Формування оптимального портфеля цінних паперів
Завдання 1. Формування оптимального портфеля цінних паперів за моделлю
Марковіца
Мета роботи: отримати практичні навички та вміння формування портфелів цінних паперів.
Порядок виконання завдання
1. Розрахувати за формулами (3-4) параметри математичної моделі (2).
2. Скласти математичну модель оптимального портфеля (2) за критерієм мінімального ризику.
3. Вирішити завдання і визначити частки капіталу на покупку цінних паперів кожного виду.
4. Скласти математичну модель оптимального портфеля за критерієм максимальної прибутковості і заданого ризику
5. Вирішити задачу.
Короткі теоретичні відомості.
На фінансовому ринку звертається, як правило, декілька типів цінних паперів: державні цінні папери, муніципальні облігації, корпоративні акції і т.п. Якщо в учасника ринку є вільні гроші, то їх можна віднести в банк і одержувати відсотки або придбати на них цінні папери і отримувати додатковий дохід. Але в який банк віднести? Які цінні папери купити? Цінні папери з низькими ризиками, як правило, і малоприбуткових, високоприбуткові, як правило, більш ризиковані. Економічна наука може дати деякі рекомендації для вирішення цього питання.
Постановка задачі про оптимальний портфелі Марковіца
Розглянемо загальну задачу розподілу капіталу, який учасник ринку хоче витратити на придбання цінних паперів. Мета інвестора - вкласти гроші так, щоб зберегти свій капітал, а при можливості і наростити його.
Набір цінних паперів, що знаходяться в учасника ринку, називається його портфелем. Вартість портфеля - це сумарна вартість всіх складових його паперів. Якщо сьогодні його вартість є Р, а через рік вона виявиться рівною Р /, то (Р/- Р)/Р природно назвати прибутковістю портфеля у відсотках річних. Тобто прибутковість портфеля - це дохідність на одиницю його вартості.
Нехай xi - частка капіталу, витрачена на покупку цінних паперів i-го виду. Весь виділений капітал приймається за одиницю. Нехай di-дохідність у відсотках річних паперів i-го виду в розрахунку на одну грошову одиницю.
Знайдемо прибутковість всього портфеля dp. З одного боку, через рік капітал портфеля буде дорівнює 1 + dp, з іншого - вартість паперів i-го виду збільшиться з х до хi + dixi, так що сумарна вартість портфеля буде
+ = 1 + xidi. Прирівнюючи обидва вирази для вартості портфеля, отримуємо
1 + dp = 1 + xidi. dp = xidi (1)
Отже, завдання збільшення капіталу портфеля еквівалентна аналогічної задачі про прибутковості портфеля, вираженої через прибутковості паперів та їх частки формулою (1).
Як правило, дохідність коливається в часі, так що будемо вважати її випадковою величиною. Нехай mi, i - середня очікувана прибутковість і середнє квадратичне відхилення (СКП) цієї випадкової дохідності, тобто
mi = M - математичне очікування дохідності і ri =, де Vii - дисперсія i - й прибутковості. Будемо називати mi, ri відповідно ефективністю та ризиком i - й цінного паперу. Через Vij позначимо коваріації дохідності цінних паперів i - го та j - го видів (або кореляціонний момент Кij).
Так як прибутковість складових портфель цінних паперів випадкова, то і прибутковість портфеля є також випадкова величина. Математичне очікування дохідності портфеля є M = x1M + ... + xnM =, позначимо його через mp. Дисперсія прибутковості портфеля є D =
. Так само, як і для цінних паперів назвемо mp-ефективністю портфеля, а величину p = - ризиком портфеля rp. Зазвичай дисперсія дохідності портфеля позначається Vp.
Кожен власник портфеля цінних паперів стикається з дилемою: хочеться мати ефективність більше, а ризик менше. Однак оскільки
"не можна зловити двох зайців відразу", необхідно зробити певний вибір між ефективністю і ризиком (цей вибір, у кінцевому рахунку, визначається ставленням ОПР до ефективності й ризику).
