П'єр де Ферма
Аналітик, будь чесний!
Інакше вночі Еквідомід-месник
стисне твоє горло смертельною тугою ..
Луї Ферронії, "Досвід мюідальной геометрії"
"П'єр, син Домініка Ферма, буржуа і другий консулату міста Бомон, хрещений 20 серпня 1601 Хрещений батько - П'єр Ферма, купець і брат названого Домініка, хрещена мати - Жанна Казнюв, і я". Підпис відсутній, але попередній запис підписана: "Дюма, вікарій". Цей документ шукали півтора століття і виявили лише в 1846 р. завдяки зусиллям адвоката Топіака. До цього вважалося, що Ферма народився і помер в Тулузі, де 34 (!) Року справно служив чиновником касаційної палати Тулузького парламенту. Маленьке містечко Бомон на лівому березі Гаронни поблизу Монтабане-на-тарний (у Франції більше 30 Бомон) і всі його п'ять тисяч жителів до цього дня не в силах усвідомити значимість знахідки дійшлого адвоката. Тут народився великий Ферма, останній математик-алхімік, вирішував марні завдання прийдешніх століть, Найтихіший суддівський гачок, лукавий сфінкс, замучили людство своїми загадками, обережний і гречний чинуша, подтасовщік, інтриган, домосід, заздрісник, геніальний компілятор, один з чотирьох титанів математики нового часу.
Цей сучасник Д'Артаньяна майже не виїжджав з Тулузи, де осів після одруження з кузині своєї матері Луїзі де Лон, дочки радника того-самого парламенту. Завдяки тестеві він дослужився до звання радника і придбав омріяну приставку "де". Син третього стану, практичний нащадок багатих шкіряників, нашпигований латиною і францисканським благочестям, він не ставив перед собою грандіозних завдань у реальному житті. Він мав п'ятьох чад, надалі стали суддівськими чиновниками та священиками. Дві дочки Ферма прийняли чернецтво.
У свій бурхливий вік він прожив грунтовно і тихо. Він не писав філософських трактатів, як Декарт, не був повірників французьких королів, як Вієт, не воював, не подорожував, не створював і не відвідував математичні гуртки, не мав учнів і майже не друкувався за життя. Чиновникам провінційних судів пропонувалося вести замкнуте життя, уникаючи будь-яких проявів публічності. Ймовірно Ферма, вважаючи себе солідною людиною, соромився своєї пристрасті до дозвільних формальним ігор. На схилі років наш герой пише: "Тому що, відверто кажучи, я вважаю геометрію найвищим вправою для розуму, але водночас настільки марним, що я роблю мало розходження між людиною, яка займається тільки геометрією, і майстерним ремісником. Я називаю геометрію найпрекраснішої професією у світі, але все ж тільки професією, і я часто кажу, що вона хороша для проби сил, але не для того, щоб вкладати в неї всі сили ... ". Він змінив собі лише перед смертю, опублікувавши в Тулузі далеко не самі блискучі зі своїх знахідок у невеликому трактаті "Про порівняння кривих ліній прямими". Не виявивши жодних свідомих претензій на місце в історії, Ферма несподівано помирає у віці 64 років під час поїздки у службових справах.
Його прижиттєва популярність заснована на рясної листуванні, в якій він дошкуляв друзів і недругів незвичайними завданнями. Його посмертна слава розрослася завдяки скромним позначками на полях "Арифметики" Діофанта. Зазвичай людству необхідно кілька десятків років, щоб розібратися зі спадщиною чергового невгамовного генія. Навіть такий загадковий "обранець богів" як Еваріст Галуа випередив свій час максимум на 60 років. На остаточне осмислення загадок Ферма знадобилося майже чотири століття. Ах, Ваша честь, найдобріший пан П'єр, чому від Вас так пахне сіркою?
Інтерес до математики позначився у Ферма якось несподівано й у досить зрілому віці. В 1629 році в його руки потрапляє латинський переклад роботи Паппа, що містить коротке зведення результатів Аполлонія про властивості конічних перерізів. Ферма, поліглот, знавець права і античної філології, раптом ставить за мету повністю відновити хід міркувань знаменитого вченого. З таким же успіхом сучасний адвокат може спробувати самостійно відтворити всі докази в монографії з алгебраїчної топології. Однак, немислиме підприємство одержує успіхом. Більш того, вникаючи в геометричні побудови древніх, він робить дивне відкриття: для знаходження максимумів і мінімумів площ фігур не потрібні хитромудрі креслення. Завжди можна скласти і вирішити якесь просте алгебраїчне рівняння, корені якого визначають екстремум. Він придумав алгоритм, який стане основою диференціального обчислення. У обривках листів, у незавершених рукописах крізь громіздкі вербальні позначення на латині виразно проступає щось болісно знайоме:
.
