1. Взаємозв'язок Fn і Rn можна представити у вигляді графіка (рис. 1).
Таким чином, у разі щорічного нарахування відсотків для обличчя,що надає кредит: більш вигідною є схема простих відсотків, якщо термін позики меншеодного року, (відсотки нараховуються одноразово в кінці періоду); більш вигідною є схема складних відсотків, якщо термін позикиперевищує один рік (відсотки нараховуються щорічно); обидві схеми дають однакові результати при тривалості періоду 1 рікі одноразовому нарахуванні відсотків.
Рис. 1. Проста і складна схеми нарощення капіталу
Використання в розрахунках складного відсотка у випадку багаторазового йогонарахування більш логічно, оскільки в цьому випадку капітал, що генеруєдоходи, постійно зростає. Призастосуванні простого відсотка доходи в міру їх нарахування доцільнознімати для споживання або використання в інших інвестиційних проектахабо поточної діяльності.
Формула складних відсотків є однією з базових формул у фінансовихобчисленнях, тому для зручності користування значення множника FMl (r,n), званого мультіпліцірующім множником і забезпечує нарощеннявартості, табульованого для різних значень р і n. Тоді формулаалгоритму нарощення за схемою складних відсотків переписується наступнимтак:
Fn = P • FMl (r, n),
(2) де FMl (r, n) = (1 + г) - мультіпліцірующій множник.
Економічний сенс множника FMl (r, n) полягає в наступному: вінпоказує, чому дорівнює одна грошова одиниця (один рубль, одиндолар, одна єна і т.п.) через n періодів при заданій процентній ставцір.
У практичних розрахунках для наочної і швидкої оцінки ефективностіпропонованої ставки нарощення при реалізації схеми складних відсотківкористуються приблизними розрахунком часу, необхідного для подвоєнняінвестованої суми, відомим як «правило 72-х». Це правилополягає в наступному: якщо г - процентна ставка, виражена ввідсотках, то k = 72/r являє собою число періодів, за якепочаткова сума приблизно подвоїться. Це правило добре спрацьовує дляневеликих значень г (до 20%). Так, якщо річна ставка г = 12%, то k = 6років. Мова йде про періоди нарахування відсотків і відповідної даномуперіоду ставкою, а саме, якщо базовим періодом, тобто періодом нарощення,є квартал, то в розрахунку повинна використовуватися квартальна ставка.
Схема простих відсотків використовується в практиці банківських розрахунківпри нарахуванні відсотків по короткострокових позиках з терміном погашення доодного року. У цьому випадку в якості показника n береться величина,характеризує питома вага довжини підперіоди (дні, місяць, квартал,півріччя) у загальному періоді (рік). Довжина різних часових інтервалів врозрахунках може заокруглюватимуть: місяць - 30 днів; квартал - 90 днів; півріччя -
180 днів; рік - 360 (або 365) днів.
На практиці багато фінансові операції виконуються в рамках одногороку, при цьому можуть використовуватися різні схеми і методи нарахуваннявідсотків. Зокрема, велике поширення мають короткострокові позики,тобто позики, що надаються на термін до одного року з одноразовимнарахуванням відсотків. У цьому разі для кредитора, диктує найчастішеумови фінансового контракту, більш вигідна схема простих відсотків, прице в розрахунках використовують проміжну процентну ставку, яка дорівнюєчастці річної ставки, пропорційної частці тимчасового інтервалу на рік.
F = Р • (1 + F • r), або F = Р • (1 + t/T • r), < p> (3)де г - річна процентна ставка в частках одиниці; t - тривалість фінансової операції в днях;
Т - кількість днів у році; f - відносна довжина періоду до погашення позики.
При визначенні тривалості фінансової операції прийнято день видачіі день погашення позики вважати за один день. Залежно від того, чомубереться рівною тривалість року (кварталу, місяця), розмірпроміжної процентної ставки може бути різним. Можливі дваваріанти: точний відсоток, який визначається виходячи з точного числа днів у році (365 або
366), у кварталі (від 89 до 92), у місяці (від 28 до 31); звичайний відсоток, який визначається виходячи з наближеного числа днів уроці, кварталі і місяці (відповідно 360, 90, 30).