Модель оптимального портфеля Марковіца, яка забезпечує мінімальний ризик і задану прибутковість має вигляд:
(2)
Необхідно визначити: x1, x2 ... xn
Оптимальний портфель Марковіца максимальної прибутковості і заданого,
(прийнятного) ризику rp можна представити у вигляді:
(3)
Основні розрахункові формули для обчислення роботи
Вихідні дані для розрахунку є таблиця дохідності цінних паперів:
| 1 | 2 | ... | i | ... | j | ... | n-1 | n |
| | | | Di1 | | dj1 | | | |
| | | | Di2 | | dj2 | | | |
| | | | ... | | ... | | | |
| | | | Dik | | djk | | | |
| | | | ... | | ... | | | |
| | | | Din | | djn | | | |
Середнє арифметичне прибутковості i - ой цінного папера розраховується за формулою: di (4)
Kоваріація або кореляційний момент дохідності цінних паперів:
Vij = M (5), де і - відхилення доходностей i-й і j-й паперів від середньої арифметичної прибутковості.
Розглянуті моделі відносяться до моделей нелінійного програмування.
Для вирішення слід застосувати метод сполучених градієнтів або метод
Ньютона. При рішенні рекомендується використовувати табличний процесор Excel і його надбудови Аналіз даних і Пакет аналізу.
Варіанти завдань:
Види цінних паперів та їх прибутковості
| Варіано | Акції | Акції | Акції | Акції | Акції | Акції | mp | rp |
| т | типу 1 | 2 типу | типу 3 | типу 4 | типу 5 | типу 6 | | |
| 1 | 11,954 | 13,907 | 14,263 | 14,611 | 13,491 | 12,424 | 13 | 0,0 |
| | | | | | | | | 88 |
| | 11,913 | 12,074 | 11,960 | 15,207 | 13,367 | 14,318 | | |
| | 11,572 | 12,654 | 14,203 | 11,762 | 13,568 | 14,922 | | |
| | 12,591 | 12,880 | 13,333 | 13,217 | 14,256 | 15,677 | | |
| | 11,638 | 12,269 | 12,537 | 13,624 | 13,694 | 13,718 | | |
| | 12,536 | 13,659 | 13,864 | 12,909 | 12,687 | 14,753 | | |
| 2 | 11,820 | 13,783 | 12,361 | 14,612 | 12,084 | 13,537 | 12,5 | 1 |
| | 11,806 | 11,931 | 12,132 | 13,444 | 13,332 | 15,209 | | |
| | 13,376 | 13,424 | 14,519 | 14,817 | 13,918 | 16,153 | | |
| | 12,175 | 12,381 | 14,647 | 13,911 | 13,596 | 14,714 | | |
| | 10,139 | 12,112 | 11,820 | 10,399 | 11,604 | 13,345 | | |
| | 11,786 | 13,505 | 13,440 | 14,856 | 12,688 | 13,533 | | |
| 3 | 11,574 | 12,955 | 14,174 | 14,016 | 13,100 | 13,394 | 13,3 | 0,2 |
| | 12,602 | 13,421 | 14,663 | 15,042 | 13,572 | 15,713 | | |
| | 12,012 | 12,654 | 12,996 | 13,896 | 13,463 | 12,148 | | |
| | 12,245 | 13,043 | 14,517 | 15,338 | 14,976 | 14,063 | | |
| | 12,502 | 13,879 | 13,744 | 14,726 | 13,145 | 12,669 | | |
| | 12,976 | 13,482 | 14,434 | 15,594 | 15,467 | 14,364 | | |
| 4 | 14,162 | 15,191 | 16,511 | 15,118 | 14,409 | 17,416 | 14 | 0,7 |
| | | | | | | | | 7 |
| | 12,522 | 12,995 | 15,415 | 15,263 | 14,700 | 13,072 | | |
