МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ
КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Кафедра менеджменту
КУРСОВА РОБОТА
на тему "Математичні моделі й методи обгрунтування управлінських рішень, сфери їх використання в управлінській діяльності "
Студента III курсу, спец. 6201/1-2
Нечитайла Дмитра
Сергійовича
Науковий керівник
Барабой Дмитро
Олександрович
Дата здачі роботи на
Перевірку та рецензування
25 жовтня 1999 року
Реєстраційний номер 2
Курсова роботазахищена з оцінкою "_____"< br>Дата захісту____________
Комісія по захисту у складі:
_______________________ ______< br>_______________________ ______< Br>_______________________ ______
КИЇВ 1999
ЗМІСТ
Вступ.
.................................................. ..........................< br>............ с. 3
1. Моделі і методи прийняття управлінських рішень ................ с. 5
2. Математичні моделі і методи прийняття рішень ................... с. 13
3. Застосування математичних моделей і методів в практиці управління .......................................... ...................
............. с. 24
Висновки ................................................. ...................< br>................. с. 27
Вступ.
Кожен день нам доводиться вирішувати безліч питань: чи варто придбатиту чи іншу річ, як розподілити сімейний бюджет, що з'їсти на обід або чиварто вдягати теплий одяг? І кожен з нас незалежно від віку і статінамагається знайти якомога раціональнішу відповідь на те чи інше питання,бо від цього залежатимуть всі подальші наслідки. Кожен в житті приходить довідповідей на ці питання різними шляхами: хтось читає гороскоп, хтось кидаємонету, хтось радиться з другом, а дехто йде навмання.
Майже кожну мить хтось із нас робить те, що прийнято називатиприйняттям рішення. Це поняття вживають у повсякденній лексиці привирішенні соціально-побутових проблем, але в цій роботі я намагатимусьрозкрити сутність цього поняття з управлінської точки зору. Метою моєїроботи насамперед є довести те, що одним з найважливіших інструментівсучасного менеджера є вміння оперувати математикою поряд з управлінськиминауками, те, що для запобігання проблем в бізнесі менеджер повинен матиуяву про безліч методів для вирішення тієї чи іншої проблеми.
Завдання моєї роботи - дати відповіді на питання: для чого менеджериприймають рішення, як відбувається процес прийняття рішення, які методивживаються при прийнятті рішень, що являють собою математичні моделі всфері прийняття управлінських рішень та яким чином ці моделі можутьвживатися на практичному рівні?
На сьогодняшній день різні світові літературні видання пропонуютьчитачам дуже велике різномаїття книжок та періодичних видань присв'яченихтеорії та практиці прийняття рішень. При написанні цієї роботи я звертавсяяк до класиків американського менеджменту (Мескон М.Х., Альберт М., Хедоурі
Ф., Еддоус М., Стенсфілд Р. і т. ін), так і до сучасних вітчизняних таросійських авторів (Трояновський В.М., Шарапов О.Д., Беспалов Б.А. і т.ін). Хочу відзначити, що на мій погляд праці американських авторів більшлегкіші до сприйняття та місцями мають описову-пізнавальний характер, тодіколи вітчизняні та російські видання викладені в більшості у науковомустилі, хоча огляд математичних моделей у вітчизняних книжках представленобільш складно та поглиблено. Це свідчить про глибокий аналіз тихтеоретичних засад, які сформовані американським менеджментом. Американськіавтори будують свої твори таким чином, щоб вони були доступні для всіхрангів управління, а також для широкого кола читачів, в той час коливітчизняні науковці схиляються до формалізованого викладення.
Наприклад всім відомий американський підручник "Основи Менеджменту"
(Мескон М.Х. та інші) освітлює питання про моделі прийняття управлінськихрішень на мій погляд не досить глибоко. Ігрові методи показані на прикладахдекількох матриць і те ж стосується експертних методів. Такий підхід на моюдумку непогано сприяє засвоєнню матеріалу, але не дає змоги молодимменеджерам або просто зацікавленим особам здійснити якісь практичні заходи,використовуючи цей метод. Особисто мені дуже сподобався підручник В.М.
Трояновський "Математичне моделювання в менеджменті". Тут перелічені всіможливі моделі й методи математичного розв'язку управлінських і економічнихзадач, приведені конкретні приклади впровадження методів у життя, а такожприклади побудови моделей. Недоліки цього підручнику - надто конспективнохарактер і те, що він розрахований на читача, який вже має доситьпоглиблені знання з теорії прийняття рішень, а також добре вміє оперуватизнаннями з вищої математики, теорії ймовірностей і статистики.
Хотілося б відзначити, що проблема прийняття управлінських рішень недуже добре освітлена в українських періодичних виданнях. Я спробую пояснитичому. По-перше, тому, що процес прийняття рішень повинен бути унікальнимдля кожної фірми і мало хто з менеджерів хотів би освітлювати свої особистіпідходи, а по-друге, процес прийняття рішень повинен враховувати фактори,які є індивідуальними для кожної ситуації, і тому навряд чи обмін досвідомдопоможе прийняти вірне рішення. Найчастіше в періодичних виданняхосвітлюються проблеми управління персоналом, мотивації підлеглих, побудовидоскональної організаційної структури, а не стратегії прийняттяуправлінських рішень.
