Математичні будів
§
1. Математичним строєм називається сукупність частотних відносин між
звуками в музичній системі. Введення в музичну практику багатоголосих
інструментів з фіксованою частотою звуків (орган та ін) змусило
композиторів і виконавців зацікавитися кількісної стороною
музичних систем. До цього часу в науці був відомий цілий ряд звукових
строїв, розроблених китайськими, перськими, індійськими, арабськими та грецькими
вченими, в основі яких лежали найрізноманітніші математичні принципи
відбору звуків і які намагалися пояснити співвідношення між звуками в
творах народної музичної творчості.
Ми
вважаємо зайвим зупинятися на розгляді китайських, перських,
арабських та індійських звукових строїв, так як ці строї не зробили
безпосереднього впливу на європейську музику, а почнемо з вивчення ладу,
розробленого давньогрецькими вченими та відомого під ім'ям «ладу
Піфагора ».
Давньогрецький
вченим було відомо, що на монохорде [2] можна отримати звуки не тільки шляхом
порушення цілої струни, але і її частин: 1/2, 2/3 і 3/4, і що звуки,
отримані шляхом порушення зазначених частин струни, утворюють з її основним
тоном інтервали октави - 1/2 струни, квінти - 2/3 струни і кварти - 3/4 струни
(за сучасною термінологією).
Ці
інтервали, знайдені дослідним шляхом, і що отримали, за переказами, застосування при
настроювання ліри Орфея, стали основними інтервалами Піфагора ладу. Решта
інтервали цього ладу були знайдені послідовниками Піфагора допомогою
обчислень. Важко сказати, які причини змусили зазначених вчених відмовитися
від подальших поділів струни на частини з метою одержання нових інтервалів,
відомо лише, що формування Піфагора ладу здійснювалося не досвідченим, а
математичним шляхом. Цей шлях був заснований на наступних міркуваннях: тому що
2/3 цілої струни дають звук квінтою вище її основного тону, а 3/4 цілої струни --
звук квартою вище того ж тону, то 2/3 будь-якої частини струни повинні дати звук
квінтою вище цієї частини, а 3/4 будь-якої частини струни - звук квартою вище за цю
частини.
Таким
чином, якщо основний тон струни є з і якщо взяти 2/3 від 2/3 струни, тобто
4/9 струни, то звук, який відповідає цій частині струни, буде d1. Цей звук
знаходиться за межами октави з - с1. Взявши замість його d, ми знайдемо, що
останнього звуку відповідає 8/9 струни [3].
Якщо
взяти 2/3 від 8/9 струни, тобто 16/27 струни, то звук, який відповідає тій частині
струни, буде а.
Якщо
взяти 2/3 від 16/27 струни, тобто 32/81 струни, то звук,, відповідний цій
частини струни, буде е1. Цей звук знаходиться за межами октави з - с1. Взявши
замість нього е, ми знайдемо, що останньому звуку відповідає 64/81 струни.
Якщо
взяти 2/3 від 64/81 струни, тобто 128/243 струни, то звук, який відповідає цій
частини струни, буде h. Якщо розташувати всі знайдені нами звуки в порядку їх
висоти і підписати під ними відповідні частини струни, то ми отримаємо
діатонічний мажорну гаму Піфагора налаштування, в якій частотні
відносини між звуками виражені в частках струни:
з
d е f g a h c1
1
8/9 64/81 3/4 2/3 16/27 128/243 1/2
Якщо,
виходячи з основних інтервалів Піфагора ладу, рухатися від звуку f з чистим
квінтах вниз, виробляючи при: це відповідні обчислення, то ми отримаємо
фригійських гаму [4], ib якої частотні відносини між звуками виражені в
частках струни:
з des es f g as b cl
1
243/256 27/32 3/4 2/3 81/128 9/16 1/2
Рухаючись
по чистим квінтах вгору від звуку А і з чистим квінтах вниз від звуку des і
виробляючи відповідні обчислення, ми прийдемо в першому випадку до звуку his, під
другий - до звуку deses. Звук his на інтервал 524288/531441? 73/74 вище звуку з1,
а звук deses - на той же інтервал нижче звуку с. Інтервал, на який his вище
cl, a deses нижче с отримав назву «Піфагора комм» (близько 1/9 тону) [5].
Таким чином, лад Піфагора - незамкнутий.