| | 13,123 | 15,042 | 13,177 | 16,430 | 14,913 | 14,860 | | |
| | 12,043 | 12,570 | 14,005 | 14,864 | 12,917 | 12,820 | | |
| | 11,472 | 12,600 | 11,845 | 12,878 | 14,097 | 14,554 | | |
| | 12,441 | 13,296 | 13,139 | 15,486 | 12,849 | 14,172 | | |
| 5 | 11,265 | 12,891 | 11,612 | 12,845 | 11,401 | 13,668 | 12,8 | 2 |
| | 12,131 | 12,365 | 12,890 | 12,283 | 13,833 | 15,160 | | |
| | 14,480 | 15,143 | 17,277 | 15,657 | 14,960 | 15,963 | | |
| | 12,572 | 13,837 | 12,596 | 13,157 | 15,296 | 16,424 | | |
| | 10,865 | 12,623 | 11,558 | 14,056 | 10,873 | 14,489 | | |
| | 11,962 | 12,287 | 13,799 | 12,841 | 13,769 | 15,677 | | |
| 6 | 10,908 | 11,940 | 12,719 | 11,464 | 12,486 | 11,458 | 13,123 | 3,2 |
| | | | | | | | | 3 |
| | 9,766 | 9,842 | 10,987 | 10,843 | 12,003 | 13,471 | | |
| | 11,702 | 12,463 | 13,454 | 12,725 | 13,619 | 13,226 | | |
| | 11,472 | 12,097 | 12,784 | 12,302 | 14,188 | 12,603 | | |
| | 13,503 | 13,740 | 13,848 | 14,758 | 15,457 | 13,570 | | |
| | 15,456 | 16,452 | 16,450 | 17,013 | 17,052 | 17,229 | | |
| 7 | 10,161 | 12,144 | 10,537 | 13,397 | 10,223 | 12,266 | 12 | 1,2 |
| | 11,492 | 12,945 | 11,892 | 12,298 | 12,097 | 11,582 | | |
| | 12,428 | 12,895 | 15,227 | 13,407 | 14,462 | 14,330 | | |
| | 12,416 | 13,050 | 14,567 | 15,240 | 13,731 | 13,284 | | |
| | 10,813 | 12,380 | 12,008 | 14,134 | 10,968 | 11,675 | | |
| | 13,388 | 14,643 | 15,659 | 16,734 | 15,631 | 16,916 | | |
| 8 | 9,889 | 11,603 | 11,612 | 12,721 | 11,453 | 12,102 | 13,25 | 2 |
| | 12,517 | 13,256 | 12,947 | 12,596 | 12,853 | 13,036 | | |
| | 12,786 | 12,822 | 15,447 | 14,452 | 15,143 | 16,247 | | |
| | 11,863 | 12,114 | 13,359 | 13,437 | 11,913 | 15,300 | | |
| | 11,444 | 13,292 | 13,703 | 11,504 | 13,406 | 15,255 | | |
| | 14,696 | 15,946 | 16,829 | 17,698 | 16,051 | 17,140 | | |
| 9 | 11,999 | 13,995 | 13,415 | 12,868 | 12,339 | 13,682 | 13,333 | 0,0 |
| | | | | | | | | 8 |
| | 12,241 | 12,793 | 14,227 | 13,426 | 12,656 | 15,808 | | |
| | 12,120 | 13,933 | 14,592 | 13,354 | 12,278 | 14,786 | | |
| | 11,506 | 13,401 | 12,193 | 13,845 | 12,406 | 13,317 | | |
| | 12,376 | 13,710 | 15,068 | 13,133 | 12,707 | 14,716 | | |
| | 12,148 | 13,970 | 15,119 | 12,886 | 14,518 | 13,300 | | |
| 10 | 11,293 | 11,493 | 13,753 | 12,936 | 12,881 | 13,820 | 12 | 0,3 |
| | 12,112 | 12,919 | 12,415 | 14,048 | 14,770 | 14,310 | | |
| | 11,429 | 13,098 | 14,277 | 14,551 | 11,639 | 13,524 | | |
| | 10,526 | 11,988 | 11,705 | 12,466 | 11,825 | 10,864 | | |
| | 11,467 | 13,364 | 12,171 | 11,631 | 11,923 | 13,764 | | |
| | 11,467 | 13,334 | 12,338 | 14,208 | 12,271 | 13,324 | | |
| 11 | 11,954 | 13,381 | 14,468 | 12,274 | 13,094 | 13,014 | 12 | 0,4 |
