Математика в живих організмах

Кандидат біологічних наук М. БЕРКІНБЛІТ,

кандидат педагогічних наук Е. Глаголєва

Жива природа зробила безліч "Винаходів", які люди зрозуміли і змогли повторити лише при відповідному рівні розвитку науки і техніки. Наприклад, принцип ехолокації ефективно використовують і дельфіни, і летючі миші, а в техніці він з'явився тільки в XX столітті; пошук видобутку по інфрачервоному випромінюванню використовують багато видів змій, в той час як окуляри для нічного бачення створені лише недавно і т. д. До останнього часу існувало переконання, що природа не винайшла колеса, що тут техніка пішла своїм оригінальним шляхом. Але виявилося, що джгутики бактерій обертаються в спеціальних "підшипниках" і, отже, колесо теж "винайдено" природою ще на самих ранніх етапах еволюції. Існує спеціальна наука - біоніка, яка вивчає "патенти природи". Виявляється, що їх можна іноді використовувати і в "Людської" техніці.

Менш відомо, що в живих організмах відбуваються явища, які дозволяють вважати, що природі належить "пріоритет" та у створенні своєрідних ЕОМ - пристроїв, що виробляють операції, дуже подібні з математичними операціями, які ми схильні вважати досягненням людської науки. Схоже, що тут повторюється історія з винаходом колеса.

Про деякі таких операціях ми і розповімо в цій статті: про те як "вважають" нервові клітини, як "Логаріфмірует" око (і навіщо йому це знадобилося), як оперує з векторами і тригонометричними функціями мозок кішки і мавпи (і наш з вами теж). Можливо, хтось вирішить, що і вивчати ці речі не треба, коли це дано від природи. А, можливо, деякі - ми сподіваємося, що таких буде більше, -- захочуть дізнатися про математичної та біологічної бік справи.

Як вважають нейрони

Перше знайомство з математикою - Це рахунок: "Раз, два, три, чотири, п'ять, вийшов зайчик погулять". І самим здається простим і вважається натуральне число. Вже від'ємні числа дуже повільно входили в математику. З'явившись в ранньому середньовіччі у математиків Індії, вони лише в XIII-XIV століттях проникають у європейську науку, зустрічаючи там спочатку досить стримане, ставлення. Їх називають "помилковими", "абсурдними" числами. Але поступово негативні числа довели своє право на існування і стали звичними не тільки для фахівців - те, що було "на передньому краї науки "в середні століття, сьогодні спокійно сприймають п'ятикласники.

А от у живих організмах, виявляється "все навпаки": нервової клітці (нейрону) природно і просто здійснювати операції з позитивними і негативними дійсними "Числами", а для того щоб "вважати" навіть до двох, потрібна система з декількох нейронів - примітивний "мозок".

Як же працює нейрон? Як будь-яка клітина, нейрон відділений від зовнішньої міжклітинної середовища особливою оболонкою -- мембраною. Між внутрішнім вмістом клітини і зовнішнім середовищем існує різницю потенціалів. Якщо клітина знаходиться у спокої, різниця потенціалів на її мембрані не змінюється. Цю різницю потенціалів в спокої природно прийняти за нульовий рівень (подібно до того, як прийняли за нульову температуру танення льоду).

На нейрон можуть діяти інші нервові клітини - збуджують і гальмові. Сигнали, отримані від цих клітин, викликають зміни різниці потенціалів на мембрані у двох протилежних напрямках. Коли різні сигнали приходять до нейрону одночасно, вони складаються, причому, природно, з урахуванням знака, тобто нейрон підсумовує що приходять до нього позитивні і негативні сигнали; ця сума може бути позитивною або негативною.

Цікава особливість роботи нейрона полягає в тому, що на відміну від технічних суматори - від стародавнього абака до ЕОМ - отриману суму він "пам'ятає" недовго: якщо зовнішні впливи припинилися, то накопичена сума починає спадати за абсолютною величиною, щоб нейрон повернувся в стан спокою (потенціал на мембрані прагне до значенням, яке ми прийняли за нуль).