Перед тим як перейти до викладення основного плану цієї роботи, я хотівби розглянути ще один підручник американських авторів М. Еддоуса та Р.
Стенсфілда "Методи прийняття рішень", який на мою думку повинен викликатиінтерес у менеджерів, які схильні до застосування математичної методологіїв прийнятті рішень. Автори дуже доступно описують всі необхідні теоретичнізасади з векторної алгебри, лінійного програмування, теорії ігор,вільного оперування моделями прийняття рішень. Матеріал підручника легкосприймається навіть при недостатній озброєності математико-статистичнимизнаннями.
Для більш наочного сприйняття матеріалу в своїй роботі я будувикористовувати математичні формули, матриці, статистичні таблиці, діаграмита інші об'єкти.
1. Моделі і методи прийняття управлінських рішень.
При прийнятті рішень в практиці управління постає питання про задачуприйняття рішень. Отже спробуємо з'ясувати навіщо менеджери приймаютьрішення і чого вони таким чином досягають.
Задача прийняття рішень спрямована на визначення найкращого
(оптимального) або сприятливого способу дій для досягнення однієї абодекількох цілей. Під ціллю розуміється в широкому смислі ідеальне уявленнябажаного стану чи результату діяльності [3, c.11]. Бажаний стан чирезультат для особи, що приймає рішення може означати прибуток фірми,заволодіння долею ринку, подолання конкурентної боротьби, зниженнясобівартості продукції тощо. Найчастіше у житті трапляється так, що бажанийстан дещо віддалений або взагалі відсутній і той стан який існує вконкретний момент прийнято називати фактичним станом, тобто тим, що незалежить від волі особи, яка приймає рішення (ОПР). Отже, якщо фактичнийстан не відповідає бажаному стану, то має місце проблемна ситуація, абопроблема, віробітка плану подолання якої і складає сутність задачіприйняття рішень.
Проблемна ситуація може виникати за умов коли:
. функціонування управлінської системи в певний момент часу не забезпечую досягнення бажаних цілей організації;
. функціонування цієї системи не може забезпечити досягнення цих цілей і в майбутньому;
. система вимагає докорінних змін поставлених цілей.
Виявлення проблемної ситуації являє собою 1-й етап процесу прийняттярішень. Для того, щоб не забігати наперед, слід зробити перелік всіх етапівцього процесу, лише після чого перейти до розгляду власне методологіїпроцесу. Таким чином процес прийняття управлінських рішень складається знаступних етапів:
Рис.1
Другий етап процесу прийняття рішень - це накопичення інформації зпроблеми, а саме збирання відомостей щодо проблеми, яка вирішується. Натретьому етапі при опрацюванні альтернатив менеджер повинен враховуватитакі вимоги як взаємовіключність альтернатив та забезпечення однакових умовописування альтернатив. Коли на 4-му етапі ми підходимо до оцінкиальтернатив, то наші альтернативи повинні умовно пройти крізь "3 сита":
1. Чи є альтернатива реалістичною?
2. Чи відповідає альтернатива можливостям організації?
3. Чи є прійнятлівімі наслідки реалізації альтернативи?
Тепер, коли описані всі етапи процесу прийняття рішень, слід визначити самепоняття прийняття рішення: прийняття рішення - це порівняння альтернатив заочікуваними ефектами їх реалізації на закладі критеріїв етапу діагнозупроблеми і прийняття остаточного рішення [4, лекція № 3].
Кінцевим результатом задачі прийняття рішень являється рішення. Іззмістовної точки зору рішенням може бути курс дії, спосіб дії, план роботи,варіант проекту тощо. Рішення являється одним з видів розумової діяльностіі волевиявлення людини.
Перед тим як перейти до розгляду моделей та методів прийняттяуправлінських рішень, слід зазначити, що не кожен метод можезастосовуватись в будь-якій ситуації. Тобто кожне рішення або кожна задачаприйняття рішення може вирішуватися в різних умовах. Для визначення цихумов слід провести класифікацію задач прийняття рішень за різними ознаками
(ступінь візначенності інформації, зміст рішень, направленість рішеньтощо), серед яких нас найбільше цікавить ступінь визначеності інформації --ступінь повноти і достовірності даних, необхідних для прийняття рішеннь. Заступенем повноти визначеності інформації задачі прийняття рішенькласифікують на три групи:
V задачі в умовах визначеності;
V задачі в умовах визначеності ймовірнісної;
V задачі в умовах невизначеності. < p> Отже, для кожної групи умов в практиці управління використовуються тачи інша методологія.