Він швидко просунувся далі. Він знайшов достатні умови існування максимумів, навчився визначати точки перегину, провів дотичні до всіх відомих кривих другого і третього порядку. Ще кілька років, і він знаходить новий чисто алгебраїчний метод знаходження квадратур для парабол і гіпербол довільного порядку (тобто інтегралів від функцій виду yp = Cxq і ypxq = С), обчислює площі, обсяги, моменти інерції тіл обертання. Це був справжній прорив. Відчуваючи це, Ферма починає шукати спілкування з математичними авторитетами того часу. Він впевнений в собі і прагне визнання.
У 1636 р. він пише перший лист Єгомость Марену Мерсенна: "Святий отче! Я Вам надзвичайно вдячний за честь, яку Ви мені надали, подавши надію на те, що ми зможемо розмовляти письмово; ... Я буду дуже радий дізнатися від Вас про всіх нових трактатах і книгах з математики, яка з'явилася за останні п'ять-шість років . ... Я знайшов також багато аналітичних методів для різних проблем, як числових, так і геометричних, для вирішення яких аналіз Вієта недостатній. Усім цим я поділюся з Вами, коли Ви захочете, і до того ж без будь-якої зарозумілості, від якого я більш вільний і більш далекий, ніж будь-яка інша людина на світі. "
Хто такий батько Мерсенн? Це францисканський чернець, вчений скромних обдарувань і чудовий організатор, протягом 30 років очолював паризький математичний гурток, який став справжнім центром французької науки. Надалі гурток Мерсенна указом Людовика XIV буде перетворено на Паризьку академію наук. Мерсенн невпинно вів величезну переписку, і його келія в монастирі ордена мініма на Королівській площі була свого роду "поштамтом для всіх учених Європи, починаючи від Галілея і кінчаючи Гоббсом". Листування заміняла тоді наукові журнали, які з'явилися значно пізніше. Зборища у Мерсенна відбувалися щотижня. Ядро гуртка складали самі блискучі натуралісти того часів: Робервіль, Паскаль-батько, Дезарга, Мідорж, Арді і звичайно ж знаменитий і повсюдно визнаний Декарт. Рене Декарт дю Перон (Картезій), дворянська мантія, два родових маєтку, основоположник картезіанства, "батько" аналітичної геометрії, один із засновників нової математики, а так само друг і товариш Мерсенна по єзуїтського коледжу. Цей чудовий людина стане кошмаром для Ферма.
Мерсенн визнав результати Ферма досить цікавими, щоб ввести провінціала в свій елітний клуб. Ферма тут же зав'язує листування з багатьма членами гуртка і буквально засипає листами самого Мерсенна. Крім того він відсилає на суд вчених мужів закінчені рукописи: "Вступ до плоских і тілесним місцях", а рік по тому - "Спосіб відшукання максимумів і мінімумів" та "Відповіді на запитання Б. Кавальєрі". Те, що викладав Ферма була абсолютна новь, однак сенсація не відбулася. Сучасники не здригнулися. Вони мало, що зрозуміли, але зате знайшли однозначні вказівка на те, що ідея алгоритму максимізації Ферма запозичив із трактату Иоханнес Кеплера із кумедною назвою "Нова стереометрія винних бочок". Дійсно, в міркування Кеплера зустрічаються фрази типу "Обсяг фігури найбільший, якщо з обох боків від місця найбільшого значення спадання спочатку непомітно". Але ідея малості приросту функції поблизу екстремуму зовсім не носилася в повітрі. Кращі аналітичні уми того часу були не готові до маніпуляцій з малими величинами. Справа в тому, що в той час алгебра вважалася різновидом арифметики, тобто математикою другого сорту, примітивним підручним засобом, розробленим для потреб низовинної практики ( "добре вважають тільки торговці"). Традиція приписувала дотримуватися суто геометричних методів доказів, висхідних до античної математики. Ферма першим зрозумів, що нескінченно малі величини можна складати і скорочувати, але досить важко зображати у вигляді відрізків.
Знадобилося майже століття, щоб Жан Д'Аламбер в знаменитій "Енциклопедії" визнав: "Ферма був винахідником нових обчислень. Саме у нього ми зустрічаємо перший додаток диференціалів для знаходження дотичних ". Наприкінці XVIII століття ще більш виразно висловиться Жозеф Луї граф де Лагранж: "Але геометри - сучасники Ферма - не зрозуміли цього нового роду числення. Вони побачили лише окремі випадки. І це винахід, який з'явився незадовго перед "Геометрія" Декарта, залишалося безплідним протягом сорока років ". Лагранж має на увазі 1674, коли вийшли в світ "Лекції" Ісаака Барроу, докладно висвітлювали метод Ферма.