| | 11,913 | 12,754 | 14,452 | 13,449 | 14,079 | 14,121 | | |
| | 11,572 | 12,623 | 11,901 | 12,132 | 13,555 | 14,708 | | |
| | 12,591 | 14,289 | 12,943 | 15,645 | 15,376 | 15,788 | | |
| | 11,638 | 12,955 | 12,637 | 11,702 | 12,786 | 13,542 | | |
| | 12,536 | 14,495 | 14,612 | 14,490 | 12,852 | 12,658 | | |
| 12 | 11,820 | 12,832 | 13,906 | 12,432 | 13,609 | 12,919 | 12,8 | 0,5 |
| | 11,806 | 12,724 | 14,135 | 14,936 | 14,227 | 14,873 | | |
| | 13,376 | 14,119 | 14,326 | 15,519 | 15,372 | 15,364 | | |
| | 12,175 | 12,236 | 14,132 | 13,943 | 12,417 | 13,732 | | |
| | 10,139 | 12,117 | 10,606 | 10,683 | 10,995 | 12,416 | | |
| | 11,786 | 12,572 | 14,074 | 15,135 | 14,459 | 12,269 | | |
| 13 | 11,574 | 11,725 | 11,798 | 12,740 | 13,207 | 13,470 | 13,5 | 0,2 |
| | | | | | | | | 5 |
| | 12,602 | 14,100 | 13,887 | 14,496 | 13,683 | 15,434 | | |
| | 12,012 | 13,772 | 14,191 | 13,929 | 13,937 | 13,956 | | |
| | 12,245 | 12,743 | 14,992 | 15,045 | 14,583 | 12,772 | | |
| | 12,502 | 13,123 | 15,173 | 13,344 | 12,592 | 14,666 | | |
| | 12,976 | 13,812 | 15,706 | 15,414 | 15,655 | 14,494 | | |
| 14 | 14,162 | 15,519 | 16,403 | 17,273 | 15,211 | 18,008 | 12 | 0,5 |
| | | | | | | | | 96 |
| | 12,522 | 12,853 | 15,488 | 15,031 | 14,035 | 14,447 | | |
| | 13,123 | 13,967 | 13,330 | 14,221 | 13,849 | 16,304 | | |
| | 12,043 | 13,658 | 13,493 | 13,774 | 14,343 | 13,151 | | |
| | 11,472 | 12,136 | 14,103 | 12,386 | 12,564 | 13,363 | | |
| | 12,441 | 13,616 | 12,717 | 14,347 | 15,090 | 15,575 | | |
| 15 | 11,265 | 12,052 | 14,016 | 14,047 | 12,064 | 11,667 | 13 | 0,7 |
| | 12,131 | 12,983 | 12,296 | 15,291 | 14,095 | 13,940 | | |
| | 14,480 | 16,275 | 16,717 | 16,194 | 15,413 | 15,427 | | |
| | 12,572 | 13,244 | 14,897 | 14,571 | 15,340 | 15,674 | | |
| | 10,865 | 11,659 | 10,923 | 11,533 | 13,089 | 11,709 | | |
| | 11,962 | 13,388 | 12,492 | 14,907 | 13,977 | 14,358 | | |
| 16 | 10,908 | 11,114 | 13,790 | 11,873 | 13,029 | 11,012 | 13,5 | 2 |
| | 9,766 | 11,117 | 12,354 | 11,287 | 12,546 | 10,249 | | |
| | 11,702 | 12,455 | 13,484 | 12,153 | 13,075 | 12,310 | | |
| | 11,472 | 12,053 | 11,617 | 14,065 | 11,503 | 13,322 | | |
| | 13,503 | 14,469 | 14,195 | 16,018 | 14,812 | 15,556 | | |
| | 15,456 | 17,355 | 16,685 | 15,598 | 16,603 | 19,311 | | |
| 17 | 10,161 | 10,431 | 10,695 | 13,393 | 11,153 | 11,751 | 12 | 0,6 |
| | | | | | | | | 8 |
| | 11,492 | 13,087 | 11,889 | 12,564 | 13,613 | 11,699 | | |
| | 12,428 | 14,259 | 12,561 | 13,100 | 13,888 | 14,348 | | |
| | 12,416 | 14,059 | 12,522 | 13,706 | 14,389 | 13,536 | | |
| | 10,813 | 10,818 | 12,951 | 12,192 | 11,765 | 14,450 | | |
| | 13,388 | 14,590 | 14,628 | 14,764 | 14,307 | 16,962 | | |