Прийняття рішень в умовах визначеності провадяться при наявності повноїі достовірної інформації щодо проблемної ситуації, умов рішень і наслідкахйого реалізації. Для даного класу задач прийняття рішень немає необхідностідовізначаті проблемну ситуацію гіпотетічнімі ситуаціями. Цілі і обмеженняформально визначаються у вигляді цільових функцій. Критерій виборуобирається у вигляді мінімума або максимуму цільової функції. Наявністьпереліченої інформації дозволяє побудувати формальну математичну модельзадачі прийняття рішень і здійснити знаходження оптимального рішенняалгорітмічнім шляхом без втручання людини. Для вирішення цього класу задачприйняття рішень застосовуються різні методи оптимізації, наприклад, методиматематичного програмування: лінійного, нелінійного, динамічного.
Задачі прийняття рішень в умовах невизначеності безпосередньо пов'язаніз управлінськими рішеннями. Для цих задач характерна більша неповнота інедостовірність інформації, багатоманіття і складність впливу різнихфакторів соціального, економічного, політичного та іншого характеру. Ціобставини не дозволяють, по крайній мірі в теперішній час, побудуватиадекватні математичні моделі вирішення задач по визначенню оптимальногорішення. Тому активну роль в пошуці оптимального або сприятливого рішеннявиконує людина.
Математичні моделі, що розглядаютсяв задачах прийняття рішень в умовахвизначеності та ймовірнісної визначеності, описують найпростіші ситуації,характерні для функціонування технічних систем. Тому задачі даного класушироко застосовуються для синтезу управління в автоматичних системах імають дуже посереднє відношення до задач прийняття управлінських рішень ворганізаційних системах [7, с.21]. Я насмілюсь зауважити, що точка зоруавтора стосовно сфери застосування математичних моделей є дещо невірною абозастарілою. В якості аргументу я приведу вислів зі статті "Quantitive
Methods For Organizational Decision-Making "(" Кількісні методиорганізаційного прийняття рішень ") американського сучасного вченого Гарі
Барфута в оригіналі: "Mathematical data and quantitive methods can be anaid and beneficial in determining the best opinion "-" математичні дані такількісні методи можуть дуже добре допомогти у визначенні найкращої думки ".
Як я вже зазначав раніше, кожен управлінець для прийняття оптимальногорішення використовує свою методологію. Звичайно не можна стверджувати, щоскільки менеджерів, стільки й методів прийняття рішень. Це твердження булоб варни, коли б ми випустили з нього словосполучення "методів прийняття".
В теорії менеджменту існує досить багато класифікацій даних методів.
Оскільки глибоке пояснення кожного методу не є завданням цієї роботи, ялише наведу перелік цих методів з коротким описом, посилаючись накласифікацію з точки зору ступеню влади управлінців в організації. На мійпогляд такий підхід до класифікації методів прийняття рішень євсеохоплюючий, тобто під кожен з цих методів може бути застосований методза іншим класіфікаційнім підходом (статистичні, математичні і т. ін .).
Таким чином за даною клафікацією виділяють такі методи прийняттяуправлінських рішень:
. Прийняття рішення владою без колективного обговорення;
Переваги: більше застосовується для вирішення питань адміністративного характеру; корисний для простих рутинних питань, вирішення яких потребує мало часу і тоді коли виконавцям не вистачає досвіду та інформації для прийняття для прийняття рішення іншим шляхом.
Недоліки: одна особа не завжди є гарним джерелом для прийняття рішення; не використовуються ресурси інших виконавців.
. Рішення, що приймається експертом.
Переваги: корисний тоді, коли рішення, що приймається експертом має значно більшу цінність, ніж рішення всього колективу;
Недоліки: важко дізнатися, хто є експертом; втрачаються переваги групової активності.
. Прийняття рішення усереднення індивідуальних думок.
Переваги: корисний, коли важко зібрати весь колектив для обговорення, бо питання є терміновим;
Недоліки: неполагодженість думок, відсутня можлівсть обмінюватись думками.
. Прийняття рішення владою після групового обговорення.
Переваги: використовуються всі колективні ресурси на відміну від попередніх методів;
Недоліки: не дає гарантії впровадження групового рішення, членам групи невідомо, якого рішення чекає керівник ;
. Прийняття рішення меншістю.
Переваги: може використовуватися, коли неможливо зустрітися для прийняття групового рішення;
Недоліки: не дає виходу для реалізації можливостей більшості членів групи.
. Прийняття рішення більшістю голосів.
Переваги: може використовуватись, коли не вистачає часу для узгодженості голосів;
Недоліки: майже завжди залишається незадоволена меншість колективу, що в майбутньому загрожує груповій ефективності.
. Прийняття рішення узгодженням голосів.
Переваги: продукує новаторське творче рішення, використовує ресурси всього колективу, корисне при прийнятті серйозних, важливих та складних рішень.
Недоліки: потребує багато часу, психологічної напруги та високої кваліфікації виконавців.
[10, пров. з англ. Н.Д.]