Так
як кожен інтервал Піфагора ладу виходить за допомогою того чи іншого
кількості квінтове ходів (вгору або вниз від початкового звуку з подальшими
октавних перенесення), то кожен інтервал цього ладу має тільки одне
кількісне вираження, так:
1)
б. секунда, одержувана за допомогою двох квінтове ходів, виражається ставленням
8/9;
2)
б. секста, одержувана за допомогою трьох квінтове ходів, виражається ставленням
16/27;
3)
б. терція, одержувана за допомогою чотирьох квінтове ходів, виражається
ставленням 64/81;
4)
діатонічний півтон, що отримується за допомогою п'яти квінтове ходів, виражається
ставленням 243/256;
5)
хроматичний півтон, що отримується за допомогою семи квінтове ходів, виражається
ставленням 2048/2187.
Так
як 2048/2187 менше 243/256 струни, то хроматичний півтон Піфагора ладу
більше діатонічного на Піфагора комуністичного. Так як всі інтервали Піфагора
ладу (за винятком октави) є похідними від ч. квінти, то Піфагором
лад є лад однофакторний.
Важко
сказати, який вплив зробив Піфагором лад на музику стародавніх греків, але його
роль у справі розвитку середньовічної музики цілком зрозуміла.
В
середні віки став широко застосовуватися в церковній музиці орган - багатоголосий
інструмент з фіксованою частотою звуків. Цей інструмент вимагав налаштування.
Так як єдиним ладом, добре відомим у ті часи, був лад Піфагора,
то орган стали налаштовувати в цьому устрої. Налаштування органу в Піфагора ладі
не становить великих труднощів. Вона здійснюється шляхом налаштування чистих
квінт (т. е, квінт без биття) вгору і вниз від початкового звуку і перенесення
цих квінт в межах однієї октави.
Однак
вже перші спроби гри на органі, налаштованому в Піфагора ладі, показали,
що гармонійна б. терція цього ладу звучить дуже напружено і непридатна
тому як терції мажорного тонічного тризвуки (гармонійного).
Треба думати, що цю напруженість в першу чергу помітили учасники хору,
які, очевидно, дотримувалися натуральної б. терції. Причину
напруженості Піфагора б. терції знайти не важко. У Піфагора ладі б.
терція виходить за допомогою чотирьох ходів за ч. квінтах вгору і виражається
ставленням 64/81. Якщо виразити величину Піфагора б. терції НЕ частками
струни, а числами коливань, то виявиться, що в цій терції верхнього звуку
відповідає 81 коливання, а нижнього - 64. (С-Е у великій октаві при а = 435
герц). Для б. терції с1-е1 відношення між числами коливань буде 324/256
((81/64) x (4/4)). Звуки б. терції с1-е1 мають тон збігу е3 (5-й частковий
тон з1 співпадає з 4-м частковим тоном е1).
Число
коливань у секунду 5-го часткового тони = 256.5 = 1280, число коливань у секунду
4-гочастічноготона = 324x4 = 1296. При одночасному звучанні обох звуків б.
терції с1-е1 інтервал буде давати 16 биття в секунду (1296-1280 = 16). Ці
биття і створюють напругу у гармонійної Піфагора б. терції.
Отже,
спроба використати Піфагором лад для налаштування багатоголосого музичного
інструменту з фіксованою частотою звуків увійшла в суперечність зі зростаючим
гармонійним свідомістю. Музична практика вимагала або відмови від
гармонійних терцій взагалі або заміни їх іншими гармонійними б. терціями,
прийнятними для хору.
§
2. Останнім шляхом пішли Фольяні і Царліно, видатні теоретики XVI століття.
Грунтуючись на роботах Арістоксена, Птолемея і Дідім, вони запропонували брати для
б. терції НЕ 64/81, а 4/5 (64/80) струни, інакше кажучи, розглядати б.
терцію, як основний, а не як похідний інтервал. Строй, отриманий шляхом
заміни терції 64/81 терцією 4/5, отримав назву "чистого", так як
б. терція 4/5 звучить без биття (чисто).
Висловимо
тепер в частках струни частотні співвідношення між звуками, що утворюють
діатонічний мажорну гаму чистого ладу, наприклад:
c
d e f g a h c1
Якщо
звуку з відповідає ціла струна (1), то звуку ті, що утворює б. терцію з
звуком с, відповідатиме 4/5 струни; звуку а, що утворює б. терцію з
звуком f, 3/5 струни (4/5 від 3/4 = 3/5); звуку h, що утворює б. терцію зі звуком
g, - 8/15 струни (4/5 від 2/3 = 8/15). Звуків f і g, що утворить кварту і квінту з
звуком с, і звуку d утворюють кварту зі звуком g, буде відповідати, як
і в ладі Піфагора, 3/4, 2/3 і 8/9 струни.