Крім усього іншого швидко виявилося, що Ферма більш схильний формулювати нові проблеми, ніж, ніж смиренно вирішувати завдання, запропоновані метрами. В епоху дуелей обмін завданнями між вченими мужами був загальноприйнятий, як форма з'ясування проблем, пов'язаних з субординацією. Однак Ферма явно не знає міри. Кожне його лист - це виклик, який містить десятки складних невирішених завдань, причому на найнесподіваніші теми. Ось зразок його стилю (адресовано Френіклю де Бессі): "Item, який найменший квадрат, що при зменшенні на 109 та додатку одиниці дасть квадрат? Якщо Ви не надішлете мені спільного рішення, то надішліть приватне для цих двох чисел, які я вибрав невеликими, щоб Вас не дуже ускладнити. Після того як я отримаю від Вас відповідь, я запропоную Вам деякі інші речі. Ясно без особливих застережень, що в моєму реченні потрібно знайти цілі числа, оскільки в разі дрібних чисел саме незначне арифметик зміг би прийти до мети. "Ферма часто повторювався, формулюючи одні й ті самі запитання по декілька разів, і відверто блефував, стверджуючи, що має у своєму розпорядженні надзвичайно витонченим рішенням запропонованої задачі. Не обходилося і без прямих помилок. Деякі з них були помічені сучасниками, а подекуди якісь підступні затвердження вводили в оману читачів протягом століть.
Гурток Мерсенна прореагував адекватно. Лише Робервіль, єдиний член гуртка, який мав проблеми з походженням, зберігає дружній тон листів. Добрий пастир батько Мерсенн намагався напоумити "Тулузького нахабу". Але Ферма не має наміру виправдовуватися: "Преподобний отець! Ви мені пишете, що постановка моїх неможливих проблем роздратувала та охолодила панів Сен-Мартена і Френікля і що це стало причиною припинення їхніх листів. Однак я хочу заперечити їм, що те, що спочатку здається неможливим, насправді не є таким і що є багато проблем, про які, як сказав Архімед ... ", Тощо.
Однак Ферма лукавить. Саме Френіклю він послав задачу про знаходження прямокутного трикутника з цілочисельними сторонами, площа якого дорівнює квадрату цілого числа. Послав, хоча знав, що завдання явно не має рішення.
Найбільшу ворожу позицію по відношенню до Ферма зайняв Декарт. У його листі Мерсенна від 1938 р. читаємо: "так як я дізнався, що це той самий чоловік який перед тим намагався спростувати мою" Діоптріку ", і так як Ви повідомили мені, що він послав це після того, як прочитав мою" Геометрія "і в подиві, що я не знайшов ту саму річ, тобто (як маю підставу його витлумачити) послав це з метою вступити в суперництво і показати, що в цьому він знає більше, ніж я, і так як ще з ваших листів я дізнався, що за ним числиться репутація дуже обізнаного геометра, то я вважаю себе зобов'язаним йому відповісти. "Свою відповідь Декарт надалі урочисто позначить як" малий процес Математики проти р. Ферма ".
Легко зрозуміти, що привело в лють іменитого вченого. По-перше, в міркуваннях Ферма постійно фігурують координатні осі і подання чисел відрізками - прийом, який Декарт всебічно розвиває у своїй щойно виданої "Геометрії". Ферма приходить до ідеї заміни креслення обчисленнями абсолютно самостійно, в чомусь він навіть більш послідовний, ніж Декарт. По-друге, Ферма блискуче демонструє ефективність свого методу знаходження мінімумів на прикладі задачі про найкоротший шлях світлового променя, уточнюючи і доповнюючи Декарта з його "Діоптрікой".
Заслуги Декарта як мислителя і новатора величезні, але відкриємо сучасну "Математичну енциклопедію" і переглянемо список термінів пов'язаних з його ім'ям: "декартові координати" (Лейбніц, 1692), "Декарт лист", "Декарта овали". Жодне з його міркувань не ввійшло в історію як "Теорема Декарта". Декарт в першу чергу ідеолог: він засновник філософської школи, він формує поняття, вдосконалює систему літерних позначень, але в його творчій спадщині мало нових конкретних прийомів. На противагу йому П'єр Ферма мало пише, але за будь-якого приводу може придумати масу дотепних математичних трюків (див. там же "Теорема Ферма", "Принцип Ферма", "Метод нескінченного спуску Ферма"). Ймовірно, вони цілком справедливо заздрили один одному. Зіткнення було неминуче. При єзуїтському посередництва Мерсенна розгорається війна, що тривала два роки. Втім, Мерсенн і тут виявився прав перед історією: люта сутичка двох титанів, їх напружена, м'яко кажучи, полеміка сприяла осмислення ключових понять математичного аналізу.