| 18 | 9,889 | 11,198 | 10,095 | 12,783 | 11,183 | 10,835 | 13,33 | 1,5 |
| | 12,517 | 13,735 | 14,247 | 13,208 | 15,072 | 15,429 | | |
| | 12,786 | 13,231 | 15,070 | 13,013 | 14,133 | 16,174 | | |
| | 11,863 | 12,183 | 13,377 | 13,203 | 11,916 | 12,421 | | |
| | 11,444 | 11,999 | 13,243 | 14,233 | 13,024 | 12,491 | | |
| | 14,696 | 14,906 | 14,730 | 17,126 | 17,331 | 15,297 | | |
| 19 | 11,999 | 12,509 | 12,361 | 14,850 | 14,026 | 15,078 | 10 | 0,1 |
| | 12,241 | 13,124 | 15,153 | 14,655 | 15,038 | 15,460 | | |
| | 12,120 | 12,240 | 12,945 | 12,701 | 13,006 | 13,616 | | |
| | 11,506 | 12,815 | 13,497 | 13,746 | 13,218 | 14,658 | | |
| | 12,376 | 12,808 | 14,477 | 15,690 | 14,127 | 12,427 | | |
| | 12,148 | 13,932 | 13,771 | 14,039 | 14,440 | 12,250 | | |
| 20 | 11,293 | 11,563 | 14,165 | 14,763 | 12,874 | 14,426 | 12 | 0,2 |
| | | | | | | | | 8 |
| | 12,112 | 13,348 | 13,988 | 12,222 | 14,409 | 13,381 | | |
| | 11,429 | 11,680 | 14,364 | 11,472 | 13,201 | 11,925 | | |
| | 10,526 | 11,960 | 11,740 | 12,709 | 12,061 | 12,319 | | |
| | 11,467 | 11,774 | 11,862 | 12,466 | 12,013 | 12,865 | | |
| | 11,467 | 11,747 | 12,326 | 13,699 | 13,968 | 12,173 | | |
| 21 | 11,954 | 13,543 | 13,158 | 14,299 | 14,420 | 12,797 | 13,6 | 0,0 |
| | | | | | | | | 6 |
| | 11,913 | 12,292 | 13,565 | 13,888 | 13,886 | 12,930 | | |
| | 11,572 | 11,745 | 12,146 | 12,162 | 13,720 | 15,055 | | |
| | 12,591 | 14,354 | 12,829 | 14,346 | 13,412 | 16,083 | | |
| | 11,638 | 13,317 | 13,026 | 11,899 | 14,227 | 13,862 | | |
| | 12,536 | 14,156 | 14,004 | 15,164 | 14,165 | 12,651 | | |
| 22 | 11,820 | 12,499 | 11,834 | 15,220 | 12,420 | 12,394 | 13,281 | 0,5 |
| | 11,806 | 12,803 | 14,115 | 14,830 | 12,295 | 14,506 | | |
| | 13,376 | 13,724 | 15,571 | 14,055 | 15,511 | 14,009 | | |
| | 12,175 | 13,275 | 14,218 | 14,957 | 13,936 | 12,930 | | |
| | 10,139 | 10,635 | 10,975 | 12,273 | 10,431 | 13,031 | | |
| | 11,786 | 13,607 | 14,470 | 14,452 | 13,871 | 12,949 | | |
| 23 | 11,574 | 12,615 | 12,977 | 14,600 | 11,962 | 12,629 | 12,630 | 1 |
| | | | | | | | 4 | |
| | 12,602 | 14,600 | 13,219 | 12,806 | 14,657 | 13,855 | | |
| | 12,012 | 12,482 | 12,072 | 13,876 | 13,781 | 12,645 | | |
| | 12,245 | 14,012 | 13,432 | 14,994 | 14,489 | 14,450 | | |
| | 12,502 | 12,511 | 12,574 | 12,581 | 13,727 | 13,138 | | |
| | 12,976 | 14,279 | 15,732 | 15,464 | 15,332 | 15,686 | | |
| 24 | 14,162 | 15,097 | 16,664 | 15,119 | 15,614 | 16,602 | 14 | 0,9 |
| | | | | | | | | 9 |
| | 12,522 | 13,107 | 13,259 | 15,520 | 14,122 | 15,000 | | |
| | 13,123 | 13,462 | 14,243 | 15,733 | 14,196 | 13,900 | | |
| | 12,043 | 12,656 | 14,471 | 13,502 | 13,883 | 15,184 | | |