Отже,
звуки діатонічний мажорній гами чистого ладу в частках струни виразяться
наступними відносинами:
c
d e f g a h c
1
8/9 4/5 3/4 2/3 3/5 8/15 1/2
Взявши
в якості основного інтервалу б. терцію і розмірковуючи аналогічним чином, ми
знайдемо, що звуки фригійської гами виразяться:
з des es f g as b cl
1
15/16 5/6 3/4 2/3 5/8 5/9 1/2
Якщо,
рухаючись квінтове і терцовий ходами, знайти частини струни, відповідні
звуків fis, cis, gis і т. д. до his включно, і частини струни,
відповідні звуків ges, ces, fes і т. д. до deses включно, то
виявиться, що his нижче з1, a deses вище с. Дійсно, звуку his,
одержуваному шляхом руху на 3 б. терції вгору від с (с-е-gis-his), буде
відповідати 64/125 струни (1Х4/5Х4/5Х 4/5) (звуку з1 відповідає 64/128,
тобто 1/2 струни). Звуку deses, одержуваному шляхом руху на 3 б. терції вниз
від з1 (с1-as-fes-deses), буде відповідати 125/128 струни (1/2X5/4X5/4X5/4)
(звуку з відповідає 128/128, тобто ціла струна).
Різниця
між his і з1, deses і з? 1/5 частини тони.
Таким
чином, чистий лад, подібно до Піфагора, є лад незамкнутий.
Якщо
досліджувати всі інтервали, що входять до складу наведеної вище діатонічний
мажорній гами чистого ладу, то не важко переконатися, що в цьому ладі
деякі однойменні інтервали на різних ступенях гамми мають різні
інтервальні коефіцієнт.
Так:
1)
квінти на 1, 3, 4, 5 і 6-й щаблях виражаються відношенням 2/3 (cg-2/3;
eh-8/5:4/5 = 2/3; f-з1-1/2:3/4 = 2/3; g-d1-4/9:2/3 = 2/3; а-е1 - 2/5: 3/5 = 2/3);
2)
квінта на 2-го ступеня d-а виражається ставленням 27/40 (3/5: 8/9 = 27/40);
3)
м. терції на 3, 6-й і 7-й щаблях виражаються відношенням 5/6 (eg-2/3:4/5 = 5/6;
а-з1-1/2:3/5 = 5/6; h-d1-4/9: 8/15 = 5/6);
4)
м. терція на 2-го ступеня df виражається ставленням 27/32 (3/4: 8/9 = 27/32);
5)
б. секунда на 1, 4-й та 6-й щаблях виражається ставленням 8/9 (cd-8/9;
f-g-2/3:3/4 = 8/9; a-h-8/15: 3/5 = 8/9);.
6)
б. секунда на 2-й і 5-й щаблях виражається ставленням 9/10 (de-4/5:8/9 = 9/10;
g-a-3/5:2/3 = 9/10).
Таким
чином, у діатонічний мажорній гамі чистого ладу два інтервальних
коефіцієнта мають:
квінта
-2/3 і 27/40 (2/3 = 27/40X80/81)
кварта-3/4
і 20/27 (20/27 = 3/4X80/81)
м.
терція - 5/5 та 27/32 (5/6 = 27/32X80/80)
б.
свисту -3/5 та 16/27 (16/27 = 3/5X80/81)
б.
секунда-8/9 і 9/10 (8/9 = 9/10X80/81)
м.
септима -9/16 і 5/9 (5/9 = 9/916X80/81).
Інтервал
80/81, на який деякі інтервали чистого ладу більше або менше
відповідних інтервалів Піфагора ладу, називається "дідімовой
комм ". Дідімова комм? 1/10 тони. На цю ж комуністичного, б. терція Піфагора
ладу більше чистого (64/81 = 5/4x80/81). Так як діатонічний півтон, наприклад,
с - des, виходить за допомогою ходів:
з
- F - des
і
виражається ставленням 15/16 (3/4x5/4 = 15/16), а хроматичний півтон, наприклад,
с - cis, виходить за допомогою ходів:
з
- F - а - cis1 - cis
і
виражається ставленням 24/25 (3/4x4/5x4/5x2) і так як дріб 24/25 більше 15/16,
то звук сis (як відповідний больще відрізком струни) нижче звуку des. Таким
чином, в чистому строї діатонічний півтон більше хроматичного (див. лад
Піфагора). З усього вищевикладеного, можна зробити наступні висновки:
1.
