Леонард Ейлер

Леонард Ейлер народився в квітні 1707 в місті Базель (Швейцарія) в сім'ї небагатого пастора Пауля Ейлера. Освіту отримав спочатку в батька (який в молодості займався математикою під керівництвом Я. Бернуллі), потім вступив (восени 1720 року) в Базельський університет, де в 1724 році виголосив промову, присвячену порівнянні філософії Р. Декарта та І. Ньютона, і був визнаний гідним ступеня магістра мистецтв. З кінця 1723 Ейлер за наполяганням батька став вивчати богослов'я, але незабаром цілком віддався вивченню улюбленої математики. У Базельському університеті Ейлер слухав лекції з математики І. Бернуллі, але особливе значення мали бесіди, проведені з ним І. Бернуллі по суботах протягом декількох років. У 1726-27 роках Ейлер виступив у журналі "Acta eruditorum" з першими науковими роботами, присвяченими актуальним завданням про ізохронний в чинять опір середовищу та траєкторії. Тоді ж він взяв участь у конкурсі робіт на тему про найкраще розташування матч на кораблі; твір Ейлера було опубліковано в 1728 році.

В 1725 двоє друзів Ейлера, сини його вчителя - Данило і Микола Бернуллі, не знайшовши застосування своїм силам в Базелі, прийняли запрошення щойно організованою Академії наук у Петербурзі. В кінці 1726 за рекомендацією та братів Бернуллі його запросили на одне з вільних місць в Петербурзькій Академії наук. Він залишив Швейцарію і в травні 1727 приїхав до Петербурга.

В Петербурзі (де Ейлер жив у 1727 - 41 і з 1766 до кінця життя) Ейлер знайшов дуже сприятливі умови для наукової діяльності: матеріальне забезпечення, широку можливість публікації праць, коло вчених із загальними інтересами в особі Д. Бернуллі, Х. Гольдбаха, Я. Германа та ін Ейлер відразу приступив до занять математикою і механікою. Його статті латинською мовою з'явилися в органі академії - "Commentarii Academiae imp. scientiarum Petropolitanae "починаючи з другого тому за 1727 (1729) і публікувалися в цьому журналі (кілька разів змінювала свою назву без перерви до самої його смерті і ще десятиліття по тому. За 14 років першого петербурзького періоду життя Ейлер підготував до друку близько 80 праць і опублікував понад 50; надалі його наукова продукція значно зросла. Ейлер брав участь у багатьох напрямки діяльність академії. Він читав лекції студентам академічного університету, написав загальнодоступне "Керівництво до арифметики", брав участь у різних технічних експертизах. Багато років він успішно працював над складанням карт Росії. За спеціальним дорученням академії Ейлер підготував до друку "Морську науку" - фундаментальна праця з теорії кораблебудування і кораблеводіння. Пізніше на основі цієї книги він написав для учнів морських шкіл скорочене керівництво французькою мовою (1773), російський переклад якого опублікував (1778) його учень М. Є. Головін.

В Петербурзі Ейлер вивчив російську мову. В 1733 році він женися на Е. Гзелль -- дочки академічного живописця. У Петербурзі ж народилися два його сини: математик і астроном Йоганн Альбрехт (1734-1800) і лікар Карл (1740-90). Третій син Крістоф (1743-1808), учасник астрономічної експедиції академії 1769 року, служачи в армії досяг чину генерал - лейтенанта і був директором збройового заводу в Сестрорецьку.

Тривожний і нестійке становище в період регентства Анни Леопольдівни змусило Ейлера прийняти в 1741 році пропозицію прусського короля Фрідріха ll переїхати в Берлін. У Берлінської академії наук зайняв пост директора класу математики і члена правління, а після смерті її першого президента П. Мопертюї кілька років (1759 р.) фактично керував академією. За 25 років життя в Берліні він повністю або начорно підготував близько 300 робіт, серед них ряд великих монографій. У 40-50-і рр.. він брав участь у кількох наукових і філософських дискусіях. З позиції картезінского механічного матеріалізму, який поєднувався в нього з глибокою особистою релігійністю, Ейлер виступав проти вчення про монодії і передвстановленою гармонії Г. Лейбніца і Х. Вольфа. З Ж. Д. Аламбером він вів суперечку про властивості логарифмів негативних і уявних чисел, з Ж. Д. Аламбером і Д. Бернуллі - про природу рішень диференціального рівняння коливається струни. Ця суперечка, в якому взяли участь і інші найбільші математики 2-й половини 18 століття, мав велике значення у розвиток математичної фізики, вчення про тригонометричних рядах і в узагальненні поняття функції.

