Балансова модель

балансової моделі

Вивчення балансових моделей, що представляють собою одне з найважливішихнапрямів та економіко-математичних досліджень, повинно служитиоб'єктом вивчення окремої дисципліни. Наша мета - проілюструвати наприкладі балансових розрахунків застосування основних понять лінійної алгебри.

ЛІНІЙНЕ балансової моделі

Нехай розглядається економічна система, що складається з nвзаємопов'язаних галузей виробництва. Продукція кожній галузі частковойде на зовнішнє споживання (кінцевий продукт), а частково використовується вякості сировини, напівфабрикатів або інших засобів виробництва в іншихгалузях, у тому числі і в даній. Цю частину продукції називаютьвиробничим споживанням. Тому кожна з розглянутих галузейвиступає і як виробник продукції (перший стовпець таблиці 1) і якїї споживач (перший рядок таблиці 1).

Позначимо через xi валовий випуск продукції i-й галузі запланований період і через yi - кінцевий продукт, що йде на зовнішнє длярозглянутої системи споживання (засоби виробництва іншихекономічних систем, споживання населення, освіта запасів і т.д. ).

Таким чином, різниця xi - yi складає частину продукції i-йгалузі, призначену для внутрішньовиробничого споживання. Будемо внадалі вважати, що баланс складається не в натуральному, а ввартісному розрізі.

Позначимо через xik частина продукції i-й галузі, якаспоживається k-й галуззю, для забезпечення її випуску продукції в розміріхk.

Таблиця 1

№ споживання разом на кінцевий валовий отрас. внутрішньо продукт випуск

виробниц. (Уi) (хi)
№ 1 2 ... k ... n споживання отрас.

(е хik)

1 х11 х12 ... х1k ... х1n е х1k у1 х1

2 х21 х22 ... х2k ... х2n е х2k у2 х2

(((((((

(((

i хi1 xi2 (xik (xin е xik yi xi

(((((((

(((

n xn1 xn2 (xnk (xnn е xnk yn xn

разом произв. витрати е хi1 е xi2 (е xik (е xin в k-у галузь

Очевидно, величини, розташовані в рядках таблиці 1 пов'язанінаступними балансовими рівність:

х1 - (х11 + х12 + (+ х1n) = у1 х2 - (х21 + х22 + ... + х2n) = у2 (1)

... ...................... xn - (xn1 + xn2 + ... + xnn) = yn

Одне із завдань балансових досліджень полягає в тому , щоб набазі даних про виконання балансу за попередній період визначитивихідні дані на планований період.

Будемо забезпечувати штрихом (х'ik, y'i і т.д.) дані, що відносяться доминулий період, а тими ж буквами, але без штриха - аналогічні дані,пов'язані з запланованим періодом. Балансові рівності (1) повиннівиконуватися як в минулому, так і в планованому періоді.

Будемо називати сукупність значень y1, y2, ..., yn,характеризують випуск кінцевого продукту, асортиментним вектором:

_ у = (у1, у2, ..., yn), (2)

а сукупність значень x1, x2, ..., xn, що визначають валовий випуск всіхгалузей (вектор-планом:

_ x = (x1, x2, ..., xn). (3)

Залежність між двома цими векторами визначається балансовимирівності (1). Однак вони не дають можливості визначити по заданому,наприклад, вектор у необхідний для його забезпечення вектор-план х, тому щокрім шуканих невідомих хk, містять n2 невідомих xik, які у своючергу залежать від xk.

Тому перетворимо ці рівності. Розрахуємо величини aik зспіввідношень:

xik aik = --- (i, k = 1, 2, ..., n). xk

Величини aik називаються коефіцієнтами прямих витрат аботехнологічними коефіцієнтами. Вони визначають витрати продукцій i-йгалузі, які використовуються k-й галуззю на виготовлення її продукції, і залежатьголовним чином від технології виробництва в цій k-й галузі. З деякимнаближенням можна вважати, що коефіцієнти aik постійні у деякомупроміжку часу, що охоплює як минулий, так і планований період,тобто, що

x'ik xik

--- = --- = aik = const (4) x'k xk

Виходячи з цієї пропозиції маємо

xik = aikxk, (5)

тобто витрати i-й галузі в k-у галузь пропорційні її валовому випуску,або, іншими словами, лінійно залежать від валового випуску xk. Томурівність (5) називають умовою лінійності прямих витрат.