| | 11,472 | 12,402 | 14,301 | 11,937 | 12,424 | 13,662 | | |
| | 12,441 | 12,922 | 12,501 | 14,496 | 14,711 | 16,107 | | |
| 25 | 11,265 | 12,585 | 11,693 | 11,892 | 12,272 | 11,771 | 13,050 | 1,8 |
| | | | | | | | 3 | |
| | 12,131 | 13,804 | 14,553 | 12,888 | 12,203 | 13,570 | | |
| | 14,480 | 15,883 | 16,938 | 17,964 | 15,827 | 16,217 | | |
| | 12,572 | 13,682 | 14,710 | 13,215 | 14,412 | 12,883 | | |
| | 10,865 | 11,008 | 12,093 | 10,942 | 11,787 | 14,353 | | |
| | 11,962 | 12,771 | 12,948 | 12,553 | 14,741 | 14,898 | | |
| 26 | 10,908 | 12,573 | 13,457 | 13,093 | 13,315 | 12,251 | 13,476 | 2,5 |
| | | | | | | | 8 | |
| | 9,766 | 11,044 | 11,508 | 11,785 | 10,927 | 10,205 | | |
| | 11,702 | 13,345 | 13,567 | 14,966 | 14,416 | 13,449 | | |
| | 11,472 | 11,740 | 12,569 | 12,698 | 13,065 | 11,547 | | |
| | 13,503 | 14,632 | 16,452 | 14,309 | 15,559 | 16,024 | | |
| | 15,456 | 16,674 | 17,416 | 16,571 | 17,512 | 19,215 | | |
| 27 | 10,161 | 12,013 | 12,309 | 13,480 | 10,737 | 10,362 | 12,653 | 2 |
| | | | | | | | 1 | |
| | 11,492 | 12,874 | 12,130 | 11,774 | 12,208 | 13,078 | | |
| | 12,428 | 14,133 | 13,361 | 15,555 | 13,970 | 12,772 | | |
| | 12,416 | 13,743 | 12,485 | 15,630 | 14,477 | 14,736 | | |
| | 10,813 | 10,866 | 12,196 | 10,991 | 12,082 | 11,145 | | |
| | 13,388 | 15,128 | 13,703 | 16,777 | 13,895 | 17,200 | | |
| 28 | 9,889 | 11,361 | 10,420 | 10,167 | 10,772 | 11,689 | 13,209 | 1,8 |
| | 12,517 | 12,568 | 13,011 | 12,590 | 13,770 | 14,967 | | |
| | 12,786 | 14,656 | 12,976 | 13,292 | 14,371 | 13,211 | | |
| | 11,863 | 13,064 | 14,263 | 15,093 | 13,658 | 12,023 | | |
| | 11,444 | 12,354 | 13,277 | 12,915 | 13,978 | 15,040 | | |
| | 14,696 | 16,068 | 17,289 | 15,475 | 15,921 | 16,822 | | |
| 29 | 11,999 | 13,785 | 12,086 | 13,075 | 12,001 | 14,557 | 12,489 | 0,4 |
| | | | | | | | 1 | 88 |
| | 12,241 | 13,972 | 12,655 | 15,409 | 14,427 | 15,364 | | |
| | 12,120 | 12,223 | 13,483 | 14,749 | 13,943 | 15,458 | | |
| | 11,506 | 12,741 | 13,154 | 14,019 | 13,421 | 14,352 | | |
| | 12,376 | 12,607 | 15,165 | 15,504 | 12,505 | 16,273 | | |
| | 12,148 | 13,647 | 13,685 | 13,575 | 13,531 | 13,580 | | |
| 30 | 11,293 | 11,455 | 11,496 | 13,262 | 12,301 | 13,370 | 12,126 | 0,5 |
| | | | | | | | 05 | |
| | 12,112 | 13,212 | 14,231 | 14,946 | 12,130 | 13,687 | | |
| | 11,429 | 12,990 | 11,766 | 14,277 | 12,649 | 12,901 | | |
| | 10,526 | 10,985 | 11,664 | 10,955 | 12,575 | 11,408 | | |
| | 11,467 | 13,087 | 13,639 | 12,660 | 11,969 | 14,170 | | |
| | 11,467 | 12,661 | 13,769 | 11,926 | 13,023 | 14,202 | | |
Завдання 2. Формування оптимального портфеля цінних паперів за моделлю
Тобіна.
