Перської імперії. Рухаючись по них, невелика армія македонців за 4 роки підкорила весь Близький Схід. Підкорила - але не освоїла; науку ж потрібно освоювати, а не підкоряти! Такий, мабуть, був сенс догани, зробленого грецьким ученим єгипетському цареві. Але ж Птолемея в Єгипті вважали живим богом! Ймовірно, Евкліда цар просто терпів - і то недовго, а потім його піддали забуттю. Але книга залишилася жити, і число її читачів перевищило число підданих царя Птолемея.

Як же виглядає в трактаті Евкліда математична всесвіт, складена з фігур і чисел "З фігурами працювати простіше: кожен бачив їх на кресленнях і може уявити в думках. Тому Евклід не дає строгих визначень основних об'єктів геометрії: крапки, лінії, прямий, поверхні, площини. Замість цього дані словесні описи найважливіших властивостей цих фігур. Наприклад: "Точка є те, що не має частин ";" Лінія - це довжина без ширини "; "Коло - це крива, що біля кожної точки влаштована однаково ".

Найбільш загальні властивості фігур, які багаторазово використовуються в міркуваннях і не виводяться з більш глибоких фактів - ці властивості Евклід назвав аксіомами. Наприклад: "Усі прямі кути рівні між собою", або "Ціле більше частини ".

Крім аксіом, Евклід ввів постулат: це твердження про властивості основних геометричних конструкцій. Наприклад: "Через дві точки проходить лише одна пряма", або "Через точку поза прямою на площині проходить лише одна пряма, не перетинає цю пряму ". Це останнє твердження називають п'ятим постулатом Евкліда.

Звичайно, представити всю геометрію у вигляді ідеального будівлі з визначень, аксіом, постулатів і теорем Евклід не зумів. Адже кожне необхідне затвердження комусь здасться нудною дрібницею, а кожне цікаве твердження у когось викличе заперечення. І це добре: в науці важливіше за все ті твердження, які самі цікаві і не очевидні, і їх заперечення володіють тим ж властивістю. Такий виявився п'ятий постулат Евкліда про паралельні прямі на площині.

Він має два можливі заперечення. По-перше, можна припустити, що через точку поза прямою не проходить ЖОДНА пряма, не перетинає дану пряму; тобто, що паралельних прямих на площині зовсім ні! По-друге, можна припустити, що таких прямих через одну точку проходить КІЛЬКА; може бути, їх нескінченно багато. Евклід не розглядала такі можливості. Він намагався стисло і повно описати єдино можливий ( "плоский") геометричний світ. Тільки в 19 столітті інші математики - Гаус і Лобачевський, Больяі і Ріман - задумалися про можливе існування багатьох різних геометричних світів. Тоді з'ясувалося, що нові світи відрізняються від старого евклідового світу лише однією-двома аксіомами. Досить замінити п'ятий постулат Евкліда одним з його можливих заперечень - і ми потрапляємо в інший світ, який носить ім'я Лобачевського або Рімана.

Але Евкліда більше турбувало інше. Які факти геометрії потрібно вкючіть в створювану енциклопедію, а якими доведеться знехтувати, оскільки вони не зовсім ясні " Наприклад, в "Початках" використовуються всього дві різні лінії - пряма і коло. Але в епоху Евкліда вже були відомі еліпс, парабола і гіпербола. Сам Евклід вивчав ці криві, навіть написав про них особливу книгу (яка не збереглася - Але послужила основою для подібної книги Аполлонія). Чому він ні словом не згадав про нові кривих у "Початках" "

Мабуть, тому, що Евклід і його сучасники не знали про ці лініях за все, що їм хотілося знати. Наприклад, як обчислити площу, обмежену еліпсів або параболою "Як провести дотичну до еліпса або гіперболи в цiй точці "Це зумів зробити тільки Архімед - через півстоліття після Евкліда. Автор "Почав" цього не вмів - і вважав за краще промовчати про складні кривих, щоб не бентежити уми новачків-геометрів необгрунтованими міркуваннями. Мабуть, Евклід був прав; так само роблять автори сучасних підручників чи тієї енциклопедії, яку ви читаєте.

Інакше вийшло з арифметикою: тут Евклід сам був перевопроходцем. Але біда в тому, що в еллінів не було вдалою системи позначень навіть для натуральних чисел. Замість цифр греки користувалися літерами; позиційної системи для запису великих чисел вони не знали. Тому навіть звичайна (для нас) таблиця множення мала на Елладі вигляд досить товстого свита. А працювати з числами, коли вони зображені літерами, дуже не просто! Цим займається особлива наука - алгебра; сучасники Евкліда про неї не підозрювали.