Ейлер продовжував займатися і чисто прикладними завданнями. Так, він переклав з англійської на німецьку мову "Нові принципи артилерії" Б. Робінса (1745 р.) і в великих доповненнях до цієї книги і одному мемуари (1753 р.) істотно розвинув вчення про рух круглого снаряда в повітрі. Ейлер консультував роботи з проведення каналу між Хавел та Одером з водопостачання палацу Сан-Сусі, з організації лотерей. Вивчаючи дію сегнерова колеса, він заклав основи теорії турбін. Він вніс цінний внесок в оптичну техніку, теоретично встановивши, що шляхом з'єднання двох лінз різної преломляемості можна уникнути хроматичної аберації, що заважала подальшому посиленню телескопів -- рефракторів; перший ахроматичний об'єктив за принципом Ейлера побудував в 1758 році Дж. Долланд. Ейлер істотно удосконалив також чарівний ліхтар. Він і займався питаннями практичної механіки. Шукаючи доцільну форму зубчастих передач, вивчав пристрій вітряних млинів і т.д. Цінний внесок зробив Ейлер і у вивчення про опір матеріалів, де його ім'я, наприклад, носить відома формула для критичної навантаження колон.

Живучи в Берліні, Ейлер не переставав інтенсивно працювати для Петербурзької АН, зберігаючи її звання почесного члена і отримуючи пенсію. Він вів з Петербургом велику наукову листування, зокрема листувався з М. В. Ломоносовим, якого високо цінував. Ейлер редагував математичний відділ російського академічного наукового органу, де опублікував за цей час майже стільки ж статей, скільки в "Мемуарах" Берлінської АН. Він активно брав участь у підготовці російських математиків; в Берлін відряджалися для занять під його керівництвом майбутні академіки С. К. Котельников, С. Я. Румовскій і М. Софронов. Велику допомогу надавав Ейлер Петербурзької академії наук, придбавши для неї наукову літературу та обладнання, ведучи переговори з кандидатами на посади в академії і т.д.

В перебуванні Ейлера в Берліні кілька раз поставало питання про його повернення в Росію. Тертя Ейлера з Королем Фрідріхом ll пов'язані з розбіжностями в ділових питаннях роботи академії. Але більш за все з глибоким антагонізмом під багатьох поглядах та смаках короля і вченого зі світовим ім'ям. Але Ейлер наполіг на своєму і 17 липня 1766 разом з сім'єю повернувся до Петербурга.

Незважаючи на похилий вік і прийшло на нього майже повну сліпоту (праве око Ейлер втратив в 1738 р., а лівий майже не бачив з осені 1766), працездатність його не знизилася. Завдяки збереглася силі розуму і феноменальну пам'ять, а також допомоги здібних молодих секретарів, його учнів - І. А. Ейлера, В. Л. Крафта, А. И. Лекселя, Н. І. Фусса, М. Е. Галовіна, Ейлер зміг до кінця життя за як і раніше, продуктивно працювати. За 17 років вторинного перебування в Петербурзі їм було підготовлено близько 400 робіт, серед них кілька великих книжок. За один 1777 він разом з М. І. Фуссовим підготував майже 100 статей. Ейлер продовжував брати участь і в організаційній роботі в академії. У 1776 році він був одним з експертів проекту одноарочного мосту через Неву, запропонованого І. П. Кулібіни, і з усієї комісії один надав широку підтримку видатному російській винахіднику.

Заслуги Ейлера як великого вченого і організатора наукових досліджень отримали високу оцінку ще за його життя. Крім Петербурзької та Берлінської академії, він був членом найбільших наукових товариств: Паризької АН, Лондонського королівського товариства і т.д.У різних наукових конкурсах роботи Ейлер неодноразово нагороджувався премій.