Заміна Піфагора терцій чистими зробила можливим застосування в музичному
мистецтві гармонійних мажорних і мінорних тризвуки (тонічних) і розширила
область частотних інтонацій (квінта 2/3 і 27/40, м. терція 5/і 27/32, б.
секунда 8/9 і 9/10 і т. д.).
2.
Вказана заміна не створила ладу, цілком відповідає вимогам
музичної практики, так як чистий лад виявився:
а)
незамкнутим, тобто позбавленим енгармонізма;
б)
незручним для модуляції навіть у прийнятний термін (від (C-dur) тональності;
в)
що вимагає складного пристрою музичних інструментів з фіксованою частотою
звуків.
Пояснимо
викладене у п.п. б і в.
Щоб
зробити модуляцію з C-dur у d-moll, необхідно мати як тоніки лада
чисте мінорний тризвуччя d - f - а. Цим тризвуччя не може бути мінорний
тризвуччя II ступеню C-dur, тому що воно складається з «нечистою» квінти - d - a
(27/40) і Піфагора м. терції d - f (27/32), Щоб зробити тризвуччя d - f --
а чистим, необхідно для звуку d взяти ставлення 9/10 замість 8/9, тобто знизити
його на дідімову комуністичного 80/81. Таким чином, для здійснення модуляції з C-dur в
d-moll (і назад) необхідно мати 2 звуку d, що відрізняються, за частотою на
дідімову комуністичного. Один в якості звуку домінантового тризвуки C-dur інший в
якості звуку тонічного тризвуки d-moll. З тих же причин для модуляції
з F-dur в g-moll (і назад) потрібно мати два «комматіческіх звуку» g, для
модуляцій з G-dur в a-moll потрібно мати два комматіческіх звуку а і т. д.
Для
здійснення модуляцій в 2-у ступінь спорідненості будуть потрібні нові комматіческіе
звуки. Таким чином, при широкому користуванні модуляціями буде потрібно велика
кількості комматіческіх звуків. Якщо, крім того, взяти до уваги, що в
чистому ладі не існує енгармонізма (fis не співпадає по висоті з ges), то
для користування чистим строєм буде потрібно значна кількість звуків у
межах однієї октави до 85 звуків). Ця обставина значно ускладнює
пристрій музичних інструментів з фіксованою частотою звуків і робить
дуже важкою гру на цих інструментах. З усього вищевикладеного випливає, що
чистий лад являє собою дуже складний математичний лад.
Музичне
мистецтво, яке вже в першій половині XVII століття початок широко користуватися
енгармонізмом, не могло задовольнитися чистим ладом, і він розділив долю
Піфагора.
Отже,
причиною, що змусила музичне мистецтво відмовитися від чистого ладу, було
відсутність у цьому ладі енгармонізма, інакше кажучи, незамкнутість цього ладу.
Тому подальша еволюція буд пішла шляхом створення так званих
«Темперації» [6], тобто таких математичних строїв, які завдяки
певним частотним співвідношенням між звуками є замкнутими. Так як
музичне мистецтво не могло відразу відмовитися від чистих квінт і чистих
терцій, переваги яких перед терціями Піфагора були очевидні, то автори
темперації намагалися вирішити завдання, виходячи з чистих великих і малих терцій і
чистих квінт.
рівномірні темперації
§
1. Спроби розв'язати проблему ладу, придатного для музичних цілей,
за допомогою нерівномірних темперації, закінчилися невдачею, оскільки ці
темперації давали можливість користуватися обмеженою кількістю
тональностей (в окремих тональностях з'являлися так звані «виючих»
інтервали). Але ці спроби, особливо роботи Веркмейстера і Нейдгардта, намітили
правильний шлях вирішення проблеми і привели пізніших дослідників до
двенадцатізвуковому рівномірно-темперований строю. Автори цього ладу
виходили з наступних міркувань. Якщо розділити Піфагора комуністичного (1/9 тону)
на 12 рівних частин, тобто розподілити її між дванадцятьма квінтах цього
ладу, то кожна квінта зменшиться на 1/108 тони (1/9: 12 = 1/108). При цьому
умови дванадцятого квінта вгору від звуку с (his) збігається з октавою від того
ж звуку (з1), а дванадцятого квінта вниз від звуку з1 (deses) збігається з
октавою від того ж звуку (с). Збіг his з з1, a deses с з викличе
збіг всіх Енгармонічно рівних звуків, що відрізняються по висоті на
Піфагора комуністичного. Це збіг відбудеться шляхом зміщення обох звуків.