У арифметиці Евклід зробив три значні відкриття. По-перше, він сформулював (без доведення) теорему про поділ з залишком. По-друге, він придумав "алгоритм Евкліда "- швидкий спосіб знаходження найбільшого спільного дільника чисел або загальної міри відрізків (якщо вони сумірні). Нарешті, Евклід перших почав вивчати властивості простих чисел - і довів, що їх безліч нескінченно. Але чи правда, що будь-яке ціле число розкладається в добуток простих чисел єдиним способом "Довести це Евклід не зумів - хоча мав у своєму розпорядженні всіма необхідними для цього засобами.

Тільки через 5 століть після Евкліда александріец Діофант заповнив цю прогалину суворим міркуванням. Він уже володів поняттям негативного числа і "грав у арифметику "так само впевнено, як сім'ю століттями раніше Піфагор" грав у геометрію ", працюючи з плоскими фігурами. Але створити багату теорію чисел і рівнянь елліни не встигли аж до загибелі Римської імперії і загибелі античної цивілізації в бурях 4-5 століть.

5. Спадкоємці Евкліда: Ератосфен і Архімед

Навпаки, в звичної геометрії елліни встигли просунутися помітно далі Евкліда. Третій століття до н.е. прикрашений славними іменами Аристарха і Архімеда, Ератосфена і Аполлонія. Всі вони були швидше універсали, ніж "чисті" математики. Аристарха вважають астрономом, оскільки він першим обгрунтував гіпотезу про те, що всі планети обертаються навколо Сонця. Але міркування Аристарха - це чиста стереометрія, в дусі Анаксагора.

Різниця в тому, що Аристарх спочатку припустив: Сонце може мати інший розмір, ніж Місяць! Так у старій завдання з'явилася нова невідома величина. Щоб справитися з нею, потрібно додати ще одне рівняння, а для цього - винайти новий метод спостереження небес. Аристарх зробив це, розмірковуючи просто і красиво.

Земля, Місяць і Сонце - це три кулі; їх центри лежать в одній площині. Коли ми бачимо рівно половину місячного диска, освітлений Сонцем - промінь нашого зору утворює прямої кут з віссю, що сполучає центри Сонця і Місяця. Щоб дізнатися ставлення сторін у цьому величезному прямокутному трикутнику, треба виміряти в ньому хоч один кут. Ми можемо це зробити, спостерігаючи Сонце й Місяць одночасно - на світанку, або на заході. Виконавши ці спостереження і розрахунки, Аристарх зробив висновок: місячний діаметр втричі менше земного, а діаметр Сонця в сім разів більше, ніж діаметр Землі.

Ці оцінки так ж грубі, як розрахунки Анаксагора. І вірний головний висновок Аристарха: Сонце більше за Землю, тому Земля обертається навколо Сонця! Так астрономія отримала, нарешті, від геометрії вірну модель Сонячної системи. На жаль - модель Аристарха виявилася занадто груба для астрономічних прогнозів. Тому більшість звіздарів не вірили їй, а користувалися більш могутньою обчислювальною технікою Гіппарха.

Більша довіра викликав у своїх сучасників учень Аристарха - Ератосфен. Він жив у 276-194 роках до н.е. і багато років очолював Олександрійський Музей. Учні дали йому прізвисько "Бета" - на ім'я друга літери алфавіту, оскільки Ератосфен був "другий фахівцем" в дуже багатьох областях. "Альфою" в математиці був його найкращий друг і ровесник - Архімед із Сіракуз (280-212 роки до н.е.)

У арифметиці Ератосфен став другим гросмейстером - після Евкліда. Він склав перші таблицю простих чисел ( "решето Ератосфена") і помітив, що багато прості числа групуються в пари близнят: такими є 11 і 13, 29 і 31, 41 і 43. Евклід довів, що безліч всіх простих чисел нескінченна. Чи правда те ж саме для чисел-близнюків "Це завдання не скорилася Ератосфену. Знати б йому і його глузливим вихованцям, що вона не буде вирішена навіть через 22 століття! У наші дні "проблема близнюків" залишається єдиною не вирішеною завданням, що дісталася нам від Античності. Чи впорається з нею математики 21 століття "

У стереометрії (тобто, в математичній астрономії та географії) Ератосфен був більш спритним. Він склав карту неба з 675 зірками, обчисливши координати в градусах (Цей спосіб чисельного зберігання геометричної інформації винайшов Евдокс). Далі послідувала карта відомих Ератосфену областей Землі: від Британії до Цейлону, від Балтики і Каспію до Ефіопії. Залишалося дізнатися розмір земної кулі і його положення по відношенню до Сонця - тобто, кут нахилу земної осі до тієї площині, в якій рухаються Земля і Сонце. Те й інше Ератосфен зумів розрахувати на основі нескладних спостережень і простих картинок. Наприклад, для визначення радіуса Землі виявилося досить дізнатися відстань від Олександрії до Сієни (Асуана) і виміряти висоту Сонця опівдні одночасно в цих двох містах (які вони лежать на одному меридіані).