Коли я зазначав про універсальність такої класифікації, я мав на увазі,що незалежно від вибору будь-якого з вищеназваних методів, ОПР можезастосовувати методи класифікації нижчого ступеню (математичні,статистичні, аналітичні, теоретико-ігрові тощо) в залежності від характерупитання, яке вирішується.
Деякі науковці вважають, що не слід плутати саме методи прийняттяуправлінських рішень з методами їх обгрунтування. Якщо дотримуватись такоїточки зору, то можна сказати, що вищеперелічені методи відносяться дометодів прийняття рішень (інколи їх ще називають стилями прийняття рішень),а методи обгрунтування управлінських рішень використовують якісьформалізовані моделі і мають іншу класифікацію. Посилаючись на лекцію № 4
Соболя С.М. нижче наведена схема такої класифікації (Див. Рис.2). Згідно зданою схемою методи обгрунтування управлінських рішень підрозділяються надві основні групи: кількісні та якісні методи. До якісних методіввідносяться лише експертні методи, а решта методів (класифікація заступенем визначеності) відноситься до кількісних. Якщо заторкнуті темуданої роботи, то виникає питання, які з цих методів прийнято вважатиматематичними? В.М. Трояновський в своїй книзі "Математичне моделювання вменеджменті "дає математичне обгрунтування для всіх методів прийняттярішень.
(Мал. 2).
До математичних методів згідно його слів відносяться і експерті методи, істатистичні, і методи прогнозування, і методи лінійного пр?? грамування табагато інших. Всі вони будуть досконально розглянути в наступному пунктіплану. Поки що коротко розглянемо кожен з методів, вказаних на схемі. o Аналітичні методи. Вони характеризуються тим, що встановлюють аналітичні (функціональні) залежності між умовами вирішення задач прийняття рішень та їх результатами. (Напр. методи економічного аналізу діяльності фірм). o Статистичні методи. Іх характерною рисою є врахування випадкових впливів та відхилень. Ці методи дозволяють отримувати з накопічуваної інформації, яка здається хаотично, основні тенденції та закономірності. Ця група охоплює методи теорії ймовірностей та математичної статистики. Найбільш широко використовуються такі методи, як кореляційний аналіз, факторний аналіз, дисперсійний аналіз, методи статистичного контролю якості та надійності продукції. o Методи математичного програмування. Застосовуються при рішенні умовних екстремальних задач з багатьма змінними. o Теоретико-ігрові методи та методи статистичних рішень. Теорія статистичних рішень використовується, коли невизначеність ситуації викликана об'єктивними обставинами, які або невідомі, або носять випадковий характер. Метод теорії ігор використовується в тих випадках, коли невизначеність ситуації викликана свідомими діями розумного противника [4, Лекція № 4].
До загального огляду методів обгрунтування управлінських рішень я хотівби додати, що використання цих методів ще може залежати від технології, якузастосовує ОПР при прийнятті рішень. На мою думку, якщо рішення приймаєтьсяза раціональною технологією або процесом (див. рис. 2), то тодівикористання вищеназваних методів буде доцільним. Навпаки, якщо приприйнятті рішення використовується інтуітівна технологія (реєстрація змін
-> Селекція рішень, що містяться в пам'яті суб'єкта управління -> прийняттярішення) з точки зору поведінкової моделі або менеджер використовуєірраціональну модель, то ці методи навряд чи знайдуть своє місце. Як привикористанні інтуітівної технології поведінкової моделі, так і привикористанні ірраціональної моделі, у менеджера не вистачить часу длязастосування вищевказаних методів, або якщо це стосуватиметься принциповонових рішень, то може виявитися неможливість побудови моделі прийняттярішень за якимось з цих методів.
Для кращого розуміння термінології слід вказати різницю понять моделіта методу прийняття рішень. Модель - це все те, що образно представляєякийсь об'єкт чи процес і використовується для аналізу або вивчення цьогооб'єкту чи процесу. Наприклад: глобус - модель Землі, Іграшкова машинка --модель автомобілю, цільова функція - модель якогось економічного процесутощо. Що стосується поняття терміну "метод", то це всі ті дії, які прививченні моделі застосовує людина для досягнення якогось результату.
Умовний приклад може бути наступним: "Менеджер побудував математичну модельз проблемної ситуації. Він використовує симплекс-метод для знаходженняоптимального рішення - мінімізація витрат виробництва (результатвпровадження методу по конкретній моделі )".
У загальновідомому підручнику "Основи менеджменту" автори даютьнаступну класифікацію моделей прийняття управлінських рішень: o Фізична модель; o Аналогова модель; o Математична модель.
За Мескон фізична модель представляє те, що досліджується, задопомогою збільшеного чи зменшеного описання об'єкту або системи.
Автомільні та авіаційні підприємства завжди виготовляють фізичні зменшенікопії нових засобів пересування. Будучи точною копією, модель повиннаповодити себе аналогічно автомобілю чи літаку, що виготовляється, але прицьому коштує вона значно менше. Таким самим чином будівельна компаніязавжди будує мініатюрну, перед тим як розпочати будівництво виробничого чиадміністративного корпусу або складу.