Так
як у Піфагора ладу всі цілі тони виходять за допомогою двох квінтове
ходів і тому рівні між собою, і так як послідовність 6 цілих тонів
(наприклад, від звуку с) призводить до звуку his, який на 1/9 тони вище с, то,
зменшуючи ч. квінти на 1/108 тони, ми зменшуємо кожен цілий тон на 1/54, а
послідовність 6 тонів на 1/9 тону (Піфагора комуністичного). Таким чином, у
розглянутому нами темперований стрій октава складається з 6 рівних цілих
тонів.
Так
як у Піфагора ладі хроматичний півтон більше діатонічного, то цілий
тон Піфагора ладу ділиться на дві нерівні півтони. У розглянутому нами
темперований стрій хроматичний півтон дорівнює діатонічному.
Тому
в цьому ладі цілий тон ділиться на дві рівних півтони. Таким чином, у цьому
ладі октава складається з 12 рівних півтонів, а всі інші інтервали з меншого
кількості цих півтонів - від 11 (б. септима - ув. сексти) до 1 (м. секунда).
Досліджуємо
тепер питання про музичну прийнятності інтервалів 12-звукового
равномернотемперірованного ладу. Оскільки названий лад виходить шляхом
поділу ч. октави на 12 рівних півтонів, то всі октави цього ладу, як і в
інших теоретичних строях, чисті [7]. Темперованого квінта, яка менше
чистої на 1/108 тони, і темперованого кварта, яка більше чистого на 1/108
тони, за своїми звук
темперованого
б. терція менше Піфагора на 1/27 тони і, отже, більше чистого на
1/16 тони; навпаки, темперованого м. секста, що є зверненням б.
терції, більше Піфагора на 1/27 тони і менше чистою на 1/16 тони.
темперованого
м. терція більше Піфагора на 1/36 тони і, отже, менше чистою на
1/14 тони; навпаки, темперованого б. секста, що є зверненням м.
терції, менше Піфагора на 1/36 тони і більше чистого на 1/14 тони.
Отже,
темперованого б. терція більше чистого на 1/16 тони, а темперованого м.
терція менше чистою на 1/14 тони. Ці терції за своїм звуковим якостям
помітно відрізняються від чистих, але в музичному відношенні прийнятні. Те ж саме
можна сказати і щодо звернення терцій - Секст. Що ж стосується
дисонуючих інтервалів, то ці інтервали, що зберігають свої звукові якості
в більш широких межах, ніж консонуючі, в темперованого лад не
викликають ніяких протестів з боку музичного слуху. Таким чином, всі
інтервали що вивчається нами равномернотемперірованного ладу в музичному
відносно прийнятні. Налаштування хроматичної гами 12-звукового
равномернотемперірованного ладу має деякі труднощі. Так як всі
інтервали цього ладу можна отримати за допомогою квінтове ходів, то
теоретично питання зводиться до знаходження числа биття у секунду, що дає
темперованого квінта на різних щаблях хроматичної гами вивчається
ладу, практично - до відліку зазначених биття.
Перша
частина питання вирішується таким чином.
Якщо
ми позначимо через х величину, що показує, у скільки разів число коливань
верхнього звуку темперованого півтони більше числа коливань його нижнього
звуку, прийнятого за 1, то x12 буде величиною, що показує, у скільки разів
число коливань верхнього звуку октави більше числа коливань її нижнього звуку,
прийнятого за 1. Так як число коливань верхнього звуку октави більше числа
коливань її нижнього звуку в два рази, то ми можемо скласти наступне
рівняння:
1:
x12 = 1: 2
х12
= 2 або х = 21/12 = 1,0595.
Знаючи
інтервальний коефіцієнт темперованого півтони і число півтонів,
полягають в інтервалах темперованого ладу, можна знайти інтервальні
коефіцієнт цих інтервалів, а знаючи останні і вважаючи, що звуку а1
відповідає 440 гц, можна знайти числа коливань для всіх звуків
темперованого хроматичної гами від з1 до с2.