Але мало хто з еллінів повірив цим розрахунком. Адже виходило, що вся відома грекам Ойкумена (населена частина Землі) становить менше однієї сотої частки від поверхні земної кулі. "Не може бути, щоб ми так мало знали!" -- такий був одностайну вирок освічених жителів Олександрії. А що вдієш! Тільки вчені (і то не всі і не завжди) сміють здогадуватися про те, як малий обсяг їх знань - навіть разом з припущеннями ...

Успішно перевіривши географію за допомогою геометрії, Ератосфен вирішив перевірити історію з допомогою арифметики. Він знав, що від епохи Піфагора і Фалеса його відділяють приблизно 300 років. Але який термін відокремлює Піфагора від Гомера, або від героїв Троянської війни "Що творилося в ті далекі часи в Єгипті" Скільки століть простояли до того часу великі піраміди "Ератосфен був упевнений, що всі природні факти можна впорядкувати за допомогою здорового глузду і суворої математики. У датування Троянської війни він помилився менш ніж на сто років! Так що були підстави для віри у всемогутність точних наук у вчених Олександрійської епохи ...

Найбільше підстава для такої впевненості мав Архімед із Сіракуз - видатний вчений в історії Еллади і у всій Античності. За інтересам він був швидше фізик (як Анаксагор або Аристарх), але за методами роботи - універсал?? ний геометр і початківець алгебраїст. Юність він провів в Олександрії, навчаючись у Аристарха і Конона - учня Евкліда. Там він подружився з Ератосфеном. Все життя друзі листувалися, причому Ератосфен представляв собою весь колектив Олександрійського Музею. Архімед ж один коштував цілої академії наук.

Генія в науці можна розпізнати по тому, як швидко він освоює досягнення попередників і як нестримно кидається вперед з цього стартового рубежу. Для Архімеда стартовими опорами стали Евклід і Евдокс. Найвищим досягненням Евдокса була геометрична теорія чисел, що призвела до побудови числового променя з точок. Найвище досягнення Евкліда - це обчислення об'єму піраміди методом "вичерпання", коли фігура розбивається на тонкі скибочки-призми, а їх обсяги підсумовуються за допомогою арифметики.

Зіставивши ці дві теорії, Архімед зрозумів, що будь-яку плоску або просторову фігуру можна розбити на дрібні області-піщинки (як Евдокс розбив на точки промінь), а потім підсумувати площі або обсяги піщинок, як Евклід підсумував обсяги скибочок піраміди. При цьому арифметика і геометрія працюють, як дві руки -- передаючи завдання у долонях, поки вона не буде вирішена. Звичайно, це важке ремесло - навіть два різні ремесла; але Архімеда те й інше було по -о-пліч.

Незважаючи на незручну запис чисел, Архімед впевнено підсумував послідовності натуральних чисел, або їх квадратів, або кубів. Використовуючи ці суми і не знаючи таких понять "з майбутнього", як многочлен та інтеграл, Архімед, за суті справи, інтегрував многчлени - і жодного разу не помилився у цій роботі! Спочатку він обчислив площу фігури, обмеженої відрізками параболи і прямої. Потім були знайдені обсяги тіл, отриманих при обертанні цієї фігури навколо різних осей; по цими даними Архімед знайшов центр ваги плоскої фігури. Зараз такі завдання вирішують студенти-математики, які здають залік на першому курсі, але зробити це вперше в історії було набагато важче!

Підкоривши першим вершини в невідомому хребті Математичного Аналізу, Архімед побажав нових подвигів. Його захопила головна проблема астрономії - рух планет навколо Сонця. Архімед був упевнений: існує простий опис цього руху, і знайти його можна тим же "методом піщинок"! Звичайно, знадобляться точні вимірювання положень планет; доведеться дуже багато обчислювати, і, напевно, корисні будуть механічні моделі Сонячної системи ...

Пройти цей шлях до кінця Архімед не зумів. Велика проблема руху планет була вирішена тільки 18 століть потому. Заради цього результату були витрачені життя трьох чудових учених: астронома Бразі, обчислювача Непіра і математика Кеплера. У своїй роботі вони використовували алгебраїчний апарат, винайдений вченими італійцями - а також числові координати на площині, введені Декартом. Без цих нових понять (не кажучи вже про позиційної системі запису чисел) "метод піщинок" не мав потрібної потужністю; з ними він перетворився на могутній Математичний Аналіз. Архімед передбачав це майбутнє - але не мо