Розрахувавши коефіцієнти прямих витрат aik за формулою (4), використовуючидані про виконання балансу за попередній період або визначивши їхіншим чином, отримаємо матрицю

a11 a12 ... a1k ... a1n a21 a22 ... a2k ... a2n

A = ... ... ... ... ... ... .... ai1 ai2 ... aik ... ain an1 an2 ... ank ... ann

яку називають матрицею витрат. Зауважимо, що всі елементи aik цієїматриці невід'ємні. Це записують скорочено у вигляді матричногонерівності А> 0 і називають таку матрицю невід'ємне.

Завданням матриці А визначаються всі внутрішні взаємозв'язки міжвиробництвом та споживанням, що характеризуються табл.1

Підставляючи значення xik = aik = xk в усі рівняння системи (1),отримаємо лінійну балансову модель:

x1 - (a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn) = y1 x2 - (a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn) = y2 (6)

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... xn - (an1x1 + an2x2 + ... + annxn) = yn,

що характеризує баланс витрат - випуску продукції, представлений у табл.1 Система рівнянь (6) може бути записана компактніше, якщовикористовувати матричну форму запису рівнянь:

_ _ _

Е (х - А (х = У, або остаточно

_ _

(Е - А) (х = У, (6 ()

де Е - одинична матриця n-го порядку і

1-a11-a12 ...-a1n

E - A =-a21 1-a22 ...-a2n

... ... ... ... ... ... ...

-an1-an2 ... 1-ann Рівняння (6) містять 2n змінних (xi і yi). Тому,задавшись значеннями n змінних, можна із системи (6) знайти інші n
- Змінних.

Будемо виходити із заданого асортиментного вектора У = (y1, y2, ...
, Yn) і визначати необхідну для його виробництва вектор-план Х = (х1,х2, ... хn).

Проілюструємо викладене на прикладі гранично спрощеноїсистеми, що складається з двох виробничих галузей:

табл.2

№ отрас Споживання Разом
Кінцевий Валовий

№ затрат продукт випуск отрас 1 2

0.2 0.4

1 100 160
260 240 500

0.55 0.1

2 275 40

315 85 400

Разом витрат
575 в k-у 375 200 галузь ... 575

Нехай виконання балансу за попередній період характеризуєтьсяданими, вкладеними в табл.2

Розраховуємо за даними цієї таблиці коефіцієнти прямих витрат:

100 160 275

40 а11 = ---- = 0.2; А12 = ---- = 0.4; а21 = ---- = 0.55; А22 = ---- = 0.1

500 400 500

400

Ці коефіцієнти записані в табл.2 в кутах відповідних клітин.

Тепер може бути записана балансова модель (6), відповіднаданими табл.2

х1 - 0.2х1 - 0.4х2 = у1 х2 - 0.55х1 - 0.1х2 = у2

Ця система двох рівнянь може бути використана для визначення х1і х2 при заданих значеннях у1 та у2, для використання впливу на валовийвипуск будь-яких змін в асортименті кінцевого продукту і т.д.

Так, наприклад, поставивши за у1 = 240 і у2 = 85, отримаємо х1 = 500 і х2 = 400,задавшись у1 = 480 і у2 = 170, отримаємо х1 = 1000 і х2 = 800 і т.д.

РІШЕННЯ Балансовий Рівняння

ЗА ДОПОМОГОЮ ЗВОРОТНЬОГО МАТРИЦІ.

коефіцієнтів повних ВИТРАТ.

Повернемося знову до розгляду балансового рівняння (6).

Перше питання, яке виникає при його дослідження, це питання проіснування при заданому векторі У> 0 невід'ємне рішення х> 0, тобто проіснування вектор-плану, що забезпечує даного асортименту кінцевогопродукту У. Будемо називати таке рішення рівняння (6 () допустимимрішенням.

Зауважимо, що за будь-якої невід'ємне матриці А стверджуватиіснування невід'ємне рішення не можна.

Так, наприклад, якщо

0.9 0.8 0.1 -0.8 і рівняння (6 ()
А =, то Е - А =

0.6 0.9 -0.6 0.1запишеться у вигляді 0.1 -0.8 х1 у1 або в розгорнутій формі

-0.6 0.1 х2 у2

0.1х1 - 0.8х2 = у1 (()

-0.6 х1 + 0.1х2 = у2

Склавши ці два рівняння почленно, отримаємо рівняння

-0.5х1 - 0.7х2 = у1 + у2,яке не може задовольнятися невід'ємним значень х1 і х2, якщотільки у1> 0 і у2> 0 (крім х1 = х2 = 0 при у1 = у2 = 0).