Відомо,
що при гармонійному відтворенні ч. квінти 3-й частковий тон її нижнього
звуку утворює тон збіги з 2-м частковим тоном її верхнього звуку. У
темперованого Квінті зазначені часткові тони не збігаються, і між ними
виникають биття. Для квінти с1-g1 число биття в секунду дорівнює 0, 89, так як
число коливань 3-го часткового тону звуку з1 є 784,89 [8], число коливань
2-го часткового тону звуку gl є 784 [9]. Число биття в секунду для квінти es
- B1 дорівнює 1,07, тому що число коливань 3-го часткового тону звуку es1 є
933,39 [10]
, А число коливань 2-го часткового тони
звуку b1 є 932,32 [11]
. З тих міркувань число
биття в секунду для квінти fis1 - сis2 дорівнює 1,25, а для квінти а1 - е2 одно
1,48. З усього щойно викладеного видно, що для налаштування темперованого
квінт необхідно знайти числа биття для всіх 12 квінт. Однак практика
настройки музичних інструментів з фіксованою частотою звуків показує,
що ці тонкощі зайві і що для всіх 12 квінт можна взяти середнє число
биття, тобто для квінт 1-й октави 1,1 [12]
. Ця заміна
значно спрощує процес настройки темперованого квінт, хоча і викликає
певне (зовсім непомітне для слуху) розбіжність між вичисленими
інтервалами 12-звукового рівномірно-темперованого ладу і фактично
налаштованим. Встановивши число биття для квінт в 1-й октаві музичних
інструментів з фіксованою частотою звуків (наприклад, фортепіано), викладемо
метод установки. Процес настройки починається з настроювання а1 по камертону (440
гц). Після налаштування а1 налаштовують всі інші звуки 1-ї октави. Расмотрим
один із способів настройки:
Пояснимо
схему: квінти a1 - е2 і d1 - a1 настроюються спочатку як чисті, так як 1,1
биття в секунду можна одержати як при деякому зменшенні квінти, так і при
деякому її збільшення. Потім е2 знижується (-), поки квінта а1 - е2 не дасть 1,1
биття в секунду, a d1 підвищується (+), поки квінта dl - а1 не дасть 1,1 биття в
секунду. Потім від е2 робиться хід на чисту октаву в el, a від dl - аналогічний
хід в d2. Ці ходи на октаву мають на меті змусити нас настроювати квінти
тільки в межах 1-ї октави, для яких число биття в секунду = 1,1 [13]
.
Подальша
настройка квінт відбувається аналогічним чином, до тих пір, поки з одного боку
ми дійдемо до звуку dis2 (es2) з іншого - до звуку esl (dis1). Якщо ці звуки
дадуть ч. октаву, то настройка проведена правильно, якщо - нечисту октаву, то
настройку необхідно перевірити. Пробне встановлення проводиться не тільки в
відношенні квінт і октав, але і відносно мажорних і мінорних тризвуки та їх
звернень (звичайно, відносно їх звукових якостей, а не відліку биття, що в
відношенні терцій важко). Налаштування інших звуків фортепіано не
представляє особливих труднощів, так як вони настроюються по октава вгору і
вниз від отриманих нами 12 звуків 1-ї октави. Професійні настроювачі
звичайно не відраховують биття, а налаштовують темперованого квінти на слух.
Цей метод установки більш швидкий, але менш точний.
Порівняно
з ладу Піфагора і чистим, а також з нерівномірними темперації,
згаданими нами раніше, 12-звуковий рівномірно-темперований лад в
музичному відношенні є ладом досить досконалим:
1)
він являє собою лад замкнутий і енгармонічні;
2)
він складається з інтервалів, які як при мелодійною, так і при гармонійному
їх відтворенні цілком прийнятні для музичного слуху;
3) він
має в октаві тільки дванадцять звуків, що можуть, однак, виконати кілька
ладових функцій;
4)
він потребує порівняно простого пристрою багатоголосих інструментів.
Всі
перераховані властивості 12-звукового рівномірно-темперованого ладу роблять
можливості цього ладу в музичному відношенні майже необмеженими. І. С.
Бах в «Das Wohltemperierte Klavier» вперше показав на практиці всі музичні
можливості цього ладу.
