Управління запасами
Оптимальний розмір запасів
Для отримання більшого прибутку необхідно звести змінні витрати домінімуму. Тут ви розглянете проблему мінімізації змінних витрат задопомогою управління запасами.
Нехай на протязі місяця ви продаєте q одиниць продукції, котру визакупаєтє n разів по Q одиниць в партії. При цьому витрати на зберіганняоднієї штуки на місяць становлять, а вартість замовлення партії дорівнюєf.
Тоді сумарні витрати підтримки запасів дорівнюють:
(1.66)
Змінні витрати (VC) = витрати на зберіганняштук на протязі місяця +
Вартість замовлення nартій. У формулі (1.66) стоїть вартість зберігання
штук на протязі місяця, так як по ходу продаж, кількість зберігаємоготовару буде поступово зменьшувати до 0, після чого буде закупати новапартія (мал (1.24 )).
Знайдемо мінімум змінних витрат VC.
Теорема 1.7. Про оптимальному розмірі закупаємої партії:
Нехай в одиницю часу, наприклад, місяць, Ви закупаєте q одиниць продукції,котру ви закупаєтє n разів по Q одиниць в партії. При цьому витрати назберігання однієї штуки на місяць становлять, а вартість замовленняпартії дорівнює f.
Тоді оптимальна кількість заказів визначається за формулою:
(1.67)
Оптимальний розмір закупаємої партії визначається формулою:
(1.68)
Оптимальні змінні витрати підтримки запасів визначаються формулою:
(1.69)
Доведення теореми (1.7):
Для цього візьмемо похідну по Q та прірівняємо її до 0:
або
Формула (1.68) дає оптимальний розмір закупаємої партії, прицьому кількість закупок буде визначатися за формулою:
або
, а оптимальне змінні витрати підтримки запасів визначаються заформулою:
або
Теорема доведена.
Так, якщо на протязі місяця Вам треба 1000 штук, q = 1000, вартість замовленняпартії 10 $, При цьому витрати на зберігання однієї штуки на місяцьстановлять $ 1.5, формула (1.69) для визначення кількості штук дає:
формула (1,67)-кількість закупок на місяць:
формула (1,69)-мінімально можливі витрати на підтримку запасів:
в місяць при наівному рішенні купити відразу 1000 одиниць Ви би мали:
порівняно з «наівнім» рішенням ви зекономили < p> $ 810 - $ 179.85 = $ 630.15
Таким чином раціональне управління запасом дозволило зменшити витратизберігання у
чисельний приклад 1,28
Нехай у вас витрати зберігання дорівнюють $ 1.6/штука за місяць, намісяць потрібно 1000 штук, вартість замовлення партії $ 10. Вас цікавлятьвитрати на підтримку запасів в залежності від об'єму закупаємої партії
| Q | 10 | 20 | 40 | 80 | 11 | 16 | 32 | 48 | 54 | 82 | 10 |
| | | | | | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| VC | 1 | 51 | 28 | 18 | 17 | 19 | 28 | 40 | 52 | 66 | 81 |
| | | 6 | 2 | 9 | 9 | 1 | 7 | 5 | 8 | 8 | 0 |
У першій рядку розміщені різні значення об'єму закупаємої партії вдругій витрати на збереження запасів.
Кількість зберегаєміх на складі деталей показано на малюнку 1,25.
Визначення 1,37 Коефіцієнт економії КЕ
Коефіцієнт економії КЕ є відношення витрат початкового, нівноговаріанта закупівлі відразу q одиниць товару до витрат оптимального варіанту.
Визначення 1,38 Рівень оптимальних витрат РОВ
Визначимо рівень оптимальних витрат РОВ як відношення витратоптимального варіанта до витрат наівного варіанта.
Коефіцієнт економії КЕ показує в скільки раз ви знизили витрати, арівень оптимальних витрат РОВ показує долю оптимальних витрат від витратпочаткового варіанту.
Теорема 1,8 Коефіцієнт економії та Рівень оптимальних витрат
При виконанні умов теореми 1,7 вірно:
(1,70)
, де (1,71)
(1,72)
Доведення:
Рівень оптимальних витрат визначається за формулою:
замінивши на х отримаємо:
Теорему доведено.