Нарешті рівняння взагалі може не мати рішень (система (6) --несумісні) або мати безліч рішень (система (6) --невизначена).

Наступна теорема, доказ якої ми опускаємо, дає відповідь напоставлене запитання.

Теорема. Якщо існує хоча б один невід'ємні вектор х> 0,задовольняє нерівності (Е - А) (г> 0, тобто якщо рівняння (6 () маєневід'ємне рішення x> 0, хоча б для одного У> 0, то воно має длябудь-якого У> 0 єдине невід'ємне рішення.

При цьому виявляється, що обернена матриця (Е - А) будеобов'язково невід'ємне.

З способу утворення матриці витрат випливає, що дляпопереднього періоду виконується рівність (Е-А) (х (= У (, де вектор -план х (і асортиментний вектор У (визначаються на сповненому балансу заминулий період, при цьому У (> 0. Таким чином, рівняння (6 () має однуневід'ємне рішення x> 0. На підставі теореми укладаємо, що рівняння
(6 () завжди має допустимий план і матриця (Е - А) має зворотнуматрицю.

Позначивши зворотну матрицю (Е - А) -1 через S = | | sik + | |, запишеморішення рівняння (6 (() у вигляді

_ _ х = S (У (7)

Якщо буде задано вектор - кінцевий продукт У і обчислено матриця S =
(E - A) -1, то за цією формулою може бути визначений вектор-план х.

Рішення (7) можна представити в розгорнутій формі:

x1 = S11y1 + S12y2 + ... + S1nyn x2 = S21y1 + S22y2 + ... + S2nyn (8)

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... xn = Sn1y1 + Sn2y2 + ... + Snnyn

ПОВНІ Внутрішньовиробничі

ВИТРАТИ.

З'ясуємо економічний сенс елементів Sik матриці S.

Нехай проводиться тільки одиниця кінцевого продукту 1-й галузі,тобто

_ 0

У1 = (

Підставляючи цей вектор у рівність (7), отримаємо

1 S11

_ 0 S21 _ х = S (: =: = S1

0 Sn1

1задавшись асортиментним вектором У2 = 0, отримаємо

0 S12

_ 1 S22 _ х = S (: = : = S2

0 Sn2

Аналогічно, валовий випуск х, необхідний для виробництва одиницікінцевого продукту k-й галузі, складе

0 S1k

_: S2k _ х = S (1 =: = Sk, (9)

: Snk

тобто k-й стовпець матриці S.

З рівності (9) випливає наступне:
Щоб випустити тільки одиницю кінцевого продукту k-й галузі, необхідно в
1-й галузі випустити х1 = S1k, в 2-й х2 = S2k і т.д., в i-й галузі випуститиxi = Sik і, нарешті, в n-й галузі випустити xn = Snk одиниць продукції.

Так при цьому вигляді кінцевого продукту виробництва лише одиниця k-гопродукту, то величини S1k, S2k, ..., Sik, ..., Snk, являють собоюкоефіцієнти повних витрат продукції 1-й, 2-й і т.д., n-й галузей йдена виготовлення зазначеної одиниці k-го продукту. Ми вже ввели раннєкоефіцієнти прямих витрат a1k, a2k, ..., aik, ..., ank на одиницю продукції k -й галузі, які враховували лише ту частину продукції кожної галузі,яка споживається безпосередньо k-й галуззю. Але, очевидно, необхіднозабезпечити замкнутий виробничий цикл. Якби продукція i-ї галузінадходила б тільки в k-у галузь в кількості aik, то виробництво k-йгалузі все одно не було б забезпечено, бо треба було ще продукти 1 --й галузі (a1k), 2-й галузі (a2k) і т.д. А вони в свою чергу не зможутьпрацювати, якщо не будуть отримувати продукцію тієї ж i-й галузі (ai1, ai2, ...і т.д.). Проілюструємо сказане на прикладі табл.2

Нехай нас не цікавить випуск для зовнішнього споживання продукції 2 --й галузі (k = 2) і ми хочемо визначити витрати продукції 1-й галузі наодиницю цієї продукції. З табл.2 знаходимо, що на кожну одиницю продукції
2-й галузі (х2 = 1) витрачається: продукції 1-й галузі a12 = 0.4 і 2-йгалузі a22 = 0.1.