Порядок виконання завдання.
1. У відповідності з варіантом завдання отримати дані щодо ефективності безризикових паперів і допустимого ризику портфеля.
2. Дані щодо ефективності ризикових паперів і необхідні результати розрахунків взяти з попередньої задачі.
3. Скласти математичну модель портфеля Тобіна мінімального ризику
(1) і вирішити її.
4. Скласти математичну модель портфеля Тобіна максимальної прибутковості і вирішити її. При чисельному рішенні використовувати метод сполучених градієнтів або Ньютона. Для обчислень можна використовувати ЕОМ.
5. Зробити висновки по роботі.
Короткі теоретичні відомості.
Портфель Тобіна мінімального ризику
(1) де m0 - ефективність безризикових паперів; x0 - частка капіталу вкладена в безризикові папери; xi, xj - частка капіталу вкладена в цінні папери i-го і j-го видів; mi - математичне сподівання (середнє арифметичне) прибутковості i - й цінного паперу; vij - кореляційний момент між ефективністю паперів i-го і j -- го видів;
Портфель Тобіна максимальної ефективності
(2)
де rp - ризик портфеля
Розрахункові формули аналогічні формулами задачі складання оптимального портфеля цінних паперів Марковіца.
Варіанти завдань
| № варіанту | m0 | rp | mp | № варіанту | m0 | rp | X0 |
| 1 | 10 | 0,3 | 13,5 | 16 | 9 | 0,05 | 12,2 |
| 2 | 10 | 0,3 | 13,3 | 17 | 9 | 0,05 | 12,2 |
| 3 | 10 | 0,3 | 12,55 | 18 | 9 | 0,05 | 12,2 |
| 4 | 10 | 0,3 | 12,55 | 19 | 9 | 0,05 | 12,2 |
| 5 | 10 | 1 | 12,55 | 20 | 9 | 0,05 | 12,2 |
| 6 | 10 | 0,5 | 12,7 | 21 | 9 | 0,05 | |
| 7 | 10 | 0,04 | 12,7 | 22 | 9 | 0,088 | 12,8 |
| 8 | 10 | 0,04 | 12,7 | 23 | 9 | 0,09 | 12,8 |
| 9 | 10 | 0,04 | 12,7 | 24 | 9 | 0,12 | 12,8 |
| 10 | 10 | 0,04 | 12,7 | 25 | 9 | 0,1 | 12 |
| 11 | 8 | 0,05 | 12,7 | 26 | 9 | 0,05 | 12 |
| 12 | 8 | 0,05 | 12,7 | 27 | 9 | 0,05 | 12,3 |
| 13 | 8 | 0,09 | 12,5 | 28 | 9 | 0,12 | 12,2 |
| 14 | 8 | 0,05 | 12,5 | 29 | 8 | 0,1 | 12 |
| 15 | 9 | 0,05 | 12,2 | 30 | 8 | 0,1 | 12 |