Аналогова модель представляє об'єкт, що досліджується аналогом, якийповодить себе як реальний об'єкт, але не виглядає як такий. Прикладаналогової моделі - організаційна схема. Вібудовуючі її, керівництво встані легко уявити собі ланцюги проходження команд і формальну залежністьміж індивідами та діяльністю. Така аналогових моделей звичайно більш простийі ефективний спосіб сприйняття і прояву складних взаємозв'язків структуривеликої організації, ніж, припустимо, складання переліку взаємозв'язківвсіх робітників. Інший приклад аналогової моделі - графік, що показуєзалежність, між кількістю виробленої фарби та витратами з розрахунку на 1галон) (див. рис. 3).
2,70
2,60
2,50
2,40
2,30
2,20
2,10
2,00
1000 2000 3000 4000 5000
6000 7000
Рис.3 - Аналогова модель.
[5, c.225].
Даний графік, що ілюструє саме аналогову модель, показує яким чиномрівень виробництва на підприємстві впливає на витрати.
Іншими за класифікацією йдуть математичні моделі. Але оскільки цебезпосередньо пов'язано з темою даної роботи, то про математичні моделібільш детально буде викладено у відповідному розділі курсової роботи.
2. Математичні моделі і методи прийняття рішень.
Епоха застосування математичних моделей прийняття управлінських рішеньрозпочалася після 2-ї світової війни. Поява та розповсюдження ЕОМ зробиломожливим використання математичних моделей для рішення економічних задач,починаючи від перевезення одного продукту в масштабах району і закінчуючимоделюванням національної економіки. Починають розроблятися моделі міст,ринків, війн, так звані глобальні моделі розвитку всесвіту. Якщо модельпобудована і її створювачі вірять в її адекватність, то вонавикористовується для вирішення різних задач - прогнозування, прийняттяпростих і складних рішень. Як правило, застосування математичних моделейпов'язане з використанням ОЕМ. Математичні моделі в теперішній часпретендують на роль універсального засобу вирішення будь-яких проблем.
В математичній моделі, яку інколи називають символічною,вікорітовуються символи для описання властивостей або характеристик об'єктучи події. Приклад математичної моделі і її аналітичної сили як засобу, щодопомагає нам зрозуміти виключно складні проблеми, - відома формула
Ейнштейна E = mc2. Якби Ейнштейн не зміг побудувати цю математичну модель, вякій символи замінюють реальність, малоймовірно, щоб у фізиків з'явиласянавіть віддалена ідея про взаємозв'язок матерії та енергії. Математичнімоделі відносяться до типу моделей, що найчастіше використовуються приприйнятті організаційних рішень [5, С.226].
Для кращого розуміння сутності економічних моделей, я зроблюдеталізований огляд основних серед них з наведенням конкретних прикладів тамалюнків.
Як вже зазначалось вище, модель задачі прийняття рішень зводиться дознаходження оптимуму. Серед оптимізаційних задач дуже відомими є задачілінійного програмування. Задачами лінійного програмування являються такіоптімізаційні задачі, в котрих цільова функція і функціональні обмеження --лінійні функції, що приймають будь-які значення з деякої множини значень.
Стандартна задача лінійного програмування записується у вигляді:
(I)
В задачі лінійного програмування нестрогі функціональні нерівностіможна перетворити в строгі рівності, додавши невідомі невід'ємнідодаткові змінні. Звичайно, число невідомих і число рівнянь в системі можебути різним. Але й у цьому випадку для системи рівнянь відомі можливіваріанти: система може бути несумісною, тобто не мати рішень взагалі;рішення може бути одне, але (!) це єдине рішення може виявитисянеприпустимим з-за наявності від'ємних компонент в рішенні; рішень можебути нескінченно багато. Взагалі для єдіності рішення задачі лінійногопрограмування не вимагається рівності числа змінних та числа обмежень. Длязадач лінійного програмування розроблені багаточисельні ефективні методивирішення і відповідне математичне забезпечення для різноманітних ситуацій
[8, с.22]. o Приклад.
Невелика сімейна фірма виробляє два шірокопопулярніх безалкогольних напої - "Pink Fuzz" та "Mint Pop". Фірма може продати всю продукцію, котра буде вироблена, однак обсяг виробництва обмежений кількістю основного інгрідієнту та виробничою потужністю обладнання. Для виробництва 1 л "Pink Fizz" потрібно 0,02 години роботи обладнання, а для виробництва 1 л "Mint Pop" - 0,04 години. Витрати спеціального інгрідієнту складають 0,01 і 0,04 кг на 1 л "Pink Fizz" і "Mint Pop" відповідно. Щоденно в розпорядженні фірми мається 24 години часу роботи обладнання та 16 кг спеціального інгрідієнту. Доход фірми складає 0,10 у.о. за 1 л "Pink Fizz" і 0,30 у.о. за 1 л "Mint Pop". Скільки продукції кожного виду слід виробляти щоденно, якщо мета фірми - максимізація щоденного доходу?