§
2. Двенадцатізвуковой рівномірно-темперований стрій лежить в основі
європейської музики з часу І. С. Баха. Однак цілий ряд музичних вчених і
музикантів не вважає його цілком задовільним. Неодноразово робилися кроки
до розширення цього ладу, які переслідували головним чином дві мети:
1)
поліпшення звукових якостей гармонійних терцій і Секст, тобто наближення їх до
натуральним (4:5, 5:6, 3:5 і 5: 8),
2)
введення в музичне мистецтво інтервалів натурального звукоряду,
виражаються відносинами з участю множників 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31 і т.
д.
Першу
мета слід розглядати як спробу повернути музичне мистецтво до чистого
строю, друга - як спробу збагатити музичне мистецтво новими інтервалами
натурального звукоряду (7/4, 11/8, 13/8, 19/16, 24/23, 32/31 і т. д.) та їх
похідними.
Важко
що-небудь заперечити проти поліпшення звукових якостей терцій і Секст, що ж
Щодо введення в музику нових інтервалів натурального звукоряду, то на цьому
питанні слід зупинитися.
На
стор 8 було зазначено, що висоті звуку відповідає не одна певна
частота, а певна смуга частот, і що назви інтервалів зберігаються при
різних, але близьких за величиною інтервальних коефіцієнтів.
Таким
чином, «натуральні» м. септима 7/4, яка менше м. септими 12-звукового
ладу 210 на 1/7 [14]
тони, незначно відрізняється за
своїм звуковим якостям від останньої, м. терція 19/16, яка менше м.
терції 12-звукового ладу 24/12 на 1/68 тони, абсолютно не відрізняється від останньої.
Інтервал
11/8, який більше кварти 12-звукового ладу 25/12 на 1/4 тону і менше ув.
кварти 26/12 на 1/4 тони, що різко відрізняється від обох; інтервал 13/8, який
більше м. сексти 12-звукового ладу 28/12 на 1/5 тони і менше б. сексти
12-звукового ладу 29/12 на 3/10, різко відрізняється від обох.
Таким
чином введення в музичну практику нових інтервалів натурального звукоряду
не дає помітного ефекту. Цей ефект повинен спостерігатися лише в тих випадках,
коли вводяться інтервали різко відрізняються від інтервалів 12-звукового
рівномірно-темперованого ладу (наприклад, 11/8 та 13/8). Однак, дослідження
показують, що і в цьому випадку ми не сприймаємо нових інтервалів, а
сприймаємо частотні інтонації або попереднього або наступного інтервалу (11/8
- Або ч. кварта або ув. кварта). Ефект, одержуваний від введення в музичну
практику таких інтервалів, як 7/4 і 19/16, - незначний, тому що інтервал 19/16
абсолютно не відрізняється від відповідних інтервалів 12-звукового ладу, 7/4
- Відрізняється від них трохи.
Серед
рівномірних темперації, в яких октава ділиться на більшу кількість частин,
ніж 12, можна назвати насамперед 24-звуковий рівномірно-темперований
лад. Цей устрій, який зберігає всі особливості 12-звукового рівномірно-темперованого
ладу, дає можливість здійснити з великою точністю інтервали, коефіцієнт
яких містять в собі числа 11 і 13. Поліпшення терцій і Секст (порівняно
з 12-звуковий темперацією) в розглянутій темперації не спостерігається.
Спроби
складати музику в 24-звуковому рівномірно-темперований стрій не можна визнати
вдалими. Інша рівномірна темперації, що представляє собою розширення
12-звуковий рівномірно-темперований системи, є 48-звукова рівномірна
темперації.
В
цьому ладі, який зберігає всі особливості як 12-звуковий, так і 24-звуковий
рівномірних темперації, можуть бути досить точно здійснені інтервали,
коефіцієнт яких містять в собі множник 7. Крім того, цей лад дає
можливість отримати терції і сексти, дуже близькі до натуральних.
Музичні
інструменти з фіксованою частотою звуків, необхідні для музичного
використання цього ладу, дуже складні за своїм устроєм (48 звуків у
октаві!). Спроби складати музику в 48-звуковому рівномірно-темперований
ладі також не дали задовільних результатів.
Найбільш
досконала в звуковому відношенні темперації була б 53-звукова, що дає
можливість здійснити з великим наближенням інтервали як чистого, так і
натурального ладу. Гармоніум з 53 звуками в октаві був побудований Бозанкетом.