Першим втрачає інтерес до дискусії Ферма. Мабуть, він прямо порозумівся з Декартом і більше ніколи не зачіпав суперника. В одній зі своїх останніх робіт "Синтез для рефракції", рукопис якої він послав де ла Шамбру, Ферма через слово поминає "вчені Декарта" і всіляко підкреслює його пріоритет у питаннях оптики. Тим часом саме цей рукопис містила опис знаменитого "принципу Ферма", який забезпечує вичерпне пояснення законів відбиття і заломлення світла. Реверанси у бік Декарта в роботі такого рівня були абсолютно зайві.
Що ж сталося? Чому Ферма, відклавши в сторону самолюбство, пішов на примирення? Читаючи листи Ферма тих років (1638 - 1640 рр..), Можна припустити найпростіше: у цей період його наукові інтереси різко змінилися. Він закидає модну циклоїди, перестає цікавитися дотичними і площами, і на довгі 20 років забуває про свій метод знаходження максимуму. Маючи величезні заслуги в математиці безперервного, Ферма цілком занурюється в математику дискретного, залишивши остогидлі геометричні креслення своїм опонентам. Його новою пристрастю стають числа. Власне кажучи, вся "Теорія чисел", як самостійна математична дисципліна, своєю появою на світ цілком зобов'язана життя і творчості Ферма.
У працях стародавніх, з їх культом креслення, ми знаходимо напрочуд мало досліджень з теорії чисел. Евклід відзначає де-не-які правила подільності і доводить безмежність безлічі простих чисел. Можна також пригадати cribrum Eratosthenis (решето Ератосфена) - метод виділення простих чисел з натурального ряду. Ось, мабуть, і все. Окремо стоять твори Діофанта (III століття до н. Е..), Який розглядав завдання про представлення чисел і вирішував невизначені рівняння в цілих числах. З тринадцяти книг його "Арифметики" до наших днів дійшло лише шість. У Європі переклади творів Діофанта на латинську і французька мови з'явилися лише на початку XVII ст. БАШЕЄВ де Мезіріак в 1621 р. видав переклад "Арифметики" з власними докладними коментарями та доповненнями. Саме це видання, потрапивши до рук Ферма, зіграє визначну роль в історії математики.
Ферма уважно вивчає "Арифметику" і поміщає на полях книги 46 зауважень до тексту. Крім цих позначок, положення з теорії чисел (в основному без доказів) розпорошені в листах Ферма. Цього цілком вистачило для виникнення нового напряму в математиці. Після смерті Ферма його син Самюель видав в 1670 р. належить батькові екземпляр "Арифметики" під назвою "Шість книг арифметики олександрійці Діофанта з коментарями Л. Г. БАШЕЄВ та зауваженнями П. де Ферма, Тулузького сенатора". До книги були включені також деякі листи грудня?? рота і повний текст твору Жака де Більі "Нове відкриття в мистецтві аналізу", написаний на основі листів Ферма. Видання мало неймовірний успіх. Перед здивованими фахівцями відкрився небачений яскравий світ. Несподіванка, а головне доступність, демократичність теоретико-числових результатів Ферма породили масу наслідувань. У той час мало хто розумів як обчислюється площа параболи, але кожен школяр міг усвідомити формулювання Великої теореми Ферма. Почалося справжнє полювання за невідомими і втраченими листами вченого. До кінця XVII ст. було видано і перевидано кожне знайдене його слово. Але бурхлива історія розвитку ідей Ферма тільки починалася.
Надалі Ферма пояснить своє захоплення числами в листі англійською математикам Дігбі і Броункеру. Цей лист має спеціальний підзаголовок: "Другий виклик Ферма математикам". Ферма пише: "Навряд чи хто-небудь може запропонувати або навіть зрозуміти чисто арифметичні задачі. Бо хіба Арифметика не тлумачив швидше геометрично, ніж арифметично. Це підтверджує більшість праць давніх і нових авторів; підтверджують це і праці самого Діофанта. Він трохи більше за інших віддалився від геометрії, коли почав викладати Аналітикові в раціональних числах, а проте і ця частина не зовсім позбавлена геометрії, що цілком довели книги Вієта "Зететіка", де метод Діофанта переноситься на безперервні величини, а значить, і на геометрію. ... Лише я, мов що йде попереду факелоносец, пропоную вам для доказу або побудови наступну теорему або завдання. Якщо ви її вирішите, то зрозумієте, що завдання такого роду ні тонкістю, ні труднощами, ні способом докази не поступаються знатнішим проблем геометрії ".