Знайдемо похідну КЕ по х:
Таким чином КЕ мінімален та дорівнює одиниці при x = 1, або вцьому нема нічого не звичайного: в цьому випадку розмір оптимальної партіїдорівнює q та ви робите лише одну покупку, як в наівному варіанті.
чисельний приклад 1,29 Коефіцієнт економії
Коефіцієнт економії та рівень оптимальних витрат залежать відкоефіцієнта х,
Нас цікавлять значення коефіцієнта економії та рівня оптимальнихвітратв залежності від значення х, розрахунки робимо за формулами (1,70)
(1,71).
| X | 0,0 | 0,0 | 0,0 | 0,0 | 0,1 | 0,3 | 0,5 | 0,7 | 0,9 | 1 | 1,1 | 1,2 | 1 , 4 | 1,8 | 3 | 7 | 15 |
| | 2 | 4 | 6 | 8 | | | | | | | | | | | | | |
| РОВ | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,5 | 0,8 | 0,9 | 0,9 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0,9 | 0,9 | 0,8 | 0,6 | 0,4 |
| | 8 | 8 | 6 | 2 | 7 | 4 | 4 | 8 | | | | | 9 | 6 | 7 | 6 | 8 |
| КЕ | 3,6 | 2,6 | 2,1 | 1,9 | 1,7 | 1,1 | 1,0 | 1,0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1,0 | 1,0 | 1,1 | 1,5 | 2,0 |
| | 1 | | 6 | 1 | 4 | 9 | 6 | 2 | | | | | 1 | 4 | 5 | 1 | 7 |
В першій строчці знаходиться параметр х, розрахований поформулі (1,72), у другій та третій коефіцієнти РОВ та КЕ, розраховані поформулі (1.70) та (1.71)
Оптимальний розмір готівки
Нехай тепер Вам на місяць треба готівки в розмірі М. Інші вільні коштиви тримаєте в банку або в цінних паперах, наприклад облігаціях, що приносятьr% на місяць (в одиничний проміжок часу). Кожного разу при знятті коштів збанківського депозиту або при продажу облігацій Ви платите фіксовану сумуза проведення операцій в розмірі f наприклад комісійні за продаж облігацій
Вам треба визначити оптимальний режим взяття готівки.
Ця задача аналогічна попередній задачі визначення оптимального розміразапасів. Розгляньте її більш детально. Якщо ви будете знімати коштипартіями розміром m, то в середньому у Вас на руках будеготівкі: m вмомент зняття грошей та 0 перед зняттям. Тому ви не до отримаєте відсоткирозмірі. В тій же час (період) Ви будете брати гріши раз,виплачуючи за це комісійні в розмірі. Тому сумарні витрати VCзберігання готівки будуть:
(1,73)
Вас цікавить мінімізація цих витрат. Для цього візьмемо похідну по mта прірівняємо її до 0:
(1,74)
Ви бачите, що формула (1,74) повністю співпадає з формулою (1.68).
Так, якщо на місяць вам потрібно $ 10 000, гроши ви тримаєте в банку нарахунку з 6% річних або 0,5% на місяць та витрати знаття грошей становлять
$ 2, наприклад, комісійні за зняття грошей за допомогою пластикової картки
, та по формулі (1.74) Ви знаходите оптимальний розмір суми для зняття:
Ви бачите, що оптимальні суми зняття грошей становлять близько $ 2800
Якщо ж гроши лежать на депозиті під 12% річних або 1% річних, тооптимальний розмір знімаємої суми становлять вже
3 Довжина черги та оптимальний розмір запасів
У попередньому розділі ви розглянули управління оборотним капіталом вумовах визначеності. Але ж якщо до вас приходять покупці випадковим чиномта закупають випадкову кількість товару, то не маючи запасу, ви не завждибудете в змозі задовольнити бажання покупців, що може привести чи до сплатинеустойки за не можливість доставити партію товару, чи до втрати покупців.
В тей же самий час мати дуже великий розмір запасу є невигідним з зазаморожених в запасах коштів та з за плати за зберігання запасів.
Розгляньте цю ситуацію більш детально. Нехай до вас в одиницю часу зймовірністю х приходить запит на одиничне партію товару, та з ймовірністю yобслуговується запит на одиничне партію товару. Вас цікавить середнявеличина незадоволеного попиту, котрий у Вас накопичитися з часом.