Така начебто "ненадійність" нейрона пов'язана з тим, що він призначений не для зберігання, а для передачі і перетворення інформації: отриманий сигнал нейрон передає іншим клітинам нервової мережі (клітин-"мішенях" або "адресатам"). За способом передачі сигналу існують два різних типу нейронів з різними принципами роботи: "аналогові" і "Порогові" нейрони.

Нейрон першого типу діє на клітини-мішені з силою, пропорційною накопиченої сумі, - але тільки в тому випадку, коли ця сума позитивна. Коли ж сума негативна, то вона далі не передається - нейрон загальмований. Правило перетворення сигналів аналоговими нейронами описується формулою , де х -- накопичений потенціал, у - величина переданого сигналу, ak - коефіцієнт пропорційності.

Нейрони другого типу працюють інакше. Такий нейрон "мовчить", поки сума впливів не досягне деякої певної позитивної величини - "порога". Тоді нейрон збуджується і посилає за своєю вихідною відростку - аксони - електричний імпульс (завжди однієї і тієї ж величини), який і діє на клітини-мішені. Після збудження нейрон деякий час "відпочиває" - мовчить, незалежно від того, діють на нього інші клітини чи ні, а потім, якщо до кінця відпочинку накопичена сума вище за поріг, посилає новий імпульс. В результаті в залежності від величини вхідного сигналу, його тривалість і в залежності від характеристик нейрона на виході виходить сигнал у вигляді серії імпульсів постійної величини, але різної частоти. Таким чином, граничні нейрони використовують зовсім нетривіальний принцип кодування інформації частотою сигналу.

Однак, як і безперервний вихідний сигнал нейронів аналогового типу, зміна частоти несе інформацію тільки про величину вхідного сигналу, змінюється безперервно. У той же час відомо, що тварини вміють рахувати (наприклад, видавати реакцію тільки на кожен третій стимул). Природно припустити, що в нервовій системі є пристрої, які по-різному реагують, наприклад, на двократне вплив і на одноразове. Те, що відомо про принципи роботи нейронів, дозволяє стверджувати: одиночної нервової клітці така "проста" з людської точки зору операція, як рахунок, не під силу. Брак місця не дозволяє нам описати пристрій з декількох нейронів, здатний видавати відповідь, наприклад, на кожен другий стимул.

Очі і логарифми

Зорові рецептори, так само, як і інші - слухові, температурні і т. д., отримують сигнали із зовнішнього світу; вони повинні передати зорову інформацію в мозок точно і своєчасно. Передача сигналів від ока до мозку здійснюється нейронами "порогового" типу -- аналоговий спосіб виявляється не застосовуються при передачі сигналів на досить великі відстані. А у порогових нейронів, як уже говорилося, всі імпульси абсолютно однакові, і відомості про величину вхідного сигналу ці нейрони передають змінюючи частоту імпульсації.

Тут виникає ось яка проблема. Освітленість у сутінках, коли предмети ледве видно, відрізняється від освітленості при яскравому сонячному світлі приблизно в мільярд (тобто 109) разів. Максимальна ж частота, з якою може працювати нейрон - 1000 імпульсів за секунду. Легко здогадатися, що не можна передавати інформацію, змінюючи частоту роботи нейрона пропорційно освітленості: якщо при яскравому світлі частота імпульсів буде максимальною (1000 імп/с), то при зменшенні освітленості в мільйон разів сигнал буде надходити лише один раз на 15 хвилин. Але за цей час він зовсім втратить свою актуальність!