При визначенні тривалості періоду, на який видана позичка,також можливі два варіанти: береться до уваги точне число днів позики (розрахунок ведеться по днях); береться до уваги приблизне число днів позики (виходячи зтривалості місяця в 30 днів). Для спрощення процедури розрахункуточного числа днів користуються спеціальними таблицями (один для звичайногороку, другу для високосного), в яких всі дні в році послідовнопронумеровані. Тривалість фінансової операції визначаєтьсявирахуванням номера першого дня з номера останнього дня.
У випадку, коли в розрахунках використовується точний відсоток, береться іточна величина тривалості фінансової операції; при використаннізвичайного відсотка може застосовуватися як точне, так і наближенечисло днів позики. Таким чином, розрахунок може виконуватися одним з трьохспособів: звичайний відсоток з точним числом днів (застосовується в Бельгії,
Франції); звичайний відсоток з наближеним числом днів (ФРН, Данія, Швеція); точний відсоток з точним числом днів (Великобританія, США).
У практичному сенсі ефект від вибору того чи іншого способу залежитьвід значущості суми, що фігурує в процесі фінансової операції.
Інший досить розповсюдженою операцією короткострокового характеру, дляоцінки якої використовуються розглянуті формули, є операція пообліку векселів банком. У цьому випадку користуються дисконтною ставкою. Одна зпричин полягає в тому, що векселі можуть оформлятися по-різному, однак частішевсього банку доводиться мати справу з сумою до погашення, тобто з величиною
FV. Схема дій у цьому випадку може бути наступною. Власник векселя насуму FV пред'являє вексель банку, який погоджується його врахувати, тобтокупити, утримуючи на свою користь частину вексельної суми, що нерідкотакож називається дисконтом. У цьому випадку банк пропонує власникові суму
(PV), яке обчислюється виходячи з оголошеною банком ставки дисконтування (d).
Очевидно, що чим вище значення дисконтної ставки, тим більшу сумубанк утримує на свою користь. Розрахунок що надається банком суми ведетьсяза формулою:
PV == FV • (1-f • d), або PV = FV (1-t/T • d), (4)
де f -- відносна довжина періоду до погашення позики (операціямає сенс, коли число в дужках НЕ негативно).
2. Консолідація заборгованості.
У практиці нерідко виникають випадки, коли необхідно замінити однезобов'язання іншим, наприклад з більш віддаленим строком платежу, достроковопогасити заборгованість, об'єднати декілька платежів в один
(консолідувати платежі) і т.п. У таких ситуаціях неминуче виникаєпитання про принцип, на якому має базуватися зміна контракту.
Таким загальноприйнятим принципом є фінансова еквівалентністьзобов'язань яка передбачає незмінність фінансових відносин сторіндо і після зміни контракту.
еквівалентними вважаються такі платежі, які, будучи "наведені" доодного моменту часу, виявляються рівними. Приведення здійснюєтьсяшляхом дисконтування до більш ранньої дати чи, навпаки, нарощення сумиплатежу (якщо ця дата відноситься до майбутнього). Якщо при зміні умовпринцип фінансової еквівалентності не дотримується, то одна з беруть участьсторін терпить збиток, розмір якого можна наперед визначити. По суті,принцип еквівалентності випливає з формул нарощення і дисконтування,зв'язують величини Р (початкова сума боргу) і S (нарощена сума,або сума в кінці строку), Сума Р еквівалентна S при прийнятій процентноїставкою і метод її нарахування. Дві суми грошей S1 та S2, що сплачуються врізні моменти часу, вважаються еквівалентними, якщо їх сучасні (абонарощені) величини, розраховані по одній і тій же процентною ставкою і наодин момент часу, однакові. Заміна S1 на S2 в цих умовах формальноне змінює відносини сторін.
Порівняння платежів припускає використання певної процентноїставки, і, отже, результат залежить від вибору її величини. Однак,що практично дуже важливо, така залежність не така жорстка, як цеможе здатися на перший погляд. Допустимо, що порівнюються два платежі
S1 та S2 термінами n1 і n2, вимірюваними від одного моменту часу, причому S1
(S2 і n1 (n2. Їх сучасні вартості Р1 і Р2 в залежності від розмірупроцентної ставки показані на рис. 3.1.
З ростом i величина Р зменшується, причому при i = i0 спостерігаєтьсярівність Р1 = Р2. Для будь-якої ставки i (i0 Р1 (Р2. У свою чергу, при i (i0 Р1 (Р2.. Таким чином, результат порівняння залежить відкритичного (бар'єрного) розміру ставки, рівного i0. Визначимо величинуцієї ставки. На основі рівності сучасних вартостей порівнюванихплатежів
S1 S2
1 + n1 i0 1 + n2 i0
Знаходимо
(1)
рис. 1.