Що ж шукав і що відкрив П'єр Ферма, займаючись числами? Ризикнемо припустити, що більш за все Ферма цікавили способи побудови простих чисел. Він мріяв знайти явну формулу, яка дозволяє швидко обчислювати як завгодно великі прості числа. На полях "Арифметики" він висловив припущення, що таким "генератором" простих чисел буде формула
, n = 0,1,2 , ...
Дійсно, при n = 0, 1, 2, 3, 4 отримуємо прості числа 3, 5, 17, 257, 65537. Ферма вважав, що при всіх інших числа n F (n) - прості, і неодноразово пропонував своїм кореспондентам довести цей результат.
Знадобилося сто років, щоб Леонард Ейлер в 1733 р. спростував твердження Ферма. Це відбулося з подачі Христіана Гольдбаха, який в 1729 р. писав що знаходився в Петербурзі Ейлера: "Чи відомо тобі зауваження Ферма про те, що всі числа виду 
саме 3, 5, 17, тощо. суть прості, причому сам він, за його зізнанням, не зміг цього довести і, наскільки я знаю, після нього ніхто не довів ". Ейлер пару років подумав і показав, що вже при n = 5 число F (5) ділиться на 641:
.
Для отримання цього результату Ейлера довелося випробувати 160 дільників. Складовими виявилися й багато інших числа Ферма (при n = 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 18, 23, 36, 38, 73). Найбільша з відомих у даний момент складових чисел Ферма F (452) складається з 10135 цифр і ділиться на 27Ч
2455 +1 (показано з допомогою ЕОМ). Заради справедливості слід підкреслити, що Ферма, вважаючи числа F (n) простими, ніколи не стверджував, що має в своєму розпорядженні доказом цього факту. З іншого боку, до теперішнього часу відомо стільки ж простих чисел Ферма, скільки з знали за часів Ферма, а саме: 3, 5, 17, 257, 65537.
Отже, Ферма помилявся. Його формула виробляла в основному складові, а не прості числа. Проте, ідея "генерування" простих чисел була сприйнята з ентузіазмом. Все той же аж ніяк не легковажний Ейлер запропонував многочлен x2-x 41, що за всіх цілих x від 0 до 40 дає тільки прості числа. Ейлер не полінувався виконати ці обчислення, хоча чудово знав, що многочлен з цілими коефіцієнтами не може при всіх натуральних значеннях аргументу приймати тільки прості значення. Сьогодні, незважаючи на зусилля сотень тисяч професіоналів і дилетантів, ми як і раніше не вміємо обчислювати як завгодно великі прості числа, хоча знаємо масу нюансів про їх розподіл. Один з найбільш яскравих результатів цієї області належить академіку Пафнутія Львовичу Чебишева (1850): число простих чисел не переважаючих n приблизно дорівнює 
при n ®
Г
.
Ферма помилився, але Ферма був би не Ферма, якщо би дозволив хоч одній своїй теоремі безславно кануть в лету. "Прокляті числа як перевертні" вилазили в самих далеких від теорії чисел дослідженнях. У 1796 р. 19-річний студент Геттінгенського університету Карл Фрідріх Гаус викликав сенсацію, довівши теорему: правильний багатокутник може бути побудований за допомогою циркуля і лінійки тоді і тільки тоді, коли число його сторін одно 2ap1p2 ... pb, де всі прості числа pi є числами Ферма, тобто мають вигляд 
. То була помста Ферма пихатим геометрії. Теорема Гауса підвела риску під багатовіковими спорами щодо можливості побудови правильних многокутників і зекономила масу часу любителям математики. З цієї теореми випливає, що можна побудувати правильні 3 -, 5 -, 17 -, 257 -, 65537 - і інші багатокутники і не можна побудувати, наприклад, правильні 7 -, 11 -, 13 - кутники. Для невіруючих Гаус не полінувався побудувати правильний 17-кутник.
Займаючись таємницями простих чисел Ферма сформулював багато положень про представимо чисел квадратичних форм. Наприклад, він виявив наступні дивно прості і глибокі закономірності:
1. Формою x2 + y2 представимо всі прості числа, які лежать в прогресії 4n +1, причому кожне з них представимо цією формою єдиним чином. Жодне просте число з прогресії 4n 3 НЕ представимо сумою двох квадратів.
2. Формою x2 2 y2 представимо всі прості числа, що лежать в прогресія 8n 1 і 8n 3. Жодне просте число з прогресій 8n 5 і 8n +7 НЕ представимо у вигляді x2 2 y2.
3. Формою x2-2y2 представимо всі прості числа, що лежать в прогресія 8n 1 і 8n 7. Жодне просте число з прогресій 8n 5 і 8n 3 НЕ представимо у вигляді x2-2y2.