Але може бути, розумно таке пристрій зорової системи, коли різні її елементи, різні нейрони працюють кожен у своєму діапазоні освітленості: одні в сутінки, інші в похмурий день, треті на яскравому сонці. Простий підрахунок показує, що якщо прийняти за нижню межу частоти роботи нейрона, необхідної для досить своєчасної передачі інформації, 1 імп/с, то для охоплення діапазону зміни освітленості в мільярд разів буде потрібно мільйон нейронів - і це без всякого "Запасу" міцності, без дублювання їх роботи! Але головне от що: у кожен момент буде працювати тільки одна клітина з мільйона, а решта 999 999 будуть "даром є хліб ": адже на відміну від технічних, живі" механізми "споживають енергію (свій "бензин") не тільки під час роботи. А економія енергії в живій природі -- одна з головних умов виживання.

Отже, лінійна залежність між вхідними і вихідними сигналами в разі очі виявляється недоцільною. І дійсно, в природі в цьому випадку використовується інша функція, з шкільних мірками досить складна.

Експериментально це було встановлено в 1932 році англійським вченим X. Харлайном. На малюнку 1 наведені результати його дослідження. Він реєстрував нервові імпульси, що йдуть по одиночному нервового волокна від ока до мозку, у Мечохвости (морського членистоногого, схожого на вимерлих трилобітів). На графіку показана залежність частоти імпульсації від яскравості світла.

"Але дозвольте! - Скажете ви .- На графіку пряма лінія - значить, це лінійна функція ". Не поспішайте, вдивіться в шкалу на горизонтальній осі, адже вона нерівномірна, нелінійна: при зсуві на одне поділ аргумент (яскравість) змінюється не на одну і ту ж величину, а в один і те ж число раз.

При лінійної залежності рівним прирощення аргументу відповідають рівні приросту функції, або, що те ж саме, лінійна залежність переводить арифметичну прогресію значень аргументу на арифметичну ж прогресію значень функції. Коли ми маємо справу з показовою функцією у = ах, то рівним приросту аргументу відповідає рівномірний відносний приріст функції. Наприклад, при постійних умовах проживання і необмежених ресурсах так зростає чисельність будь-якої популяції: число особин за кожний рік збільшується на 10%, тобто в 1,1 рази. Іншими словами, показова функція "переводить" арифметичну прогресію в геометричну. На нашому графіку ситуація зворотна: частота імпульсації нейрона змінюється на одну і ту ж величину, коли вплив змінюється в один і той же кількість разів. Значить, ми маємо справу з функцією, зворотного до показовою, тобто з логарифмічною; іншими словами, нейрони очі Мечохвости перетворюють геометричну прогресію подразнень в арифметичній прогресії сигналів.

Ця властивість зорових рецепторів, вироблені в ході еволюції, дозволяє оку працювати ефективно і економно, забезпечує можливість добре сприймати контраст. Нехай світлий і темний предмети розрізняються за здатністю відбивати світло в десять разів. Тоді і на яскравому сонці, і в сутінках світлий предмет буде відображати в десять разів більше світла, ніж темний. Тому порівняльна яскравість цих предметів не змінюється, не змінюється і відстань між відповідними точками на осі абсцис. А це означає, що різниця частот роботи рецепторів, на які падає світло від цих двох предметів, буде залишатися незмінною при різному освітленні. Так що "вміння логаріфміровать" дозволяє оці не тільки працювати в широкому діапазоні освітленостей, але і при малій освітленості розрізняти предмети, абсолютна різниця освітленостей яких дуже мала.

Цікаво, що описана залежність між зовнішнім сигналом (роздратуванням) і сигналом, більш прийнятною мозком (відчуттям), спочатку була виявлена психологами. Зробив це французький вчений П. Бугер ще в XVIII столітті. На початку XIX століття німецький фізіолог і психолог Е. Вебер детально вивчив зв'язок між роздратуванням і відчуттям. Він з'ясовував, як потрібно змінити якийсь подразник, щоб людина помітив це зміна. Виявилося, відношення зміни величини подразника до його первинним значенням є величина постійна:

, де I -- міра подразника, - приріст подразника, ak - константа Вебера.