З формули (1) випливає, що чим більше розходження в термінах, тим більшевеличина i0 при всіх інших рівних умовах. Зростання відносини S1/S2 надаєпротилежний вплив.
Якщо дисконтування проводиться за складною ставкою, то критичнуставку знайдемо з рівності
S1 (1 + i0) = S2 (1 + i0)
Отримаємо:
(2)
Принцип еквівалентності застосовується при різних змінах умоввиплат грошових сум.
Загальний метод вирішення подібного роду завдань полягає у розробці такзваного рівняння еквівалентності, в якому сума замінних платежів,приведених до будь-якого моменту часу, прирівнюється до суми платежівза новим зобов'язанням, приведених до тієї ж дати. Для короткостроковихзобов'язань приведення здійснюється звичайно на основі простих ставок, длясередньо-і довгострокових - за допомогою складних ставок. Зауважимо, що в простихвипадках часто можна обійтися без спеціальної розробки та рішення рівнянняеквівалентності.
Одним з поширених випадків зміни умови єконсолідація (об'єднання) платежів. Нехай платежі S1, S2, ..., Sm з термінамиn1, n2, ..., nm заміняються одним у сумі So і терміном n0. У цьому випадкуможливі дві постановки задачі: якщо задається термін n0, то знаходиться сума
So, і навпаки, якщо задана сума консолідованого платежу So, товизначається термін n0.
При визначенні суми консолідованого платежу рівнянняеквівалентності має простий вигляд. У загальному випадку, коли n1 (n2, (... (. Nm,причому n1 (n0 (nm, знаходимо шукану величину як суму нарощених ідисконтованих платежів. При застосуванні простих процентних ставокотримаємо:
(3)
де Sj - розміри об'єднуються платежів з термінами ni (n0;
Sk - розміри платежів з термінами nk (n0;
В окремому випадку, коли n0 (nm
(4)
При об'єднанні зобов'язань можна застосувати і облікові ставки. У цьомувипадку за умови, що всі терміни виплат пролонгуються, тобто n0 (nj,знаходимо суму нарощених за обліковою ставкою платежів:
So = (Sj (1 - tj d)
У загальному випадку маємо
So = (Sj (1 -- tj d) + (Sk (1 - tk d)
Тут tj, tk мають таке ж значення, що й вище.
консолідацію платежів можна здійснити і на основі складних ставок. < br>Замість формули (3) отримаємо для загального випадку
(n1 So = (Sj (1 + t) + (Sk (1 + i)
(5)
Якщо при об'єднанні платежів задана величина консолідованогоплатежу So, то виникає проблема визначення його терміну n0. У цьому випадкурівняння еквівалентності зручно представити у вигляді рівності сучаснихвартостей відповідних платежів.
При застосуванні простої ставки це рівність має вигляд:
So (1 + n0i) = (Sj (1 + nj i)
Звідси
(6)
Очевидно, що рішення може бути отримано за умови, що Sо
((Sj (1 + nj i)
Інакше кажучи, розмір замінює платежу повинен бути більше сумисучасних вартостей замінних платежів. Бажаємий термін пропорційнийвеличиною консолідованого платежу.
При консолідації платежів на основі складних процентних ставокрівняння еквівалентності буде наступним:
So (1 + i) = (Sj (1 + i)
Для спрощення подальшої запису можна прийняти:
Q = (Sj (1 + i)
Тоді
(7)
Рішення існує, якщо дотримано умову So> Q. Для приватноговипадку, коли Sо = (Sj при визначенні терміну консолідуючого платежузамість формули (7) іноді застосовують середній зважений термін:
(8)
Привабливість цієї формули, крім її простоти, полягає в тому, що вона не вимагає завдання рівня процентної ставки. Вона дає наближений результат, який більше точного. Чим вища ставка i, тим більше похибка рішення за формулою (8).
Список літератури
1. Ковальов В.В. Фінансовий аналіз: Управління капіталом. Вибір інвестицій. Аналіз звітності. - М.: Фінанси і статистика, 1997. -512 С.
2. Малихін В.І. Фінансова математика.: Учеб. сел. для вузів. - М.:
ЮНИТИ - ДАНА, 1999 .- 247 с.
3. Четиркина Е.М. Методи фінансових і комерційних розрахунків. - 2-е изд., Испр. і доп. - М.: «Дело Лтд», 1995.