Теорема 1.9 Середня довжина черги
Нехай довжина черги може приймати цілі невід'ємні числа: 0,1,2 ,.... Прицьому дорівнює 0 довжина черги означає відсутність черги. Нехай до вас водиницю часу з ймовірністю х приходить запит на одиничне партію товару, таз ймовірністю y обслуговується запит на одиничне партію товару, зймовірністю 1-х-у довжина черги залишається не змінною.
Тоді середня довжина черги визначається за формулою
(1,75)
Доведення:
Нехай r (i) визначає ймовірність того, що Ви маєте незадоволений попитв І партій Тоді ймовірність того, що в наступний момент часу з'явитьсяновий клієнт та середня величина незадоволеного попиту стане І +1 зймовірністю xr (I):
(1,76)де ймовірність переходу з стану з величиною незадоволеного попиту Ідо стану з величиною незадоволеного попиту І +1.
З ймовірністю у Вам підвезуть одиничне партію товару та середня величинанезадоволеного попиту стане І-1 з ймовірністю:
(1,77)
З ймовірністю 1-х-у нічого не трапиться: ні з'явиться новий клієнт, ніпідвезуть нову партію Тому ймовірність того що довжина черги залишиться рівною Ідорівнює:
(1,78)
Якщо в даний момент часу ви не маєте незадоволеного попиту (ймовірністьвідсутності незадоволеного попиту дорівнює r (0), то можливі дві ситуації:з'явлення нового покупця з ймовірністю х, та відсутність змін з ймовірністю
(1-х):
(1,79) (1,80)
З за малості х у (цього можна добитися зменшуючи величину часового проміжкудо 0) Ви нехтуєте можливістю того, що одночасно трапиться декілька подій,наприклад одночасно прийдуть декілька покупців. Ви шукаєте середнювеличину, тобто стаціонарний стан системи (1,76-1,80) В цьому випадкурівняння ви можете написати:
(1,81) (1,82)
Рівняння (1.81) (1.82) мають розв'язок:
В більш компактному вигляді:
Тепер вам залишилось отримати чисельні значення для ймовірностіr (I), І0. Для цього віпішемо рівняння нормування: ймовірністю 1 системабуде мати задовільненій попит чи яку небуть величину незадоволеного попиту
. Математично ця умова запишеться у вигляді:
або
Маючи вираз для суми геометричної прогресії:
Ви отримаєте:
Найдемо середню довжину черги:
Тепер вам залишилось підрахувати ряд:
Таким чином ми отримали:
Теорему доведено.
Чисельний приклад 1,30 Довжина черги.
Вас цікавить довжина черги в залежності від відношення х/у- ймовірностіотримання нового замовлення до ймовірності обслуговування присутньогозамовлення в одиницю часу.
Довжина черги:
| X | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
|/| |,|,|,|,|,|,|,|,|,|,|,|,|,|,|,|,|,|,|,|< Br>| Y | | 0 | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 | 5 | 5 | 6 | 6 | 7 | 7 | 8 | 8 | 9 | 9 |
| | | 5 | | 5 | | 5 | | 5 | | 5 | | 5 | | 5 | | 5 | | 5 | | 5 |
| _ | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 9 | 1 |
| I | |,|,|,|,|,|,|,|,|,| |,|,|,|,| | |, | | 9 |
| | | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | | 2 | 5 | 8 | 3 | | | 6 | | |
| | | 5 | 1 | 8 | 5 | 3 | 3 | 4 | 7 | 2 | | 2 | | 6 | 3 | | | 7 | | |
В першій строчці розташовані різні відношення х/у, в другій Відповідніочікувані довжини черги І розраховані за формулою (1,75) Ви бачите що длямінімальної довжини черги ймовірність (швидкість) обслуговування клієнтаповинна перевищувати ймовірність (швидкість) приходу клієнтів. Так наприклад для середньої довжини черги в 2 особи таке перебільшення повинноскладати 33%
Теорема 1,10 Оптимальна величина запасу
Нехай неустойка за незадовільненя попиту дорівнює М, вартість зберіганняоднієї одиниці товару є, ймовірність приходу клієнта в одиницю часує х, ймовірність задоволення клієнта в одиницю часу є у.