Ейлер помер у Петербурзі від крововиливу в мозок і був похований на смоленському кладовищі. У 1837 році Петербурзька АН спорудила на його могилі пам'ятник, в 1956 році його прах був перенесений в ленінградський некрополь.

Однією з відмінних сторін творчості Ейлера є його виняткова продуктивність. Тільки за життя Ейлера було опубліковано близько 550 його книг і статей (список праць Ейлера містить приблизно 850 назв). В 1909 році Швейцарське природничо товариство приступило до видання повного зібрання творів Ейлера в трьох серіях: математичної, механіко - астрономічної і фізичної. До теперішнього часу з друку вийшло 67 томів і готується ще 5. Великий інтерес представляє і колосальна наукова листування Ейлера (близько 3000 листів), до цих пір опублікована тільки частково. З 1975 року розпочато в рамках зібрання творів Ейлера повне видання його наукової листування, яке складе четверту серію, поки що видано 3 томи з 8 намічених, втім частина наукових листів опублікована раніше в інших виданнях.

Незвичайно широкий був коло занять Ейлера, що охопили всі відділи сучасної йому математики і механіки, теорію пружності, математичну фізику, оптику, теорію музики, теорію машин, балістику, морську науку і т.д. Близько 3/5 робіт Ейлера відноситься до математики, інші 2/5 переважно до її додатків. У цьому співвідношенні знайшла вираз тісний зв'язок математичних досліджень Ейлера з практикою. Математику він розробляв у значної частини як апарат природознавства, особливо механіки і техніки. Але Ейлер перш за все був математиком. Часто черпаючи завдання з практики, він розвивав математику не від випадку до випадку, а як органічне ціле, частини якого знаходяться в тісному і глибокої взаємозв'язку. Свої результати і результати, отримані іншими, Ейлер систематизував у низці класичних монографій, написаних з вражаючою ясністю і забезпечених цінними прикладами. Такі, наприклад, "Механіка, або наука про рух, викладена аналітично "(1748)," Диференціальне числення "(1765)," Теорія руху твердого тіла "(1765), "Універсальна арифметика" (1768-69), що витримала близько 30 видань на 6 мовах, "Інтегральне числення" (1768 -70) та ін Особливістю цих настанов є постійна турбота Ейлера розкрити шляхи, що ведуть до викладаються результати; завдяки цьому багато книг Ейлера і зараз цікаві не тільки для фахівців, а й для учнівської молоді. У 18 столітті, а від частини і в 19 столітті величезну популярність придбали загальнодоступні "Листи про різні фізичних та філософічних матеріалах писаних до деякої німецької принцесі ...", які витримали понад 40 видань на 10 мовах. Велика частину контенту монографій Ейлера увійшла потім в навчальні посібники для вищої і частково для середньої школи. Неможливо перелічити всі донині вживані теореми та методи Ейлера, з яких тільки деякі фігурують в літературі підлогу його ім'ям.

В механіки Ейлер вперше виклав у широкому обсязі динаміку точки за допомогою нового математичного аналізу. У першому томі цього твору розглянуто вільний рух точки під дією різних сил як в порожнечі, так і в чинять опір середовищі; в другому томі - рух точки по даній лінії або по даної поверхні. При цьому Ейлер не тільки спростив прийоми рішення вже відомих проблем, але і вирішив багато нові завдання, відкрив шляху до подальших дослідженням. Зокрема, велике значення для розвитку небесної механіки мала глава про рух точки під дією центральних сил. У 1744 він вперше конкретно сформулював механічний принцип найменшої дії і показав його вперше застосування. У "Теорії руху твердих тіл" Ейлер розробив кінематику і динаміку твердого тіла і дав рівняння його обертання навколо нерухомої точки, поклавши початок теорії гіроскопів. У своїй теорії корабля Ейлер вніс цінний внесок у теорію стійкості. Все це підготувало грунт для створення системи аналітичної механіки Лангранжа. Великі були відкриття Ейлера і в небесної механіки. Змагаючись з А. Клеро, він значно просунув теорію руху Місяця. Метод викладений у першій монографії Ейлера з цього питання (1753), був використаний Т. Майнер для обчислення місячних таблиць, довгий час служили для визначення довготи у відкритому морі; високі достоїнства запропонованого Ейлером іншого методу визначення місячної орбіти (1772) отримали довгоочікувану оцінку лише наприкінці 19 століття. Мемуари 1757-71 внесли великий внесок в механіку суцільних середовищ (основні рівняння руху ідеальної рідини в формі Ейлера і в т.зв. змінних Лангранжа, коливання газу в трубах і т.д.). Великий цикл робіт, розпочатий в 1748 році, Ейлер присвятив математичної фізики: задач про коливання струн, пластинок, мембрани та ін Всі ці дослідження стимулювали розвиток теорії диференціальних рівнянь, наближених методів аналізу, спеціальних функцій, диференціальної геометрії і т. д. Багато чисто математичні відкриття Ейлера містяться саме в цих його роботах.