Практичного застосування розглянута темперації також не отримала.
зонний лад
З
тих пір, як в музичному мистецтві з'явилося поняття лад, цим терміном
стали називати сукупність частотних відносин звуків в ладу. Найбільш
відомими є лад Піфагора (Давня Греція), чистий лад (Царліно) і
12-звуковий рівномірно-темперований лад (Нейдгардт і Веркмейстер).
що з'явилася
останнім часом електровимірювальна акустична апаратура (генератор
звукової частоти, хроматичний стробоскоп і т. п.) змусила нас змінити наше
поняття про ладі. Численні дослідження, проведені в акустичній
лабораторії Московської державної консерваторії, показали, що наш слух не
здатний сприймати частоту звуків і їх частотні відносини, а може
сприймати тільки висоту звуків і їх висотні стосунки, що ми сприймаємо
як звук одного і того ж назви цілу область близьких частот і як інтервал
одного і того ж назви цілий ряд частотних відносин між звуками. Ця
смуга частот (зона) коливається в межах близько ± 25 центів (± 1/8 тону) навіть
у висококваліфікованих музикантів-слухачів і виконавців на різних
музичних інструментах.
Так,
наприклад, у випробуваного № 2, що володіє чудовим абсолютним слухом, при
прослуховуванні ним окремих звуків, зокрема - а1, зона абсолютного слуху
виявилася рівною 42 центів (приблизно). У скрипаля О., при виконанні ним
арії Баха з оркестрової сюїти D-dur (перекладення для скрипки з фортепіано Вільгельм),
спостерігалися відхилення від равномернотемперірованного ладу до ± 30 центів [15]
. Подібні відхилення спостерігаються і у виконавців на
інших інструментах. Цікаво відзначити, що настройка фортепіано виробляється
висококваліфікованими настроювачі не в 12-звуковому
равномернотемперірованном ладі, а в Зоїному ладі, в якому зустрічаються
інтервали Піфагора і чистого строїв і в якому максимальні відхилення від
равномернотемперірованного ладу досягають ± 9 центів, а мінімальні - ± 2
цента [16]
.
Таким
чином музичне мистецтво на практиці не користується і ніколи не
користувалося ні Піфагора ні чистим ладу в цілому. Воно не може
користуватися і абстрактно-теоретичним рівномірно-темперований стрій, а
користується зонним ладом, який є якимось наближенням до 12-звуковому
рівномірно-темперований стрій і обумовлений зонної природою нашого слуху.
Отже,
ми повинні розрізняти два види 12-звукового рівномірно-темперованого ладу:
абстрактно-теоретичний, який існує тільки на папері, і практичний,
в якому виконуються і сприймаються музичні твори, а також
настроюються музичні інструменти (духові інструменти, фортепіано). Цей
лад, більш-менш наближається до теоретичного, можна назвати
двенадцатізонним рівномірно-темперований музичним ладом.
[1]
Цей розділ є яскравим прикладом «арифметичного» підходу до питань
звуковисотного інтонування. Цей підхід продовжує жити в пошуках «чистої
інтонації ». (Т. В.)
[2]
Музичний інструмент, що складався з струни, натягнутому на резонансний скриньку.
[3]
Перенесення звуку на октаву вниз відповідає збільшенню струни вдвічі.
[4]
За середньовічній термінології.
[5]
Комм називається інтервал, менший 1/8 цілого тону.
[6]
Temperare - приводити в порядок.
[7]
Під словом чистий слід розуміти інтервали натуральні, тобто інтервали,
звуки яких знаходяться в найпростіших числових відносинах. Наприклад, октава 2:
1, квінта 3: 2, кварта 4: 3 і т. д.
[8]
261,63 х3 = 784,89
[9]
392х2 = 784,00
[10]
311,13 x3 = 933,39
[11]
466,16 x2 = 932,32
[12]
(0,89 +1,07 +1,25 +1,48)/4 = 1,1
[13]
Практично відлічується приблизно 1 биття в
секунду.
[14]
210/12: 7/4 = 1,78: 1,75 = 1/7
[15]
Див Гарбузов Н. А. Внутрізонний інтонаційний слух і
методи його розвитку. Изд. Музгиз, 1951 р.
[16]
Див Гарбузов Н. А. Зонна природа звуковисохного слуху.
Изд. АН СРСР, 1948 р.
Список літератури
Для
підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту http://www.mushar.ru
