Карл Фрідріх Гаус (1777-1855)

Гауса нерідко називають спадкоємцем Ейлера. Вони обидва носили неформальне звання "король математиків "і удостоїлися посмертної поважної жарту:" Він перестав обчислювати і жити ". Їх рідною мовою була німецька, але наукові праці обидва вважали за краще писати по латині. Втім, Гаус виявився останнім латиністом серед великих вчених Європи.

Він з гордістю відчував себе вихованцем епохи Просвітництва. Дійсно, в яку іншу епоху талановитий син садівника і водопровідника міг удостоїтися персональної стипендії від герцога Брауншвейзького та бути прийнятим в Геттінгенський університет "Цей борг Гаус повернув батьківщині з лишком: математична школа в Геттінгені зробилася сильною в Германії і процвітала більше ста років " поки до влади не прийшов Гітлер.

Математичний Гаусса талант проявився в ранньому дитинстві "і звичайно, першим його захопленням стала арифметика. У 9 років він відкрив (під час шкільного уроку) формулу суми арифметичної прогресії. Пізніше Гаус переніс всі теореми арифметики натуральних чисел на багаточлени і на цілі комплексні числа. У підсумку в алгебрі з'явилося загальне поняття кільця. Заразом з'ясувалося, що безліч простих чисел вигляду (4к +1) нескінченно, і що всі вони представимо у вигляді суми двох квадратів. Це був перший новий факт такого роду, відкритий з часів Ератосфена. Пізніше учень Гауса "Петер Діріхле" набагато перевершив вчителя, довівши, що в будь-якій арифметичній прогресії міститься нескінченна безліч простих чисел (якщо перший член і різниця цієї прогресії взаємно прості).

Гаус до старості зберіг юнацьку спрагу знань і величезну цікавість. Наприклад, у 62 року він швидко вивчив російську мову, щоб самому розібратися в працях свого колеги "Миколи Лобачевського. Але зазвичай Гаус уникав читати чужі статті або книги. Йому вистачало формулювання основного результату; доказ він придумував сам, заразом відкриваючи багато фактів, про які не подумав сам автор. Така звичка оформилася в юності "коли 19-річний Гаус вирішив сам освоїти всі досягнення і методи алгебри, не пропускаючи жодного яскравого додатку цієї стародавньої науки.

Результат був разючий. Гаус знайшов алгебраїчне доказ нерозв'язності багатьох завдань на побудову циркулем і лінійкою, які мучили ще Піфагора. Ключова ідея Гауса дуже проста: треба зобразити точки площини комплексними числами (як почав робити Ейлер), і тоді геометрична завдання перетвориться на алгебраїчну! Але як довести нерозв'язність алгебраїчної задачі "

Гаус зауважив, що будь-яка побудова циркулем і лінійкою зводиться на алгебраїчному мовою до рішенням ланцюжка квадратних рівнянь. А кожна "непокірна" завдання на побудову зводиться до вирішення рівняння-многочлена більшою мірою, ніж 2. Чому ж рішення такого рівняння іноді не зводиться до вирішення квадратних рівнянь "Тут мало одних розрахунків; потрібно вводити нові математичні поняття, що відображають суть справи.

Гаус винайшов два таких поняття: поле і векторний простір. У результаті векторна алгебра, давно звична фізикам і геометрія, стала самостійною алгебраїчної наукою. Виявилося, що комплексне число, досяжна за допомогою циркуля і лінійки, лежить в деякому полі розмірності 2 .. "А кожен корінь нерозкладного многочлена ступеня (к) лежить в полі розмірності (к). Якщо який нас цікавить число лежить в тому і в іншому полі "значить, число 2 .. ділиться на (к); тобто, саме число (к) є ступенем двійки.

З цього міркування випливає, що корінь будь-якого нерозкладного многочлена ступеня 3 не можна побудувати циркулем і лінійкою. Наприклад, не вдається розділити на 3 рівні частини кут в 60 ", або побудувати трикутник за трьома нерівним медіаною. Така ж заборона перешкоджає поділу кола на 7, 11, 13, 9 або 25 рівних частин. Але для 5 або 17 частин заборони немає, оскільки числа 5-1 = 4 та 17-1 = 16 суть ступеня двійки. Тому елліни знайшли спосіб побудови правильного 5-кутника, а Гаусу вдалося побудувати правильний 17-кутник. Він заповідав зобразити цю фігуру на своєму надгробку "що і було зроблено. Однак проблема "квадратури кола" Гаусу не підкорилася.

До 24 років Гаус увійшов до числа найвідоміших математиків Європи. Але для повної слави потрібно було відрізнитися в області небесної механіки; тут доля підкинула Гаусу гідну завдання. У першу ніч 1801 астрономи виявили на небі малу планету Цереру, чия траєкторія лежить між Марсом і Юпітером. Після небагатьох спостережень планета була втрачена, і астрономи звернулися за допомогою до математикам. Гаус першим відгукнувся на цей заклик: за трьома спостереженнями він зумів передбачити всі майбутні положення Церери. Через півстоліття теорія збурень Гауса дозволила астрономам розрахувати положення на небі ще ніким не баченої планети "Нептуна.