Головним справою Ейлера, як математика, є розробка математичного аналізу, самі рамки якого він значно розширив порівняно зі своїми попередниками. Він заклав основи кількох математичних дисциплін, які тільки в зародковому вигляді були або зовсім відсутні в обчисленні нескінченних малих І. Ньютона, Г. Лейбніца і Я. та І. Бернуллі. Так, Ейлер перший систематично ввів в розгляд функції комплексного аргументу (Вступ до аналізу нескінченних ", Т.1). Зокрема, він вивів формули, що зв'язують тригонометричні функції з показовою (див. прилож. № 1), слід зауважити, що цей зв'язок був раніше згадана без доведення в одній роботі Р. Котеса. Роботи Ейлера в цьому напрямку, з'ясування їм деяких властивостей аналітичних функцій (рівняння Д'аламбер-Ейлера, зв'язок з камфорним відображеннями) і, нарешті, застосування уявних величин до обчислення інтегралів поклали початок теорії функцій комплексного змінного.

Ейлер став творцем варіаційного обчислення, викладеного в роботі "Метод знаходження кривих ліній, що володіють точками максимуму, або мінімуму ... " (1744). Дещо пізніше Ж. Лангранж істотно переробив і вдосконалив метод Ейлера, ввів поняття і знак варіації. Після чого Ейлер оригінально виклав варіаційне числення в ряді статей "Інтегрального обчислення ". Метод, за допомогою якого Ейлер в 1744 році вивів необхідне умова екстремуму функціоналу (див. додаток 2), став прообразом прямих методів варіаційного обчислення 20 століття; пізніше Ейлер ввів в розгляд поле екстремалів.

Систематично розвиваючи нові прийоми інтегрування диференціальних рівнянь, ввівши низку основних понять у цій галузі, Ейлер створив як самостійну дисципліну теорію звичайних диференціальних рівнянь і заклав основи теорії рівнянь з частинними похідними. Тут йому належить величезне число відкриттів: класичний загальний спосіб вирішення лінійних рівнянь з постійними коефіцієнтами, метод варіації довільних сталих, з'ясування основних властивостей рівняння Ріккаті, інтегрування лінійних рівнянь з змінними коефіцієнтами (зокрема, т.зв. рівняння Бесселя) за допомогою нескінченних рядів, критерії особливих рішень, вчення про інтегруючим множнику, різні наближені методи і ряд прийомів розв'язання рівнянь з частинними похідними. Значну частину цих результатів Ейлер зібрав у своєму "Інтегральні еквіваленті ".

Ейлер збагатив також диференціальне та інтегральне числення у вузькому сенсі слова. Досить назвати широкий розвиток вчення про заміну змінних, теорему про однорідних функціях, див. додаток № 3, поняття подвійного інтеграла (відоме також Ж. Лангранжу) та обчислення багатьох спеціальних інтегралів (див. додаток № 4). У теорію рядів Ейлер вніс нові ідеї, які показують, що він умів бачити на багато десятиліть вперед. Прикладом може служити його трактування проблеми збіжності рядів. В "Диференціальне числення" Ейлер висловив і підкріпив прикладами переконання в доцільності застосування розходяться рядів і запропонував методи узагальненого підсумовування рядів. При тодішній стан науки він не міг з'ясувати і навіть цілком конкретно поставити питання про умови, в яких законні його визначення і методи; він не знав також всієї важливості побудови теорії збіжності рядів. Тим не менш у своїх поглядах і в методах підсумовування він передбачав ідеї сучасної суворої теорії розходяться рядів, створеної на рубежі 19 і 20 ст. Крім того, Ейлер отримав в теорії рядів безліч конкретних резул?? ратів. Він відкрив т.з. формулу підсумовування Ейлера - Маклорена, запропонував перетворення рядів, що носить його ім'я, визначив суму такою кількістю рядів, ввів у математику нові важливі типи рядів (напр., тригонометричні ряди, т.зв. ряди Ламберта). Сюди ж примикають дослідження Ейлера по темі теорії неперервних дробів та ін нескінченних процесів.