Константа Вебера залежить від того, який рецептор дратується. Наприклад, при сприйнятті ваги k = 1/30. Це означає, що, коли людина тримає вантаж у 100 г, він помічає його зміна при збільшення ваги на 3,4 г, а для вантажу в 200 г потрібно збільшення у 6,7 р. Для висоти звуку константа Вебера дорівнює 0,003, для гучності звуку - 0,09 і т. д.

Виходячи з експериментів Вебера, інший німецький фізіолог і психолог Г. Фехнер сформулював знаменитий закон Вебера - Фехнера:

Відчуття ростуть в арифметичній прогресії, коли роздратування росте в геометричній прогресії.

Цей закон був опублікований в книзі Фехнера "Елементи психофізики" в 1859 році. Там же було приведено і математичний вираз закону:

,

де Е - міра відчуття, а і b -- константи, I - міра роздратування.

Навіщо кішці вектори?

Слово "вектор", можна сказати, зовсім "немовля" - мабуть, воно з'явилося вперше в роботі англійської математика У. Гамільтона в 1845 році. Але відповідне поняття використовувалося у фізиці ще за кілька століть до цього у зв'язку з розглядом закону додавання сил ( "правила паралелограма"). Про вектори ж в організмі тварин ми дізналися тільки в останні роки.

Почалося з кішок. У 1988 році канадський вчений Дж. Макферсон виконала цікаву роботу. Вона ставила кішку на спеціальну платформу, штовхала цю платформу в якому-небудь напрямку і дивилася, яким чином кішка зберігає рівновагу. Припустимо, вона штовхнула платформу вперед. Ноги кішки разом з платформою почали йти вперед, а тіло залишається на місці. Тоді кішка, щоб повернути центр ваги в правильне положення над точками опори активує м'язи лап і, відштовхуючись від платформи, рухає тіло вперед. Якщо платформу штовхнути вправо, центр ваги відхилився вліво по відношенню до опори і лапи повинні створити силу, спрямовану праворуч, і т.д.

Як же відбувається ця робота лап при збереженні рівноваги

Саме природне - це припустити, що кожна з двох задніх лап при поштовху вперед створює силу, спрямовану вперед; сума цих двох сил і відновлює правильне положення тіла (рис. 2, а). Якщо платформу штовхнули вправо, кожна лапа створює силу, спрямовану праворуч, і т.д. Така гіпотеза узгоджується з тим, що у кішки є могутні м'язи, які рухають лапу вперед або назад - вони використовуються для ходьби та стрибків, а також м'язи, що відводять лапу назовні або у напрямку до осі тіла. Однак, коли Макферсон стала з'ясовувати, що відбувається насправді, виявилося, що картина зовсім інша: при поштовху платформи, незалежно від напрямку руху, задні лапи кішки створюють сили, спрямовані вздовж двох прямих (кожна лапа - уздовж своєї), розташованих приблизно під кутом 45 ° до осі тіла. Навіть у найпростішому випадку, коли платформу штовхають прямо вперед, сили, створювані лапами, спрямовані не вперед, а також під кутом 45 ° до осі тіла (знову див. рис. 2, а). І тільки їх сума має потрібний напрямок і величину. На малюнку 2, б показано, як виходить сила, спрямована перпендикулярно тілу, а на малюнку 2, у - сила, спрямована під кутом 30 ° до осі тіла. вирішує наступне завдання. При поштовху платформи з інформації, отриманої від різних рецепторів, визначається, який вектор (силу) потрібно отримати, потім цей вектор розкладається за фіксованими осях координат. При такому способі виходить, що кожній з двох задніх лап потрібно передати всього одне число -- координату вектора сили (позитивну або негативну), яку повинна створити ця лапа уздовж своєї фіксованої осі.