Тоді оптимальний розмір запасу L визначається за формулою:
(1,83)
Доведення:
Ймовірність r (I> L) того, що величина незадоволеного попиту буде більша за Lрозраховується за формулою:тому середня величина запасу для задоволення усіх покупців повиннадорівнювати або
Якщо при не можливості задовольнити попит, ви платите неустойку в розмірі
М, то для визначення оптимальної величини запасу L, Ви розв'язуєте завдання:
(1,84)
Де - вартість зберігання 1 одиниці товару.
Задача (1.84) розв'язується аналітично, але її можна розв'язати чисельно абографічно. Оптимальна величина резервного запасу L задовольняє умові:
або
Теорему доведено
Так при витратах зберігання $ 1.6/штука, = 0,25, М = $ 100 ви отримаєтезначення оптимального резервного запасу
або 3-4 штуки. Якщо неустойка зросте до $ 1000 то оптимальний запасзбільшітся до 5 штук. Якщо ж = 0,8 то оптимальні величини резервногозапасу будуть вже 6,7 та 17 штук відповідно для штрафу $ 100 та $ 1000.
Чисельний пріклад1, 31 Оптимальна величина резервного запасу прірізніхвідношеннях витрати зберігання однієї одиниці до величини неустойки та
відношення ймовірності приходу клієнта до ймовірності обслуговуванняклієнта.
| x/|, 0 | 0, |, 0 | 0, | 0, | 0, | 0, | 0, | 0, | 0, | 0, | 0, | 0, |
| y | 00 | 00 | 01 | 01 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| | 01 | 01 | | | | | | | | | | | |
| Ck | | | | | | | | | | | | | |
|/M | | | | | | | | | | | | | |
| 0, | 5, | 4, | 3, | 2, | 1, | 1, | 0, | 0, | 0, | 0, | 0, | 0, | 0, |
| 1 | 36 | 36 | 36 | 36 | 36 | 06 | 89 | 76 | 66 | 58 | 52 | 46 | 41 |
| 0, | 7, | 6, | 4, | 3, | 1, | 1, | 1, | 0, | 0, | 0, | 0, | 0, | 0, |
| 2 | 45 | 02 | 59 | 16 | 73 | 30 | 04 | 87 | 73 | 61 | 52 | 43 | 36 |
| 0, | 9, | 7, | 5, | 3, | 2, | 1, | 1, | 0, | 0, | 0, | 0, | 0, | 0, |
| 3 | 72 | 80 | 89 | 98 | 07 | 49 | 15 | 92 | 73 | 58 | 45 | 34 | 24 |
| 0, | 12 | 9, | 7, | 4, | 2, | 1, | 1, | 0, | 0, | 0, | 0, | 0, | 0, |
| 4 |, 4 | 96 | 44 | 93 | 42 | 66 | 22 | 90 | 66 | 46 | 29 | 15 | 02 |
| | 7 | | | | | | | | | | | | |
В першій строчці розташовані різні відношення, в першому стовпці
в таблиці оптимальна величина резервного запасу розраховується поформулі (1.83)
1.7 Питання ціноутворення
1.7.1 Еластичність то формування оптимальної ціни
Нехай р-ціна продажу, с-собівартість продукції, q-об'єм продажу вштуках, n-прибуток, R-виручка.тоді:
(1,85) (1,86)тому задача збільшення виручки є складова задачі збільшення прібутку.об 'ємпродаж (в штуках) залежить від ціни продажу.
Визначення 1,39 Еластичність
Еластічністю об'єму продаж q в штуках до продажній ціни р зветьсявідсоткове відношення об'єму продаж при зміні ціни продажу на 1%:
(1,87)
Еластичність показує на скількі відсотків змінюється q при зміні p на1%
Теорема 1.11 оптимальність цени по об'єму продаж
Необхідною та достатньою умовою оптимальності ціни по об'єму продаж є
(1,88)
Доведення:
Знайдемо умову максімальності виручки, виходячи з умови:
або
(1,89)де похідна об'єму продаж по ціні
Звідси отримаємо умову оптимальності ціни р виходячи з об'му продажів:
У противному випадку, зменшуючи ціну при-1ві збільшуєте об'єм продажів.
Теорему доведено.
Виникає питання вимірювання еластічночті. На практиці воно розв'язуєтьсянаступним чином: Устанавлюючі розпродажзі зкідкоюна10-20% встановлюючитрохи різні ціни на практично однакові товари, ви відразу можете визначитиеластичність.