4. Формами x2 3 y2 і x2 + xy + y2 представимо всі прості числа, що лежать в прогресії 3n 1. Жодне просте число з прогресії 3n +2 НЕ представимо зазначеними формами.
Ферма залишив вкрай мало пояснень, що дають можливість встановити, як йому вдалося отримати ці надзвичайно загальні результати. Лише перед смертю в листі до де Каркаві Ферма частково обгрунтував положення (1) за допомогою свого методу нескінченного спуску. Можна лише пошкодувати сучасників Ферма, які регулярно отримували варіації на тему тверджень (1) - (4) в якості завдань. Перші повні докази цих тверджень вдалося отримати лише Ейлера. Попутно він сформулював дуже важливу теорему про подільності - так званої квадратичного закону взаємності, доказ якого дав Гаус. Через захоплення квадратичних форм пройшли Лагранж, Лежандр, Чебишев, а в наш час - Вейл, Артін і багато інших блискучі математики. Як завжди ідеї Ферма виявилися надзвичайно плідними в сенсі побудови далекосяжних узагальнень і формування нових понять. Добра половина термінів сучасної абстрактної алгебри виникла із спроб довести твердження Ферма.
Один з найважливіших результатів Ферма отримав спеціальну назву "Мала теорема Ферма". Це фундаментальний факт теорії подільності на прості числа: для будь-якого простого p і будь-якого aі
1, яке не ділиться на p, різниця ap -1-1 ділиться на p. Наприклад, нехай a = 5,
p = 2, 3, 7, 11. Тоді 52-1-1 = 2Ч
2, 53-1-1 = 3ч
8, 57-1-1 = 7ч
2232, 511-1-1 = 11ч
8878. Ферма висловив цю теорему в листі Френіклю де Бессі в 1640 р. з звичайним для нього зауваженням: "... я б Вам надіслав доказ, якщо б не боявся бути занадто довгим ".
Перший доказ "Малої теореми Ферма" дав Лейбніц. Потім Ейлер, починаючи з 1736, публікує відразу три різні докази, які показують, що Ферма цілком міг вміти доводити свою теорему. Нащадки часто шукали елементарні докази тверджень Ферма, намагаючись зрозуміти наскільки лукавив великий тулузец. Проблеми Ферма хвилювали Ейлера протягом всього життя. У 1760 р. він отримав суттєве узагальнення його "Малої теореми": нехай j
(m) - кількість натуральних чисел, не переважаючих m і взаємно простих з m. Тоді для будь-якого m і будь-якого aі
1, взаємно простого з m, різниця aj
(m) -1 ділиться на m. Цю терема Ейлер скромно опублікував в якості четвертого докази "Малої теореми Ферма"
Нарешті, ми переходимо до викладу самої знаменитої теореми в історії математики. Ця теорема здобула популярність як "Велика теорема Ферма" (вона ж "Велика", вона ж "Остання"). На сучасному мовою це звучить так:
не існує відмінних від нуля цілих чисел x, y і z, для яких має місце рівність
при n> 2.
Звісно, ніякої рівняння у Ферма не було. Він взагалі не знав знака рівності, а використовував латинське eq. Наводимо твердження Ферма в оригінальному вигляді:
"Куб, однак, на два куба або квадроквадрат на два квадроквадрата і взагалі ніяку до нескінченності понад квадрата ступінь в два того ж назви неможливо розділити". І не поставивши крапку, Ферма приписав: "я відкрив воістину дивовижне доказ цієї пропозиції. Але воно не вміщується на вузьких полях. "
Цією фразою Ферма прокоментував завдання з Діофанта: "Вказаний квадрат розкласти на два квадрата". Дане зауваження є другим за рахунком з зроблених ним на полях "Арифметики". Перше стосувалося життєвих тем.
Невизначені рівняння (тобто рівняннями з двома невідомими) виду 
цікавили давніх греків у зв'язку з теоремою Піфагора. Вони шукали (і знаходили) трійки цілих чисел, що утворюють сторони прямокутного трикутника. Це означає, що при n = 1, 2 рівняння в рамці має незліченну безліч рішень. Здогадка Ферма полягала в тому, що при всіх інших n таких трійок не існує.
Навряд чи Ферма був першим, хто прийшов до такого висновку. Наприклад, близько тисячі років тому узбецький математик Хамід ал-Хадженді (що означає Хамід з Ленінабада) стверджував, що рівняння x3 + y3 = z3 не має рішень у цілих числах. Сьогодні ясно, що Хамід не мав жодних шансів довести це твердження.