Виходить дуже економна схема. Але життя так повна несподіванок! Розбираючись в тому, якими м'язами твориться це фіксоване напрямок (здавалося б, чого простіше: використовувати для одиничного вектора одного напрямку м'язи, рушійні ногу вперед і всередину, а для створення іншого - тому і назовні, а далі змінювати пропорційно силу, що розвивається цими м'язами, - "множити на число", і все в порядку), Макферсон отримала ще один несподіваний результат. Виявилося, що в створення "одиничного" вектора можуть брати участь різні м'язи, їх?? очетаніе змінюється в залежності від напрямку поштовху. У чому сенс такого, з нашої точки зору, ускладненого рішення, ще з'ясовувати і з'ясовувати. Однак тут виявляється загальний принцип живого: уникати жорстких схем, мати завжди надлишок "ступенів свободи ", словом, плюралізм.

Вектори у мозку мавпи і людини

Труднощі у з'ясуванні питання про те, як насправді відбувається рішення того чи іншого завдання, пов'язані з тим, що зазирнути до "керуючий центр" - у мозок - дуже важко. У цьому сенсі мозок поки що багато в чому "чорний ящик": можна бачити, яке завдання йому запропонована, можна бачити, який він видає результат, - а ось що відбувається усередині, про це відомостей ще дуже і дуже мало.

Тим більше цікава й важлива робота, яка дозволила майже безпосередньо побачити, як йде робота мозкових нейронів при вирішенні деяких завдань. Цю роботу зовсім недавно виконав американський вчений А. Георгопулос. Він експериментував з дресированими мавпами. Лапа мавпи містилася в деякій точці столу, а в різних точках столу містилися електричні лампочки. Мавпу навчили при спалаху якої-небудь лампочки рухати лапу у напрямку до цієї лампочки. В цей час експериментатор реєстрував за допомогою імплантації електродів активність (частоту імпульсації) нервових клітин кори великих півкуль у тій її зоні, яка керує рухами цієї лапи.

Виявилося, що активність більшості клітин цієї зони мозку залежить від напрямку руху лапи, і ця залежність досить чітка: для кожної з клітин існує таке напрямок руху, при якому активність максимальна; при інших напрямках активність зменшується приблизно як косинус кута між даними напрямком максимальної активності. Для тих напрямів, для яких косинус негативний, клітина взагалі перестає імпульсіровать.

Виходить, що з кожною клітиною кори пов'язаний певний вектор максимальної активності Аmax (рис. 3). Коли потрібно рухати лапу по іншому напрямку, тобто задано деякий одиничний вектор напрямку e, клітина знаходить проекцію Аmax на це напрямок, тобто "обчислює" скалярний добуток Аmax.е. З'ясувавши це, Георгопулос поставив зворотну задачу: чи не можна, реєструючи роботу нервових клітин, визначити напрямок руху лапи. Математично ця завдання може бути сформульована як питання про існування функції, зворотного до заданої. Ясно, що за активністю однієї клітини напрямок руху визначити не можна: по-перше, косинус - парна функція, і в тому проміжку, який нас цікавить, не має зворотної. Дійсно, якщо, наприклад, напрямок максимальної активності - це прямо вперед, а активність нейрона становить половину максимальної, то відомо, що лапа рухається під кутом 60 ° до переважного напрямку, але праворуч або ліворуч від нього - визначити неможливо. По-друге, у однієї клітини занадто велика "мертва зона" - зона, коли вона взагалі мовчить. Але якщо реєструвати декілька клітин, то можна успішно визначити напрямок, у якому рухається лапа (і навіть передбачити, в якому напрямку вона буде рухатися, тому що клітини починають працювати за десяту частку секунди до того, як лапа починає рухатися). Представляємо читачеві самостійно вирішити таку завдання: Яке мінімальне число клітин потрібно для того, щоб впевнено визначати напрямок руху у всіх випадках? (Звичайно, ми даємо це завдання, так би мовити, в математичній формулюванні, яка, як завжди, спрощує ситуацію - як і ми її спрощуємо в нашому оповіданні.)