У 30 років Гаус вважався вже "королем" європейських математиків. Змагатися йому було не з ким "та він і не любив це заняття. Матеріальний добробут не загрожувало професору. Всесильний Наполеон тоді успішно грабував всю Європу, а Ганновер "особливо, оскільки це була вотчина короля непокірної Англії. Молода дружина Гауса померла. Тільки пошук нових таємниць природи (у тій мірі, в який вони відкриваються через математику) допомагав ученому відвернутися від негараздів.

Чудовий успіх в області геометричних побудов спонукав Гауса до пошуків нових геометричних доказів. Він захопився старою, як світ, загадкою евклідового постулату про паралельні прямі. У 1818 році Гаус здогадався, що цей постулат може мати інше формулювання "але не на площині, а на інших поверхнях, невідомих Евкліду.

До кінця життя Гаус зберігав мовчання про свої відкриття в області основ геометрії " навіть після того, як їх повторили молодші математики: Микола Лобачевський з Казані і Янош Больяі з Темешвароша. У чому тут справа "Дещо можна зрозуміти з листів Гауса до його друзів; про інше доводиться здогадуватися. Щоб переконати науковий (і навколонаукові) світ в незалежності постулату Евкліда "Треба пред'явити наочну модель, де виконані всі інші аксіоми, а ця замінена чимось іншим. Наприклад, паралельних прямих може зовсім не бути, якщо будь-які дві прямі перетинаються. Так стоїть справа на сфері, де роль прямих грають кола найбільшого радіусу. Пізніше цю геометрію назвали ім'ям Рімана, але на початку 19 століття її ніхто не прийняв би серйозно. Інший варіант геометрії "з багатьма прямими, що проходять через одну точку і не перетинають дану пряму "називають геометрією Лобачевського. Вона реалізується на поверхні з постійною негативною кривизною: на так званої псевдосфере, яка виходить при обертанні Трактриса ( "кривий переслідування ", схожою на гіперболу) навколо її осі. Гаус чи то не зміг побудувати псевдосферу, чи то не помітив її унікальні властивості, а без цього він не зважився оповістити нову "неприродну" геометрію перед широкою публікою.

Але чому Гаус НЕ розповсюдив свою гіпотезу про паралельні прямі хоча б у вузькому колі математиків "Адже саме так поступив Піфагор, виявивши несумірність діагоналі квадрата з його стороною! Ймовірно, Гаус міркував так: якщо постулат про паралельні прямі незалежний від інших аксіом, то зникає єдина наука геометрія! Вона поділяється, по крайней мере, на три гілки "відповідно до трьох варіантам постулату про паралельні (по Евкліду, за Ріманом і по Лобачевському). А що далі "Не чи продовжиться галуження геометричної науки необмежено "По кожній новій аксіомі" Не охопить цей процес всю математику "І хто захоче працювати в такій роздробленою науці"

Мабуть, так міркував Гаус в другій половині свого життя "і мовчав, не в силах відповісти собі і іншим на цей грізний питання. Важко відповісти на нього і в 20 столітті "після того, як смутна здогадка Гауса перетворилася в 1931 році в сувору теорему Геделя про неповноту будь-якої формальної системи аксіом.

Але ученому треба жити і працювати "навіть коли його розум не дає відповіді на мучать його питання. Після 1820 року Гаус захопився геометрією довільних гладких поверхонь. Він дав визначення їх кривизни і знайшов несподіваний зв'язок кривизни з ейлеровой характеристикою поверхні. Займався Гаус і математичної фізикою: він будував математичну теорію магнетизму, у той час як в Англії Фарадей винайшов способи технічного використання цієї природної сили.

Не забував Гаус і про комплексні числа, які так славно допомогли йому розібратися в таємниці геометричних побудов. Як ніби розважаючись, самотній мудрець вигадував все нові докази своєї теореми про те, що кожен многочлен має комплексний корінь. Мабуть, Гаус хотів зрозуміти: чи має ця "чисто алгебраїчна "проблема хоч одне число алгебраїчне рішення, або неминучі комбінації алгебри з геометрією, або з математичним аналізом "

Виявилося, що такі комбінації неминучі. Будь-яка складна проблема вирішується лише після декількох її перекладів з одного математичного мови на іншу. І ось уже два сторіччя вся математична наука розвивається, а в режимі взаємодопомоги і сплетення її різних гілок. Гаус першим почав працювати в такому режимі: як б перекидаючи палаючий уголек з однієї долоні в іншу. За це його називають "батьком сучасної математики".

Список літератури

Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту http://www.sch57.msk.ru/