Відносно Ферма достовірно відомо, що він довів "Велику теорему" при n = 4 на полях все тієї ж "Арифметики". І це єдине теоретико-числове доказ Ферма що дійшов до наших днів. Протягом 20 років Ферма уперто намагається привернути увагу математиків до "Великої теореми", пропонуючи окремі випадки в якості завдань. Випадок n = 3 він формулює в п'яти листах, причому в останньому листі (від серпня 1659 р.) пише, що довів теорему для n = 3 методом узвозу. Тим часом "Велику теорему" для загального випадку n> 2 Ферма сформулював тільки один раз у згаданому зауваженні на полях "Арифметики". Він не формулює її жодного разу ні в одному з листів. Він пропонує тільки окремі випадки (n = 3, 4), щодо яких впевнено говорить, що має в своєму розпорядженні доказом. Навіть у листі до де Каркаві від 1659 р., в якому Ферма перераховує свої основні досягнення, про "Великої теореми" у загальному вигляді немає ні слова. Це може означати тільки одне: Ферма виявив прогалини у своєму "справді дивовижному доказі", які так і не зміг усунути.
Зрозуміло, це не охолодило нащадків. Починаючи з кінця XVII ст. почалася небачена за своєю напруженості гонка за доказом "Великої теореми Ферма". Оманна простота формулювання теореми прирекла тисячі шанувальників математики на безплідні пошуки докази або спростування теореми. Більше ста років нікому з учених не вдавалося просунутися вперед навіть при розгляді окремих випадків конкретних значень показника n.
Перший серйозний результат був отриманий звичайно ж Ейлером (1768). Він показав, що випадок n = 4 унікальний. Це єдиний приватний варіант "Великої теореми", коли доказ має цілком елементарний характер. Вже при n = 3 виникають значні ускладнення. Настільки істотні, що з'являється привід в черговий раз сумніватися в чесності Ферма. Ейлер довів теорему для випадку n = 3, розглядаючи комплексні числа виду 
, де a, b - цілі числа. У XVII ст. подібна єресь не могла прийти в голову навіть Ферма.
Строго кажучи, доказ Ейлера було дефектним, оскільки він необгрунтовано переніс ряд властивостей звичайних чисел на числа виду 
. Зокрема він передбачав єдиність розкладу таких чисел на прості множники. Для усунення прогалин у доведенні Ейлера знадобилися принципово нові алгебраїчні абстракції: числові кільця і поля. Реалізацію цієї програми почав Гаус, якому належить перше абсолютно суворе доказ "Великої теореми Ферма" для n = 3.
Доказ для випадку n = 5 запропонували майже одночасно в атмосфері гострого суперництва два французи: Лежень-Діріхле і Лежандр (1825). Обидва докази були дуже складними. У 1839 р. теорема Ферма була доведена для наступного простого показника n = 7. Це вдалося завдяки титанічним зусиллям Ламі. Він же в 1847 р. оголосив, що довів теорему для всіх простих показників n> 3. Однак пильний Ліувіль відразу ж знайшов у міркуваннях Ламі помилку подібну до тієї, яку допустив Ейлер. Ламі був змушений визнати свою поразку.
Поки у Франції відбувалися ці події, в Німеччині молодий математик Куммер наполегливо займається теоремою Ферма. Повторивши всі помилки Ламі, він прийшов до поняття "ідеальних чисел", для яких розкладання на прості множники єдино. Узагальнення цього поняття призвело до створення запаморочливих абстрактних конструкцій, які сьогодні вивчаються в спеціальному розділі алгебри під назвою "Теорія ідеалів". Куммер, що присвятив теоремі кілька десятків років, наприкінці життя умів доводити "Велику теорему Ферма" для всіх простих показників n <100. У 1857 р. йому була вручена премія Французької академії наук у розмірі 3 тис. франків. Роботи Куммера остаточно поховали надії на можливість доведення теореми Ферма елементарними засобами. Стало ясно, що Ферма ніколи не мав і не міг мати докази теореми в загальному вигляді.
Після Куммера серйозних зрушень у доведенні теореми Ферма не відбувалося аж до 1929 р., коли Вандівер, використовуючи метод Куммера, отримав в явному вигляді якісь умови, що дозволяють перевіряти істинність теореми для будь-якого простого показника. З цього моменту доказ теореми для конкретного n звелося до чисто обчислювальним проблем, з якими легко справляються сучасні ЕОМ. В результаті до кінця сімдесятих років нашого століття "Велика теорема Ферма" була доведена для всіх n <100000. Це дуже велике число, але це ще не все n, а значить "Велика теорема Ферма" не доведена і не спростована.