Ейлер є основоположником теорії спеціальних функцій. Він першим почав розглядати синус і косинус як функції, а не як відрізки в колі. Їм отримано майже всі класичні розкладання елементарних функцій в нескінченні ряди і твори. В його працях створена теорія гамма функцій. Він досліджував властивості еліптічних інтегралів, гіперболічних і циліндричних функцій, дзета-функції, деяких тета-функцій, інтегрального логарифма і важливих класів спеціальних многочленів.

За зауваженням П.. Чебишева, Ейлер поклав початок всім вишукувань, що становлять загальну частина теорії чисел, до якої належить понад 100 мемуарів Ейлера. Так, Ейлер довів ряд тверджень, висловлених П. Ферма, розробив основи теорії статечних відрахувань та теорії квадратичних форм, виявив (але не довів) квадратичного закону взаємності і досліджував ряд завдань діофантова аналізу. У роботах про розбивання чисел на складові і з теорії простих чисел Ейлер вперше використовував методи аналізу, ставши тим самим творцем аналітичної теорії чисел. Зокрема, він ввів знамениту дзева - функцію і довів т. н. тотожність Ейлера, що зв'язує прості числа з усіма натуральними.

Великі заслуги Ейлера і в інших галузях математики. В алгебрі йому належать роботи про рішення в радикалах рівнянь вищої ступенів і про рівняннях з двома невідомими, а також т.зв. тотожність Ейлера про чотири квадратах. Ейлер значно просунув аналітичну геометрію, особливо вчення про поверхнях 2-го порядку. У диференціальної геометрії він детально дослідив властивості геодезичних ліній, вперше застосував натуральні рівняння кривих, а головне, заклав основи теорії поверхонь. Він ввів поняття головних напрямків у точці, поверхні, довів їх Ортогональність, вивів формулу для кривизни будь-якого нормального перетину, почав вивчення розгортаються поверхонь. Ейлер займався і окремими питаннями топології і, наприклад, довів важливу теорему про опуклих багатогранника (зустрічається в рукописах Р. Декарта без докази).

Ейлера - Математика нерідко характеризують як геніального "обчислювача". Дійсно, він був неперевершеним майстром формальних викладок і перетворень, у його працях багато математичні формули і символіка вперше отримують сучасний вигляд (наприклад, йому належать позначення для e и). Однак Ейлер був не тільки виняткової сили "обчислювачем". Він вніс в науку ряд глибоких ідей. Навіть у тих питаннях, де він, як і інші математики 18 століття, стояв на хиткою грунті, його міркування, як правило, можуть бути строго обгрунтовані і служать зразком глибини проникнення в предмет дослідження.

За висловом П. Лапласса, Ейлер з'явився загальним вчителем математиків 2-й половини 18 століття. Від його робіт безпосередньо відправлялися в різноманітних дослідженнях П. Лаплас, Ж. Лагранж, Г. Монжа, А. Лежандр, К. Гаус, пізніше О. Кошля, М. В. Остроградський, П. Л. Чебишев та ін Російські математики високо цінували творчість Ейлера, а діячі чебишевской школи бачили в Ейлера свого ідейного попередника в його постійному почутті конкретності, в інтересі до конкретних важким завданням, що вимагає розвитку нових методів, у прагненні отримувати вирішення завдань у формі закінчених алгоритмів, що дозволяють знаходити відповідь з будь-якої необхідної ступенем точності.

Список літератури

"Математична енцеклопедія ".

Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту http://minisoft.net.ru/