Такі будуть прямі витрати. Нехай потрібно виготовити у2 = 100. Чи можнадля цього планувати випуск 1-й галузі х1 = 0.4 (100 = 40? Звичайно, не можна,тому що необхідно враховувати, що 1-а галузь частину своєї продукції споживаєсама (а11 = 0.2), і тому сумарний її випуск слід скорегувати:х1 = 40 +0.2 (40 = 48. Однак і ця цифра є неправильною, тому що зараз, вже слідвиходити з нового обсягу продукції 1-й галузі - х1 (= 48 і т.д. Але справа нетільки в цьому. Згідно з табл.2 продукція 2-й галузі також необхідна длявиробництва і 1-й і 2-й галузей і тому потрібно випускати більше,ніж у2 = 100. Але тоді зростуть потреби у продукції 1-й галузі. Тодідосить звернутися до складеної систем рівнянь, поклавшиу1 = 0 і у2 = 1 (см п.2):

0.8х1 - 0.4х2 = 0

-0.55х1 + 0.9х2 = 1

Вирішивши цю систему, отримаємо х1 = 0.8 і х2 = 1.5. Отже, для тогощоб виготовити одиницю кінцевого продукту 2-й галузі, необхідно в 1-йгалузі випустити продукції х1 = 0.8. Цю величину називають коефіцієнтомповних витрат і позначають її через S12. Таким чином, якщо А12 = 0.4характеризує витрати продукції 1-й галузі на виробництво одиниціпродукції 2-й галузі, які використовуються безпосередньо в 2-й галузі (чомувони і були названі прямі витрати), то S12 враховують сукупні витратипродукції 1-й галузі як прямі (А12), так і непрямі витрати,реалізуються через інші (у даному випадку через 1-ю ж) галузі, але вкінцевому рахунку необхідні для забезпечення випуску одиниці кінцевогопродукту 2-й галузі. Ці непрямі витрати становлять S12-a12 = 0.8-0.4 = 0.4

Якщо коефіцієнт прямих витрат обчислюється на одиницю валовоговипуску, наприклад А12 = 0.4 при х2 = 1, то коефіцієнт повних витратрозраховується на одиницю кінцевого продукту.

Отже, величина Sik характеризують повні витрати продукції i-й галузідля виробництва одиниці кінцевого продукту k-й галузі, що включають якпрямі (aik), так і непрямі (Sik - aik) витрати.

Очевидно, що завжди Sik> aik.

Якщо необхідно випустити уk одиниць k-го кінцевого продукту, товідповідний валовий випуск кожної галузі складе на підставі системи
(8):

x1 = S1k (yk, x2 = S2k (yk, ..., xn = Snk (yk,

що можна записати коротше у вигляді: _ _ x = Sk (yk (10)

Нарешті, якщо потрібно випустити набір кінцевого продукту, заданийасортимент-

_ у1вим вектором У =:, то валовий випуск k-й галузі xk,необхідну для його уn

забезпечення, визначиться на підставі рівностей (10) як скалярнийтвір стовпця Sk на вектор У, тобто

_ _ xk = Sk1y1 + Sk2y2 + ... + Sknyn = Sk (y, (11)а весь вектор-план х знайдеться з формули (7) як добуток матриці Sна вектор У.

Таким чином, підрахувавши матрицю повних витрат S, можна поформулами (7) - (11) розрахувати валовий випуск кожної галузі ісукупний валовий випуск всіх галузей при будь-якому заданому асортиментномувекторі У.

Можна також визначити, яке зміна у вектор-плані (х = ((х1,
(х2, ..., (хn) викличе заданий зміна асортиментного продукту (У = (
(у1, (у2, ..., (уn) за формулою:

_ _

(х = S ((У, (12)

Наведемо приклад розрахунку коефіцієнтів повних витрат для балансовоїтабл.2. Ми маємо матрицю коефіцієнтів прямих витрат:

2 0.4

А =

0.55 0.1

Отже,

1 -0.2 -0.4 0.8
-0.4

Е - А = =

-0.55 1 -0.1 -0.55 0.9

Визначник цієї матриці

0.8 -0.4

D [E - A] = = 0.5

-0.55 0.9

Побудуємо приєднану матрицю (Е - А) *. Маємо:

0.9 0.4

(Е - А) * =,

0.55 0.8

звідки обернена матриця, що представляє собою таблицю коефіцієнтів повнихвитрат, буде наступною:

1 0.9 0.4 1.8
0.8

S = (Е - А) -1 = --- =

0.5 0.55 0.8 1.1
1.6

З цієї матриці укладаємо, що повні витрати продукції 1-й і 2-йгалузі, що йдуть на виробництво одиниці кінцевого продукту 1-й галузі,складає S11 = 0.8 і S21 = 1.5. Порівнюючи з прямими витратами а11 = 0.2 іа21 = 0.55, встановлюємо, непрямі витрати в цьому випадку складуть 1.8-
0.2 = 1.6 і 1.1-0.55 = 0.55.

Аналогічно, повні витрати 1-й і 2-й галузі на виробництво одиницікінцевого продукту 2-й галузі рівні S12 = 0.8 і S22 = 1.5, звідки непрямівитрати складуть 0.8-0.4 = 0.4 та 1.6-0.1 = 1.5.

Хай потрібно виготовити 480 одиниць продукції 1-й і 170 одиниць 2-йгалузей.

Тоді необхідний валовий випуск х = х1 знайдеться з рівності (7): х2

_ _ 1.8 0.8 480 1000 х = S (У = (= 1 1.6 170 800.

ПОВНІ ВИТРАТИ ПРАЦІ КАПІТАЛОВКЛАДЕНЬ І Т.Д.

Розширимо табл.1, включивши в неї, крім продуктивних витрат xik,витрати праці, капіталовкладень і т.д. по кожній галузі. Ці новіджерела витрат впишуться в таблицю як нові n +1- я, n +2- я і т.д.додаткові рядки.

Позначимо витрати праці в k-у галузь через xn +1, k, і витратикапіталовкладень - через xn +2, k (де k = 1, 2, ..., n). Подібно до того яквводились прямі витрати aik,

xn +1, kвведемо в розгляд коефіцієнти прямих витрат праці an +1, k = -----, і

xk xn +2, kкапіталовкладень an 2, k = -----, що представляють собою витратавідповідного xkресурсу на одиницю продукції, що випускається k-й галуззю. Включивши цікоефіцієнти в структурну матрицю (тобто дописав їх у вигляді додатковихрядків), одержимо прямокутну матрицю коефіцієнтів прямих витрат:

a11 a12 ... a1k ... a1n a21 a22 ... a2k ... a2n основна частина матриці

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

А (= ai1 ai2 ... aik ... ain

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... an1 an2 ... ank ... ann an +1,1 an +1,2 ... an +1, k ... an +1, n an +2,1 an +2,2 ... an 2, k ... an 2, nдодаткові рядки

При рішення балансових рівнянь, як і раніше використовується лишеосновна частина матриці (структурна матриця А). Однак при розрахунку напланований період витрат праці або капіталовкладень, необхідних длявипуску даного кінцевого продукту, беруть участь додатковірядка.

Так, нехай, наприклад, виробляється одиниця продукту 1-й галузі, тобто

_ 1

У = 0

Для цього потрібно валовий випуск продукції

S11

_ _ S21 x = S1 =:

Sn1

Підрахуємо необхідні при цьому витрати праці Sn +1,1. Очевидно,виходячи з сенсу коефіцієнтів an +1, k?? рямих затрат праці як витрат наодиницю продукції k-й галузі і величин S11, S12, ..., S1n, що характеризуютьскільки одиниць продукції необхідно випустити в кожній галузі, одержимовитрати праці саме в 1-у галузь як an +1,1 S11, в 2-у --an +1,2 S21 і т.д., нарешті в n-у галузь an +1, nSn1. Сумарні витрати праці,пов'язані з виробництвом одиниці кінцевого продукту 1-й галузі, складуть:

_ _

Sn +1,1 = an +1,1 S11 + an +1,2 S21 + ... + an 1, nSn1 = an +1 S1,

тобто рівні скалярний добуток (n +1)-го рядка розширеної матриці А (,яку позначимо an +1, на 1-й стовпець матриці S.