Рішення.
Крок 1. Визначення змінних. В рамках заданих обмежень фірма повинна прийняти рішення про те, яку кількість кожного виду напоїв слід випускати. Нехай р - число літрів "Pink Fizz", що виробляється за день.
Нехай m - число літрів "Mint Pop", що виробляється за день.
Крок 2. Визначення цілі та обмежень. Ціль полянає в максимізації щоденного доходу. Нехай Р - щоденний доход, у.о. Він максімізується в рамках обмежень на кількість годин роботи обдаднанняі наявності спеціального інгрідієнту.
Крок 3. Віразімо ціль через змінні:
Р = 0,10 р + 0,30 m (у.о. в день).
Це є цільова функція задачі - кількісне співвідношення, що підлягає оптимізації.
Крок 4. Віразімо обмеження через змінні. Існують такі обмеження на виробничий процес:
А) Час роботи обладнання. Виробництво р літрів "Pink Fizz" і m літрів
"Mint Pop" потребує (0,02 р + 0,04 m) годин щоденно. Максимальний час роботи обладнання складає 24 год в день. Таким чином:
0,01 р + 0,04 m 24 год/день
Б) Спеціальний інгрідієнт. Виробництво р літрів "Pink Fizz" і m літрів
"Mint Pop" потребує (0,01 р + 0,04 m) 16 кг/день.
Інших обмежень не має, але розумно передбачити, що фірма не може виробляти напої у від'ємних кількостях, тому: Р0, m0.
кінцеве формулювання задачі лінійного програмування має наступний вигляд. Максимізувати:
Р = 0,10 р + 0,30 m (у.о. в день). при обмеженнях: час роботи обладнання: 0,01 р + 0,04 m 24 год/день спеціальний інгрідієнт: 0,01 р + 0,04 m 16 кг/день. р, m0. (3, с.402).
різновидом задач лінійного програмування є транспортні задачі. Нехайпотрібно перевезти деяку кількість одиниць однорідного товару з різнихскладів в декілька магазинів. Приймемо слідуючі позначення: k - числоскладів, n - число магазинів, АІ - кількість товару на і-ому складі, bj --кількість товару, необхідного j-ому магазину, xij - кількість одиницьтовару, що перевозиться з і-го складу в j-ий магазин. Передбачається, що a1
+ ... + Ak = b1 + ... bn і що відомі вартості cij перевезення одиниці товару зі-го складу до j-го магазину (вважається, що загальна вартість перевезенняпропорційна загальному обсягу перевезення cijxij при перевезенні з і-госкладу до j-го магазину). Потрібно знайти такі обсяги перевезень, щоб F (x)
= (C11x11 + ... + c1nx1n) + (ci1xi1 + ... + cinxin) +
+ (Ck1xk1 + ... + cknxkn) -> min при обмеженнях:
(II).
Для нас важливим є те, що всі невідомі змінні входять до цільової функції,а також в обмеження в першому ступені і являються неперервно знінюванімівеличинами. Рівності n = k не вимагається.
Для розв'язку задач лінійного програмування використовується декількаметодів, серед яких найбільш розповсюдженими є симплекс-метод (складаєтьсясимплекс-таблиця, в якій за допомогою числа ітерацій методом Гауса-Жорданазнаходиться оптимальне значення цільової функції) та графічний метод.
На практиці в сферах фінансів, маркетингу, інвестування та інших дужечасто виникає проблема раціонального розподілу якихось ресурсів
(капіталовкладень, товару тощо). Щоб прийняти вірне рішення щодооптимального розподілу ресурсів застосовується математична модельдинамічного програмування. Динамічне програмування використовується длядослідження багатоетапного процесів. Стан системи, якою керують,характеризується певним набором параметрів (фазовими координатами). Процеспереміщення в фазовому просторі розподіляють на ряд послідовних етапів іздійснюють послідовну оптимізацію кожного з них, починаючи з останнього. Накожному етапі знаходять умовно оптимальне управління при всеможлівіхпередбачення про результати попереднього кроку. Коли процес доходить довихідного стану, знову проходять всі етапи, але вже з множини умовнихоптимальних управлінь обирається одне найкраще [8, с.32]. У простомувипадку задача динамічного програмування може вирішуватися наступнимметодом.
Нехай є n функцій з невід'ємними значеннями f1 (x1), x1 d1 ,...,fn (xn), xn dn, де d1, ..., dn - області визначення змінних. Потрібнознайти максимум (або мінімум) F (x1, ..., xn) = f1 (x1) + ... + fn (xn) при деякихобмеженнях на змінні x1, ..., xn. У найпростішому випадку обмеження одне (невраховуючи природньої вимоги невід'ємності змінних): x1 + x2 + ... + xn = A. Схемадій буде наступною: знаходимо F12 (A) = max [f1 (x) + f2 (Ax)], далі
F123 (A) = max [F12 (x) + f3 (Ax)] і т.ін., а в кінці кінців - max
F (x1, ..., xn) = F12 ... n (A) = max [F12 ... n-1 (x) + fn (Ax)]. o Приклад.