Те, що по активності нейронів можна не тільки встановити, куди рухається лапа, а й передбачити, куди мавпа ще тільки збирається рухати її, тобто як би підглянути думка про рух, дозволило Георгопулосу зробити ще одну, дуже гарну роботу.

Ще в 1971 році американські психологи Р. Шепард і Дж. Метцлер виявили явище, яке вони назвали "Уявним обертанням". В експериментах піддослідним показували дві фігури і питали: це різні фігури або одна й та сама, але повернена на деякий кут? Час відповіді виявилося лінійною функцією величини кута повороту одного фігури щодо іншої.

В іншому варіанті експерименту поперемінно показували букву R чи її дзеркальне відображення - букву Я; треба швидко визначити, яка це літера. При цьому букву показували в різних положеннях. І тут час відповіді було пропорційно куті повороту букви щодо "нормального" положення.

Вчені припустили, що людина в такому експерименті подумки обертає образ сприймається фігури (а по ряду психологічних експериментів, швидше, еталон фігури, що зберігається в пам'яті) з постійною кутовою швидкістю і навіть визначили цю швидкість. Вийшло 450o/с. Однак такими експериментами неможливо довести гіпотезу "уявного обертання ", тому що залишається невідомим, що ж відбувається насправді в головах випробуваних.

Георгопулос, знайшовши можливість "Підглядати" за роботою нейронів мозку мавпи, отримав в 1989 році дані, які роблять гіпотезу про уявному обертанні більш обгрунтованою.

Тепер мавпу навчили тягнути лапу не до тієї лампочки, що горить, а до тієї, яка знаходиться під кутом 90 ° до неї. Експериментатори змогли дізнатися, що відбувається в мозку мавпи від моменту, коли запалала лампа, до початку руху лапи. Виявилося, що після спалаху вектор спрямований прямо на лампочку, потім починає обертатися і, коли повернеться на 90 °, починається рух лапи. Швидкість обертання вектора виявилася рівною приблизно 730 °/с, тобто була того ж порядку, що і в психологічних дослідах з людиною.

Таким чином, як показують ці експерименти, мозок може виробляти і геометричні перетворення (на Насправді, не тільки повороти, але, мабуть, і багато інших, наприклад перетворення подібності).

Зробимо ще один натяк на математичні здібності мозку. Зараз бурхливо розвивається паралельне програмування. Але коли людина бере предмет, він одночасно керує роботою і плеча, і лікті, і пальців, здійснюючи справжнісіньке паралельне програмування.

Висновок

Отже, в живих організмах йдуть процеси переробки, передачі інформації та використання її в цілях управління. Еволюція поступово знаходить вдалі форми обробки інформації, і ці форми мають чималу схожість з математичними операціями. Такі хитрощі еволюції ми і назвали "математикою в живих організмах".

Це дійсно ЕОМ, тому що дії цих пристроїв засновані на електричних явища в організмі.

Як виникають ці зрушення потенціалу, ви можете прочитати в книзі "Електрика в живих організмах "(" Бібліотечка "Квант" випуск 69).

До речі, у Мечохвости немає зіниці, і, отже, немає діафрагми. Втім, навіть урахування ефекту діафрагми не рятує положення, змінюючи освітленість всього на 1-2 порядки.

З'ясувалося, що при відновлення положення центру ваги у кішки передні лапи використовуються як пасивні підпірки. Активно працюють саме задні лапи.

Пропорційність частоти роботи нервових клітин косинус того чи іншого кута була відома і до роботи Георгопулоса. Наприклад, ще в 1981 році в стовбурі мозку були виявлені нейрони, пов'язані зі "стрибками" очей: їхня активність змінювалася залежно від напрямки стрибка очі за законом косінуса.

Список літератури

Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту http://www.promeco.h1.ru/l