Сумарні витрати праці, необхідні для виробництва кінцевогопродукту k-й галузі, складуть:

_ _

Sn +1, k = an +1 Sk (13)

Назвемо ці величини коефіцієнтами повних витрат праці . Повторивши всенаведені міркування при розрахунку необхідних капіталовкладень, прийдемоаналогічно попередньому до коефіцієнтами повних витрат капіталовкладень:

_ _

Sn +2, k = an 2 Sk (14)

Тепер можна доповнити матриць S рядками, що складаються з елементів
Sn +1, k і Sn +2, k, створити розширену матрицю коефіцієнтів повнихвитрат:

S11 S12 ... S1k ... S1n матриця коефіцієнтів

S21 S22 ... S2k ... S2n повних внутріпроізводст.

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... витрат

S (= Si1 Si2 ... Sik ... Sin

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

(15)

Sn1 Sn2 ... Snk ... Snn

Sn +1,1 Sn +1,2 ... Sn +1, k ... Sn +1, n додаткові рядки

Sn +2,1 Sn +2,2 ... Sn +2, k ... Sn +2, n

Користуючись цією матрицею можна розрахувати при будь-якому заданомуасортиментному векторі У не тільки необхідний валовий випуск продукції х (для чого використовується матриця S), але й необхідні сумарні витрати праціxn +1, капіталовкладень xn 2 і т.д., що забезпечують випуск даної кінцевоїпродукції У.

Очевидно,

xn +1 = Sn +1,1 y1 + Sn +1,2 y2 + ... + Sn +1, nyn, (16) xn +2 = Sn +2,1 y1 + Sn +2,2 y2 + ... + Sn +2, nyn,

тобто сумарна кількість праці і капіталовкладень, необхідних длязабезпечення асортиментного вектора кінцевої продукції У, рівні скалярнимтворам відповідних додаткових рядків матриці S (вектор У.

Нарешті, об'єднуючи формулу (7) з формулами (16), приходимо донаступної компактній формі:

x1 x2

_: _ x = xn = S (У (17) xn +1 xn 2

Нехай додатково до даних , вміщених у табл.2, відомі за підсумкамивиконання балансу фактичні витрати праці xn +1, k (в тис. людино-годин
) І капіталовкладень xn +2, k (в тис. крб.), Які записані в табл.3

Переходячи до коефіцієнтів прямих витрат aik, отримаємо розширенуматрицю:

0.2 0.4

А (= 0.55 0.1

0.5 0.2

1.5 2.0

Таблиця 3

№ галузей споживання разом кінцевий валовий

№ затрат продукт випуск галузей 1 2

1 100 160

260 240 500

2 275 40

315 85 400

працю 250 80

330

капіталовложе-750 800 1550

ня

Зворотній матриця S = (E - A) -1 була вже підрахована в попередньомупункті.

На підставі (13) розрахуємо коефіцієнти повних витрат праці (
Sn +1, k = S3, k):

_ _

S31 = a3 (S1 = 0.5 (1.8 + 0.2 (1.1 = 1.12;

_ _

S32 = a3 (S2 = 0.5 (0.8 + 0.2 (1.6 = 0.72

і капіталовкладень Sn +2, k = S4, k:

_ _

S41 = a4 (S1 = 1.5 (1.8 + 2.0 (1.1 = 4.9;

_ _

S42 = a4 (S2 = 1.5 (0.8 + 2.0 (1.6 = 4.4.

Таким чином, розширена матриця S (коефіцієнтів повних витратнабуде вигляду:

1.8 0.8

S (= 1.1 1.6

1.12 0.72

4.9 4.4

Якщо задатися на планований період колишнімасортиментним вектором
У = 240, то розрахувавши за формулами (16) сумарні витрати праці xn 1і

85капіталовкладень xn +2, отримали б xn +1 = x3 = 1,12 (240 + 0.72 (85 =
268.8 + 61.2 = 330 тис. чел.-ч. і xn +2 = xn = 4.9 (240 + 4.4 (85 = 1176 +
374 = 1550 тис.руб., Що збігається з вихідними даними табл.3.

Однак на відміну від табл.3, де ці сумарні витрати групуютьсяза галузями
(250 і 80 або 750 і 800), тут вони розподілені за видами кінцевоїпродукції: на продукцію 1-й галузі 268.8 і на продукцію 2-й галузі 61.2;відповідно витрати капіталовкладень складають 1176 і 374.

При будь-якому новому значенні асортиментного вектора У всі показникиплану, такі, як валова продукція кожної галузі і сумарні витратитрудових ресурсів і капіталовкладень знайдемо з формули (17).