Нехай фірма має три торговельні точки, якусь кількість умовних одиниць капіталу і знає для кожної точки залежність прибутку в ній від обсягу вкладення певного капіталу в цю точку.
(Див. таблицю 1).
Таблиця 1:
Вихідні дані прикладу.
| Вкладення | 1 | 2 | 3 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0,28 | 0,25 | 0,15 |
| 2 | 0,45 | 0,41 | 0,25 |
| 3 | 0,65 | 0,55 | 0,40 |
| 4 | 0,78 | 0,65 | 0,50 |
| 5 | 0,90 | 0,75 | 0,62 |
| 6 | 1,02 | 0,80 | 0,73 |
| 7 | 1,13 | 0,85 | 0,82 |
| 8 | 1,23 | 0,88 | 0,90 |
| 9 | 1,32 | 0,90 | 0,96 |
| | | | |
Як розпорядитися наявним капіталом так, щоб прибуток був максимальним?
Звичайно, можна переглянути всі можливі комбінації розподілу капіталу,скажімо при чотирьох одиницях капіталу:
(4,0,0), (0,4,0), (0,0,4); (3,1,0), (3,0,1); (2,2,0), (2 , 0,2), (2,1,1)і т.ін.
Але якщо задана велика кількість змінних? ... Для вирішення цієї задачіможна використовувати динамічне програмування. Введемо наступні позначення:
F1 (x), f2 (x), f3 (x) - функції прибутку в залежності відкапіталовкладень, тобто стовпці 2-4 (див. таб.1), F12 (A) - оптимальнийрозподіл, коли А одиниць капіталу вкладується в першу і лругу точки разом,
F123 (A) - оптимальний розподіл капіталу величини А, що вкладається у всіточки разом.
Наприклад, для визначення F12 (2) треба знайти f1 (0) + f2 (2) = 0,41,f1 (1) + f2 (1) = 0,53, f1 (2) + f2 (0) = 0,45 і обрати з них максимальну, тобто
F12 (2) = 0,53. Взагалі F12 (2) = max [f1 (x) + f2 (A-x)]. Обчіслюємо F12 (0), F12 (1),
F12 (2), ... F12 (9), котрі заносяться в таблицю 2 (див. таб.2).
Для А = 4 можливі комбінації (4, 0), (3, 1), ( 2, 2), (1, 3), (0, 4),котрі дають відповідно загальний прибуток: 0,78; 0,90; 0,86; 0,83; 0,65.
Більш детально отримання цих величин показано нижче.
Таблиця 2:
Розподіл капіталу між двома торговими точками.
| Вкладення | f1 (x) | f2 (x) | F12 (A) | Оптимальний |
| (А) | | | | розподіл |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0,0 |
| 1 | 0,28 | 0,25 | 0,28 | 1,0 |
| 2 | 0,45 | 0,41 | 0,53 | 1,1 |
| 3 | 0,65 | 0,55 | 0,70 | 2,1 |
| 4 | 0,78 | 0,65 | 0,90 | 3,1 |
| 5 | 0,90 | 0,75 | 1,06 | 3,2 |
| 6 | 1,02 | 0,80 | 1,20 | 3,3 |
| 7 | 1,13 | 0,85 | 1,33 | 4,3 |
| 8 | 1,23 | 0,88 | 1,45 | 5,3 |
| 9 | 1,32 | 0,90 | 1,57 | 6,3 |
| | | | | |
F12 (A) = max (f1 (x) + f2 (A-x))
Тепер, коли фактично є залежність F12 від величини капіталу, що вкладуєтьсяу перші дві точки, можна шукати F123 (A) = max [F12 (x) + f3 (Ax)].
Результати наведемо в таблиці 3. Більш детально отримання цих величин привкладенні капіталу в три точки показано в таблиці 4 для дев'яти одиницькапіталу.
Таблиця 3:
Розподіл капіталу поміж трьома торговими точками.
| Вкладення (А) | F12 (x) | f3 (x) | F123 (A) | Оптимальний |
| | | | | Розподіл |
| | | | | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | (0, 0, 0) |
| 1 | 0,28 | 0,15 | 0,28 | (1, 0, 0) |
| 2 | 0,53 | 0,25 | 0,53 | (1, 1, 0) |
| 3 | 0,70 | 0,40 | 0,70 | (2, 1, 0) |
| 4 | 0,90 | 0,50 | 0,90 | (3, 1, 0) |
| 5 | 1,06 | 0,62 | 1,06 | (3, 2, 0) |
| 6 | 1,20 | 0,73 | 1,21 | (3, 2, 1) |
| 7 | 1,33 | 0,82 | 1,35 | (3, 3, 1) |
| 8 | 1,45 | 0,90 | 1,48 | (4, 3, 1) |
| 9 | 1,57 | 0,96 | 1,60 | (5, 3, 1) або (3, |
| | | | | 3, 3) |
Таблиця 4:
Розподіл дев'яти одиниць капіталу поміж трьома точками.