"Верна або не вірна?" - так називався чудовий науково-популярний ігровий фільм, який промайнув на екранах телевізорів на початку сімдесятих. Сучасний яйцеголовий математик, розклавши на пульті ЕОМ старовинні фоліанти, чаклує над киплячій ретортою. Він вирішив звернутися до останнього засобу. Виголошена магічна формула, лунає вибух, і в хмарі диму з'являється інтелігентного вигляду диявол (його блискуче грає молодий Кайдановський). Помахуючи хвостом, нечистий чемно запитує, що завгодно клієнту в обмін на безсмертну душу. "Я хочу знати, вірна або не вірна теорема Ферма" - втомлено відповідальний математик. "Вибачте, хто кому не вірна?" - Перепитує ошелешений диявол. "Велика або Остання теорема Ферма. Це математичне твердження. Воно або справедливо, або помилково. Я повинен це дізнатися будь-яку ціну ". Диявол обережно цікавиться щодо більш традиційних побажань - земні блага, вічна молодість і все таке. Але математик вперто вимагає відповіді на проклятий питання. Диявол, приречено зітхаючи, погоджується вникнути в суть проблеми. Математик пускається в пояснення: "Рівняння Ферма може бути вирішено в цілих числах, якщо показник дорівнює двом. Наприклад, три в квадраті плюс чотири в квадраті дорівнює п'яти в квадраті. Але якщо показник дорівнює трьом ... "
"Чекайте, - перебиває його диявол. - Як Ви сказали? Три в квадраті плюс чотири в квадраті ... ", І диявол малює кінчиком хвоста:
Математик з подивом дивиться на посланця пекла. Диявол безнадійно відстав і не знає елементарної алгебри! Доведеться починати з самого начала. Через кілька хвилин диявол (а заодно і глядач) з'ясовує формулювання теореми і переймається її інтригуючою історією. Він повний оптимізму, йому не терпиться приступити до вирішення загадки: "Я всього лише повинен знайти три числа? Три звичайних числа, які задовольняють рівнянню пана Ферма для деякого показника, наприклад, для трьох ". "Так, цього достатньо, щоб відкинути теорему" - відповідає математик, але диявол уже пройшов. Через кілька хвилин він знову сидить у кріслі: "Я перебрав більйон чисел для тисячі показників, але потрібних цифр серед них не було" - заявляє він ображено. Математик посміхається: "Даремно старалися. Відомо, що теорема Ферма вірна для всіх показників не переважаючих 100000. Спробуйте довести теорему, використовуючи знання, накопичені людьми ". За годину диявол з'являється знову. Вигляд у нього самий заклопотаний. Він в окулярах, на ньому модна водолазка. "Так, Ви маєте рацію. Ця штучка жжет почище пекельного полум'я. - Говорить він задумливо - Я повністю опанував математичним аналізом, я вивчив теорію квадратичних відрахувань, ряди Діріхле, діофантови рівняння, дзета-функції, поля класів та багато іншого. І я знаю, що близький до мети. Я прийшов просити відстрочення ще на годину ". Він повертається лише пізно вночі, розбудивши задрімав математика. "Послухайте, - шепоче збуджено диявол, - а Ви пробували розглядати алгебраїчні криві в проективної площині інваріантні щодо біраціональних перетворень в Гаусдорфів топології. Шансів небагато, але ... ". "Дозвольте, - перебиває його математик, - хіба це можливо у випадку довільних полів". Диявол у відповідь розкриває науковий журнал: "Так Ви не бачили свіжої роботи Серра по когомологіям Вейля? Ось погляньте ". І вони, забувши про угоду, заглиблюються у формули, обмінюючись репліками на жутковато професійному жаргоні.
Кумедний фільм цілком точно помічає інфернальний характер спадщини Ферма. "Велика теорема" обернулася прокляттям для десятків, може бути сотень тисяч людей, що мали нещастя вникнути в її формулювання і заразитися бажанням випробувати свої сили. Вступили на цей шлях вже не слухалися ніяким доводів розуму. Ілюстрацією може служити анекдотична телеграма, яка прийшла до Президії АН СРСР: "Довів теорему Ферма. Основна ідея перенести ігрек енної в праву частину. Подробиці листом ".
Провідні математики всіх часів і народів неодноразово пояснювали, що елементарне доказ теореми Ферма по-перше не існує, а по-друге не буде мати ніякого значення для науки. Воно всього лише закриє проблему. Справжнє значення "Великої теореми" в тому, що при спробах її докази були виковані потужні засоби, що призвели до створення нових великих розділів математики.
Рух "ферматістов" прийняло неймовірний розмах, після того, як в 1908 р. німецький аматор математики Вольфскель заповідав 100000 марок тому, хто доведе теорему Ферма. Право присудження премії надавалося Гетінгенской академії Німеччини. Негайно тисячі людей стали бомбардувати наукові товариства та редакції журналів рукописами, нібито містять доказ "Великої теореми". Тільки в Геттінгенському математичне товариство за перші три роки після оголошення заповіту Під