Так, нехай задано асортиментний вектор У = 480. Тоді

170

_ х1 1.8 0.8
1000 х = х2 = 1.1 1.6 480 = 800

х3 1.12 0.72 170 600

х4 4.9 4.4
3100

Звідси висновок, що запланований випуск кінцевого продукту Уможе бути досягнутий за валового випуску 1-й і 2-й галузей: х1 = 1000 іх2 = 800, при сумарних затратах праці х3 = 660 тис. чел.-ч. і при витратахкапіталовкладень х4 = 3100 тис.руб.

Розглянуті теоретичні питання та приклади розрахунку, звичайно,далеко не вичерпують важливу для практики область балансових досліджень.
Тут проілюстровано тільки один напрямок програми лінійної алгебрив економічних дослідженнях.

Завдання

В таблиці вказані витратні норми двох видів сировини та палива наодиницю продукції відповідного цеху, трудомісткість продукції в людино -годинах на одиницю продукції, вартість одиниці відповідного матеріалу іоплата за 1 чел.-ч.

Таблиця

Норми витрати

Розташування Вартість

I II

III

Сировина I 1.4 2.4
0.8 a4 5

Сировина II - 0.6
1.6 a5 12

Сировина III 2.0 1.8
2.2 a6 2

Трудомісткість 10 20 20 А7 12

Визначити:а) сумарний витрата сировини, палива і трудових ресурсів на виконаннявиробничої програми;б) коефіцієнти прямих витрат сировини, палива та праці на одиницю кінцевоїпродукції кожного цеху;в) витрати сировини, палива і трудових ресурсів по цехах;г) виробничі витрати по цехах (в крб.) і на весь виробничийпрограму заводу;д) виробничі витрати на одиницю кінцевої продукції.

Рішення:а) Сумарна витрата сировини I можна отримати, помноживши відповідну 1-удругий рядок таблиці на вектор х, тобто

_ _ 235 а4х = (1.4; 2.4; 0.8) 186 = 1088

397

Аналогічно можна отримати витрата сировини II і т.д.

Все це зручно записати у вигляді добутку:

1.4 2.4 0.8 235 1088 Сировина I

0 0.6 1.6 186 = 746 Сировина
II

2.0 1.8 2.2 397 1678
Паливо

0.1 0.2 0.2 1409
Людино-годин.

б) Витрати сировини I на одиницю кінцевої продукції 1-го цеху (у1 = 1) знайдемоз вираження 1.4S11 + 2.4S21 + 0.8S31. Отже, відповіднікоефіцієнти повних витрат сировини, палива та праці на кожну одиницюкінцевого продукту отримаємо з твору матриці:

I II III

1.4 2.4 0.8 1.04 0.21 0.02 1.97
2.92 1.36 Сировина I

0 0.6 1.6 0.21 1.05 0.13 = 0.17
0.84 2.09 Сировина II

2.0 1.8 2.2 0.03 0.13 1.26 2.53
2.60 5.23 Паливо

10 20 20
15.2 24.8 28.0 Праця

Таким чином, наприклад, для виготовлення у1 = 1 необхідно затратити
1.97 одиниць сировини I, 0.17 одиниць сировини II, 2.53 одиниць палива та 15.2 чол .-ч.в) Витрата сировини, палива і т.д. по кожному з цехів отримаємо з множення їхвитратних норм на відповідні валові випуски по цехах. У результатіотримаємо матрицю повних витрат:

I II III

Сировина I 330 440 318

Сировина II 0 111 635

Паливо 470 335 873

Праця 2350 3720 7940

г) Виробничі витрати по цехах можемо отримати шляхом множення зліварядка вартостей (5; 12; 2; 1.2) на останню матрицю:

330 440 318

0 111 635
I II III

(5; 12; 2; 1.2) 470 335 873 = (5410; 8666;
20484)

2350 3720 7940

д) Нарешті, виробничі витрати на одиницю кінцевої продукції,необхідні для визначення собівартості продукції, можемо знайти шляхоммноження зліва матриці повних витрат, знайденої в П.Б., на рядок цін:

1.97 2.92 1.36

0.17 0.84 2.09 I II

III

(5; 12; 2; 1.2) 2.53 2.60 5.23 = (35.3; 59.6;
75.7)

15.2 24.8 28.0

Таким чином, Внутрішньовиробничі витрати на одиницю товарноїпродукції I, II і III цехів відповідно становлять: 35.3 руб., 59.6руб., 75.7 руб.