| Капітал | x1 + x2 | x3 | F123 |
| | | | |
| 9 | 9 | 0 | 1,57 |
| | 8 | 1 | 1,45 +0,15 = 1,6 |
| | 7 | 2 | (5, 3, 1) |
| | 6 | 3 | 1,33 +0,25 = 1,58 |
| | 5 | 4 | 1,2 +0,4 = 1,6 |
| | 4 | 5 | (3, 3, 3) |
| | 3 | 6 | 1,06 +0,5 = 1,56 |
| | 2 | 7 | 0,9 = 0,62 = 1,52 |
| | 1 | 8 | 0,70 +0,73 = 1,43 |
| | 0 | 9 | 0,53 +0,82 = 1,35 |
| | | | 0,28 +0,90 = 1,18 |
| | | | 0,96 |
Важливо те, що отримані результати були д тими ж, якби ми користувалисьНЕ F12 і F123, а, скажімо, F31 i F312. Зверніть увагу на те, що оптимальнерішення для А = 9 - не єдине!
Динамічне програмування потужний та важливий метод вирішення певногокласу оптимізаційних задач, оскільні він дозволяє різко скоротити обсягпереборів варіантів і обсяг обчислень [8, с.35].
Для того, щоб надати для розгляду якомога більше математичних моделей
(звичайно не всі, інакше потрібно було б писати книгу), надалі яслідуватіму прикладу американських класиків Мескон М., Альберта М. та
Хедоурі Ф. і буду приділяти більше уваги короткий опис тієї чи іншоїмоделі, ніж вдаватися у математичні подробиці.
приведемо приклад наступної математичної моделі - моделі управліннязапасами. Модель управління запасами використовується для визначення часурозміщення замовлень на ресурси та їх кількості, а також маси готовоїпродукції. Будь-яка організація повинна підтримувати деякий рівень запа?? івдля запобігання затримок на виробництві і в збуті [5, с. 231]. Ціль даноїмоделі - зведення до мінімуму негативних наслідків накопичення запасів, щовиражається в певних витратах. Всупереч відомій приказці ( "Запас кишеню нетягне "), підприємцю потрібно піклуватися про те, щоб витрати на зберіганняпродукції були в розумних межах.
Існують різні види запасів. Буферний запас, що створюється міжпостачальником та виробником, потрібен для компенсації затримок впоставках, для послаблення залежності споживача від постачальника, длявиробництва продукції партіями оптимального розміру. Запас готовоїпродукції потрібен для виробництва продукції партіями оптимального розміру,для задоволення очікуваного попиту, для компенсації відхилення фактичногопопиту, від того, що прогнозується (гарантійний запас). Можливі різніпостановки задачі управління запасами. Наприклад: визначити обсягзамовлень, вважаючи моменти виробництва замовлень фіксованими, абовизначити і обсяг замовлень і моменти замовлень. Під оптимальним як правилорозуміється рішення, що мінімізує суму всіх витрат, пов'язаних ізстворенням запасів. Затрати бувають трьох типів: затрати на оформлення іотримання замовлення, вартість зберігання продукції і штрафи при виснаженнізапасів за недопоставлений продукцію. Приходиться також враховуватихарактеристики попиту (відомий - невідомий, постійний - залежить від часу,виникає в певні моменти - існує весь час) і замовлень (виконуються одразу ж
- Через деякий час, приймаються в будь-який час - в певні моменти,замовлень надходить рівномірно - нерівномірно і т.ін.) [8, с.44].
Досить часто менеджеру доводиться вирішувати проблеми, які носятьмасовий характер. Наприклад це може стосуватися обслуговування клієнтури,яка надходить чергою або врахування затрат часу при простої на митниці іт.ін. Деколи доводиться розробити автоматизоване устаткування, до якого впорядку черги будуть надходити об'єкти для обслуговування. Мескон М.наводить приклади масового характеру при прийомі дзінків в авіакомпанію длярезервування квитків та інші. Всі ці проблеми можуть вирішуватися по -різному, але якщо брати до уваги теоретичний підхід з наукової точки зору,то в даному випадку для вирішення цих питань застосовують моделі теоріїчерг або оптимального обслуговування. "Принципова проблема полягає вурівноваженні витрат на додаткові канали обслуговування та втрат відобслуговування на рівні нижчому за оптимальний "- стверджує Мескон. Моделічерг надають керівництву інструментарій для визначення оптимальноїкількості каналів обслуговування, котрі необхідно мати, щоб збалансувативитрати у випадках надто малої і надто великої їх кількості.
Серед інших моделей, які не обійшла "королева наук" - математика,величезне практичне значення має теорія ігор. Про сферу застосування даноїмоделі (як і про інші моделі) буде сказано в наступному розділі. Отже слідрозкрити, що таке гра і які загальні принципи її проведення. На змістовномурівні під грою можна розуміти взаємод