Теорема 1,12 оптимальність ціни по прибутку
Прибуток до сплати податків та процентів по кредитах буде максимальним при
=- 1де
або
(1,90)
Доведення:
Прибуток n до сплати процентів та податків дорівнює
беремо похідну по р
або
(1,91)
Бачимо що формула (1.91) повністю співпадає з (1.89) з єдиною різніцею
: в (1,91) стоїті відсотков зміна надбавки р-с, а ні ціни як в (1,89). Томуумова оптимальності по прибутку є: =- 1тоді
Теорему доведено.
1.7.2 Просторова вартість
Визначення 1,40 Просторові витрати
Витрати неспівпадання місцезнаходження та характеристик товару змісцезнаходженням та очікуваннями покупця звуться просторових витратами.
Вони також можуть називатися просторових витратами.
Просторова відстань входить в витрати продукції неявному та явнимчіном.Так в собівартість продукції включаються витрати на доставку як явнаскладова. Неявному складовими є час, затрачений покупцем на пошук та купівлютовару, час затрачуємій на адаптацію товарів до потреб споживачів.
чисельний приклад 1,32
Так наприклад якщо вартість однієї години покупця дорівнює w ($ 10) тостояння в черзі на протязі 15 хвилин е додаткові просторові витрати врозмірі $ 2,5 котру теряють покупець та продавець. Чистка картоплі напротязі тридцяти хвилин є додаткові просторові витрати $ 7.50.
Якщо фірма зможе знизити просторові витрати то вона наблизивши товар допокупця зможе взяти собі частку суми. Можливою помилкою вважаєтьсянеправильне оцінювання вартості часу покупця.
3 Диференціювання ціни
Встановив оптимальну ціну р ви берете тільки частину можливого попиту,відбрасуючі тих покупців які можуть заплатити більше собівартості але нездібних заплатити ціну р, також ви не добіраєте від тих котрі готовізаплатити більш ніж р..
розв'язком цієї проблеми є цінова диференціація, наприклад,пропозиція товару в деяких варіантах: базовий, середній, подарунковий.
Візначення1, 41Діференціація ціни
Заміна єдиної, однакової для всіх класів покупців ціни на систему цінрізних для різних класів покупців зветься диференціацією цін.
При цьому виникає проблема щоб багаті не купували по цінам для бідних. Такизахист може будуватися як на пошуку захищених від підробки сигналів доходутак і бути автоматичною. Прикладом автоматичного захисту буденадання купонів на знижки. Але ж купони можна знайти тільки витративчас h В цьому випадку вартість товару з купоном p (w, h) буде дорівнювати р -знижка + wh
(1,92)w-вартість одиниці часу покупця
-скидка на пошук якої треба затратити h часу.
Умовою того що покупець не буде шукати купон на знижку та купити товар заціну р є більша вартість часу затрачуємого на пошук.
Нехай (1,93)
Ми знаємо ціну котру покупець згоден заплатити за товар, в залежності відрівня його прибутку. Тоді
(1,94)
При цих умовах покупець з прибутком більшим за w будуть купувати по ціні рбез купона.
1.7.4 Використання знижок для маркетингового аналізу покупців
Виникає питання як та з якими витратами добувати інформацію про покупця.
На заході для цього покупцю пропонується анкета для отримання дисконтноїкартки. Такі анкети пропонуються при відкритті рахунку в банку, заповненнігарантійного талону довгого користування.
Покупцю пропонують заповнити анкету за допомогою різних пільг:
Лотерея, розсилка купонів, пластиковою карткою. Також купони можуть бутивкладені в упаковку та зараховуватися або ж відразу при покупці, або попрід'явленню виробнику, наприклад, поштою.
Вінікє питання про достовірність від?? іманої інформації від покупця.
Нема впевненості, що покупець буде чесно відповідати на всі питання. Тутможна примінити тіпічну для таких опитувань техніку. Поряд з прямимипитаннями можна задавати косвені питання, наприклад, про стилі життя, маркимашини, телевізора.
Більш того, класифікація по стилю витрат, навіть при 100% достовірностіінформації, є більш адекватною, так як вона ближче зв'язана з покупками,ніж рівень доходів. Сумісне використання прямих та побічно питань дозволяєнайбільш чітко класифікувати покупців для віработкі цінової та іншихполітик.
